2017小學(xué)數(shù)學(xué)思維版塊公式大全

1、 計算板塊 . 2 計數(shù)板塊 . 5 數(shù)論板塊 . 7 應(yīng)用題板塊 . 11 幾何板塊 . 15 行程板塊 . 21 1、加法交換律：abba，bcacba 2、加法結(jié)合律：cbacba 3、乘法交換律：abba，bcacba 4、乘法結(jié)合律：cbacba 5、乘法分配律：cabacba 6、“除法分配律”：cbcacba 7、減法性質(zhì)：cbacba 8、除法性質(zhì)：cbacba 9、商不變性質(zhì)： nbnambmaba，0, 0nm 10、積不變性質(zhì)： mbmaba，0m 11、等差數(shù)列相關(guān)：項數(shù) n，公差 d，首項 1 a，第n項 n a，前n項和 n S， 通項公式：dnaan1 1 ， d

2、mnaa mn ， 項數(shù)公式：1 1 daan n ， 若qpnm， qpnm aaaa 求和公式：2 1 naaS nn ， 中項定理，奇數(shù)項等差數(shù)列：naS nn 2 1 從 1 開始連續(xù)自然數(shù)求和： 2 1 21 nn n 從 1 開始連續(xù)奇數(shù)求和： 2 1231nn 從 2 開始連續(xù)偶數(shù)求和：1242nnn 12、多位數(shù)乘法： 11099 9 n n MM 個 當(dāng) 9 99 個n M時，積的數(shù)字和為n9 13、 22 2 2bababa， 22 2 2bababa 22 bababa，111baabba 3223 3 33babbaaba 2233 babababa， 2233 bