統(tǒng)計(jì)學(xué)第五章參數(shù)估計(jì)(精).ppt

1、第 5 章 參數(shù)估計(jì),5.1 參數(shù)估計(jì)的一般問題 5.2 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 5.3 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 5.4 樣本容量的確定,學(xué)習(xí)目標(biāo),估計(jì)量與估計(jì)值的概念 點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)的區(qū)別 評(píng)價(jià)估計(jì)量?jī)?yōu)良性的標(biāo)準(zhǔn) 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)方法 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)方法 樣本容量的確定方法,估計(jì)就是根據(jù)你擁有的信息來對(duì)現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行某種判斷。 你可以根據(jù)一個(gè)人的衣著、言談和舉止判斷其身份 你可以根據(jù)一個(gè)人的臉色，猜出其心情和身體狀況 統(tǒng)計(jì)中的估計(jì)也不例外，它是完全根據(jù)數(shù)據(jù)做出的。,如果我們想知道北京人認(rèn)可某飲料的比例，人們只有在北京人中進(jìn)行抽樣調(diào)查以得到樣本，并用樣本中認(rèn)可該飲料的比例來估計(jì)真

2、實(shí)的比例。 從不同的樣本得到的結(jié)論也不會(huì)完全一樣。雖然真實(shí)的比例在這種抽樣過程中永遠(yuǎn)也不知道；但可以知道估計(jì)出來的比例和真實(shí)的比例大致差多少。,5.1 參數(shù)估計(jì)的一般問題,5.1.1 估計(jì)量與估計(jì)值 5.1.2 點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì) 5.1.3 評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn),估計(jì)量與估計(jì)值,估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的隨機(jī)變量 如樣本均值，樣本比例、樣本方差等 例如: 樣本均值就是總體均值 的一個(gè)估計(jì)量 參數(shù)用 表示，估計(jì)量用 表示 估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來的統(tǒng)計(jì)量的具體值 如果樣本均值 x =80，則80就是的估計(jì)值,估計(jì)量與估計(jì)值 (estimator & estimated value),點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估

3、計(jì),點(diǎn)估計(jì) (point estimate),用樣本的估計(jì)量直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值 用什么樣的估計(jì)量來估計(jì)參數(shù)呢？ 實(shí)際上沒有硬性限制。任何統(tǒng)計(jì)量，只要人們覺得合適就可以當(dāng)成估計(jì)量。 例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計(jì) 例如：用兩個(gè)樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計(jì) 2.沒有給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息,區(qū)間估計(jì) (interval estimate),當(dāng)描述一個(gè)人的體重時(shí)，你一般可能不會(huì)說這個(gè)人是76.35公斤，你會(huì)說這個(gè)人是七八十公斤，或者是在70公斤到80公斤之間。這個(gè)范圍就是區(qū)間估計(jì)的例子。,區(qū)間估計(jì) (interval estimate),在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)

4、估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量加減抽樣誤差而得到的 根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量 比如，某班級(jí)平均分?jǐn)?shù)在7585之間，置信水平是95%,點(diǎn)估計(jì)給出一個(gè)數(shù)字，用起來很方便；而區(qū)間估計(jì)給出一個(gè)區(qū)間，說起來留有余地；不像點(diǎn)估計(jì)那么絕對(duì)。,區(qū)間估計(jì)的圖示,將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平 表示為 (1 - 為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相應(yīng)的 為0.01，0.05，0.10,置信水平,由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間稱為置信區(qū)間 統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某

5、種程度上確信這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間 用一個(gè)具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個(gè)特定的區(qū)間，我們無法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值 我們只能是希望這個(gè)區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但它也可能是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè),置信區(qū)間 (confidence interval),置信區(qū)間 (95%的置信區(qū)間),重復(fù)構(gòu)造出的20個(gè)置信區(qū)間,點(diǎn)估計(jì)值,置信區(qū)間與置信水平,評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn),無偏性(unbiasedness),無偏性：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被 估計(jì)的總體參數(shù),有效性(efficiency),有效性：對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無偏點(diǎn)估

6、計(jì) 量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效,一致性(consistency),一致性：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量的 值越來越接近被估計(jì)的總體參數(shù),5.2 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),5.2.1 總體均值的區(qū)間估計(jì) 5.2.2 總體比例的區(qū)間估計(jì) 5.2.3 總體方差的區(qū)間估計(jì),一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),分位數(shù),我們有必要引進(jìn)總體的下側(cè)分位數(shù)、上側(cè)分位數(shù)以及相應(yīng)的尾概率的概念。 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X，a下側(cè)分位數(shù)（又稱為a分位數(shù)，a-quantile）定義為數(shù)xa，它滿足關(guān)系,這里的a又稱為下（左）側(cè)尾概率（lower/left tail probability）,而a上側(cè)分位數(shù)（又稱a上分位數(shù)，a-uppe

7、r quantile）定義為數(shù)xa，它滿足關(guān)系,這里的a也稱為上（右）側(cè)尾概率（upper/right tail probability）。,顯然，對(duì)于連續(xù)對(duì)稱分布，上側(cè)分位數(shù)等于(1)下側(cè)分位數(shù)，而(1)下側(cè)分位數(shù)等于上側(cè)分位數(shù)。,通常用z表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)，即對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量Z，有P(Zz)= 。 表示了0.05上側(cè)分位數(shù)z=z0.05及相應(yīng)的尾概率（ =0.05）。有些書用符號(hào)z1而不是 ；因此在看參考文獻(xiàn)時(shí)要注意符號(hào)的定義。,N(0,1)分布右側(cè)尾概率P(zza)=a的示意圖,總體均值的區(qū)間估計(jì) (正態(tài)總體、 已知，或非正態(tài)總體、大樣本),總體均值的區(qū)間估計(jì)(大樣本),1

8、.假定條件 總體服從正態(tài)分布,且方差() 未知 如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似 (n 30) 使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z,總體均值 在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,影響區(qū)間寬度的因素,1. 總體數(shù)據(jù)的離散程度，用 來測(cè)度 樣本容量， 3.置信水平 (1 - )，影響 z 的大小,總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析),【 例 】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對(duì)產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10g。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平

9、為95%,z/2=1.96,總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析),解：已知N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得： 總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為,該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44g109.28g,總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析),【例】一家保險(xiǎn)公司收集到由36投保個(gè)人組成的隨機(jī)樣本，得到每個(gè)投保人的年齡(周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間,總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析),解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得： ， 總體均值在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37

10、歲41.63歲,總體均值的區(qū)間估計(jì) (正態(tài)總體、未知、小樣本),總體均值的區(qū)間估計(jì) (小樣本),1.假定條件 總體服從正態(tài)分布,且方差() 未知 小樣本 (n 30) 使用 t 分布統(tǒng)計(jì)量,總體均值 在1-置信水平下的置信區(qū)間為,t 分布, t 分布是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個(gè)特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布,總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析),【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測(cè)得其使用壽命(小時(shí))如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間,總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析),解：已

11、知N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2(15)=2.131 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得： ， 總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為,該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8小時(shí)1503.2小時(shí),總體比例的區(qū)間估計(jì),總體比例的區(qū)間估計(jì),1.假定條件 總體服從二項(xiàng)分布 可以由正態(tài)分布來近似 使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z,3. 總體比例在1-置信水平下的置信區(qū)間為,總體比例的區(qū)間估計(jì)(例題分析),【例】某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)地抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計(jì)該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間,解：已知 n=100，p65% , 1- =

12、95%，z/2=1.96,該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%74.35%,總體方差的區(qū)間估計(jì),總體方差的區(qū)間估計(jì),1.估計(jì)一個(gè)總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差 2.假設(shè)總體服從正態(tài)分布 總體方差 2 的點(diǎn)估計(jì)量為S2,且,4. 總體方差在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,總體方差的區(qū)間估計(jì)(圖示),總體方差的區(qū)間估計(jì)(例題分析),【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間,總體方差的區(qū)間估計(jì)(例題分析),解:已知n25，1-95% ,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得

13、s2 =93.21 2置信度為95%的置信區(qū)間為,該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標(biāo)準(zhǔn)差的的置信區(qū) 間為7.54g13.43g,5.3 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),5.3.1 兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì) 5.3.2 兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì) 5.3.3 兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì),兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)(獨(dú)立大樣本),兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(大樣本),1.假定條件 兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布，1、 2已知 若不是正態(tài)分布, 可以用正態(tài)分布來近似(n130和n230) 兩個(gè)樣本是獨(dú)立的隨機(jī)樣本 使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì) (大樣本),1.1， 2已知時(shí)，兩個(gè)總體均值之差1-2在1- 置信

14、水平下的置信區(qū)間為,1、 2未知時(shí)，兩個(gè)總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(例題分析),【例】某地區(qū)教育委員會(huì)想估計(jì)兩所中學(xué)的學(xué)生高考時(shí)的英語(yǔ)平均分?jǐn)?shù)之差，為此在兩所中學(xué)獨(dú)立抽取兩個(gè)隨機(jī)樣本，有關(guān)數(shù)據(jù)如右表 。建立兩所中學(xué)高考英語(yǔ)平均分?jǐn)?shù)之差95%的置信區(qū)間,English,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(例題分析),解: 兩個(gè)總體均值之差在1-置信水平下的置信區(qū)間為,兩所中學(xué)高考英語(yǔ)平均分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間為 5.03分10.97分,兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)(獨(dú)立小樣本),兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(小樣本:12=22 ),1.假定條件 兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布 兩個(gè)

15、總體方差未知但相等：1=2 兩個(gè)獨(dú)立的小樣本(n130和n230) 總體方差的合并估計(jì)量,估計(jì)量x1-x2的抽樣標(biāo)準(zhǔn)差,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(小樣本: 12=22 ),兩個(gè)樣本均值之差的標(biāo)準(zhǔn)化,兩個(gè)總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(例題分析),【例】為估計(jì)兩種方法組裝產(chǎn)品所需時(shí)間的差異，分別對(duì)兩種不同的組裝方法各隨機(jī)安排12名工人，每個(gè)工人組裝一件產(chǎn)品所需的時(shí)間（分鐘）下如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時(shí)間服從正態(tài)分布，且方差相等。試以95%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間差值的置信區(qū)間,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(例題分析),解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算

16、得 合并估計(jì)量為：,兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間之差的置信區(qū)間為 0.14分鐘7.26分鐘,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(小樣本: 12 22 ),1.假定條件 兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布 兩個(gè)總體方差未知且不相等：12 兩個(gè)獨(dú)立的小樣本(n130和n230) 使用統(tǒng)計(jì)量,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(小樣本: 1222 ),兩個(gè)總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(例題分析),【例】沿用前例。假定第一種方法隨機(jī)安排12名工人，第二種方法隨機(jī)安排名工人，即n1=12，n2=8 ，所得的有關(guān)數(shù)據(jù)如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時(shí)間服從正態(tài)分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立

17、兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間差值的置信區(qū)間,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(例題分析),解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得 自由度為：,兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間之差的置信區(qū)間為 0.192分鐘9.058分鐘,兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)(匹配樣本),兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(匹配大樣本),假定條件 兩個(gè)匹配的大樣本(n1 30和n2 30) 兩個(gè)總體各觀察值的配對(duì)差服從正態(tài)分布 兩個(gè)總體均值之差d =1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(匹配小樣本),假定條件 兩個(gè)匹配的大樣本(n1 30和n2 30) 兩個(gè)總體各觀察值的配對(duì)差服從正態(tài)分布 兩個(gè)總體均值之差d=1-2在1- 置信水平下的

18、置信區(qū)間為,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(例題分析),【例】由10名學(xué)生組成一個(gè)隨機(jī)樣本，讓他們分別采用A和B兩套試卷進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果如下表 。試建立兩種試卷分?jǐn)?shù)之差d=1-2 95%的置信區(qū)間,STATISTICS,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(例題分析),解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得,兩種試卷所產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間為6.33分 15.67分,兩個(gè)總體比例之差區(qū)間的估計(jì),1.假定條件 兩個(gè)總體服從二項(xiàng)分布 可以用正態(tài)分布來近似 兩個(gè)樣本是獨(dú)立的 2.兩個(gè)總體比例之差1- 2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì),兩個(gè)總體比例之差的估計(jì)(例題分析),【例】在某個(gè)電視節(jié)目的收視率調(diào)查中，農(nóng)

19、村隨機(jī)調(diào)查了400人，有32%的人收看了該節(jié)目；城市隨機(jī)調(diào)查了500人，有45%的人收看了該節(jié)目。試以90%的置信水平估計(jì)城市與農(nóng)村收視率差別的置信區(qū)間,兩個(gè)總體比例之差的估計(jì) (例題分析),解: 已知 n1=500 ，n2=400， p1=45%， p2=32%， 1- =95%， z/2=1.96 1- 2置信度為95%的置信區(qū)間為,城市與農(nóng)村收視率差值的置信區(qū)間為6.68%19.32%,兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì),兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì),1.比較兩個(gè)總體的方差比 用兩個(gè)樣本的方差比來判斷 如果S12/ S22接近于1,說明兩個(gè)總體方差很接近 如果S12/ S22遠(yuǎn)離1,說明兩個(gè)總體方差之

20、間存在差異 總體方差比在1-置信水平下的置信區(qū)間為,兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)(圖示),兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)(例題分析),【例】為了研究男女學(xué)生在生活費(fèi)支出(元)上的差異，在某大學(xué)各隨機(jī)抽取25名男學(xué)生和25名女學(xué)生，得到下面的結(jié)果： 男學(xué)生： 女學(xué)生： 試以90%置信水平估計(jì)男女學(xué)生生活費(fèi)支出方差比的置信區(qū)間,兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì) (例題分析),解:根據(jù)自由度 n1=25-1=24 ，n2=25-1=24，查得 F/2(24,24)=1.98， F1-/2(24,24)=1/1.98=0.505 12 /22置信度為90%的置信區(qū)間為,男女學(xué)生生活費(fèi)支出方差比的置信區(qū)間為0.471.8

21、4,5.4 樣本容量的確定,5.4.1 估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定 5.4.2 估計(jì)總體比例時(shí)樣本容量的確定 5.4.3 估計(jì)兩個(gè)總體均值之差時(shí)樣本容量的確定 5.4.4 估計(jì)兩個(gè)總體比例之差時(shí)樣本容量的確定,估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定,估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量n為 樣本容量n與總體方差 2、邊際誤差E、可靠性系數(shù)Z或t之間的關(guān)系為 與總體方差成正比 與邊際誤差成反比 與可靠性系數(shù)成正比,估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定,其中：,估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定 (例題分析),【例】擁有工商管理學(xué)士學(xué)位的大學(xué)畢業(yè)生年薪的標(biāo)準(zhǔn)差大約為2000元，假定想要估計(jì)年薪95%的置信區(qū)間，希望邊際誤差為400元

22、，應(yīng)抽取多大的樣本容量？,估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定 (例題分析),解: 已知 =500，E=400, 1-=95%， z/2=1.96 12 /22置信度為90%的置信區(qū)間為,即應(yīng)抽取97人作為樣本,估計(jì)總體比例時(shí)樣本容量的確定,根據(jù)比例區(qū)間估計(jì)公式可得樣本容量n為,估計(jì)總體比例時(shí)樣本容量的確定,E的取值一般小于0.1 未知時(shí)，可取最大值0.5,其中：,估計(jì)總體比例時(shí)樣本容量的確定 (例題分析),【例】根據(jù)以往的生產(chǎn)統(tǒng)計(jì)，某種產(chǎn)品的合格率約為90%，現(xiàn)要求邊際誤差為5%，在求95%的置信區(qū)間時(shí)，應(yīng)抽取多少個(gè)產(chǎn)品作為樣本？,解:已知=90%，=0.05， z/2=1.96，E=5%,應(yīng)抽取的樣本容量為,應(yīng)抽取139個(gè)產(chǎn)品作為樣本,估計(jì)兩個(gè)總體均值之差時(shí)樣本容量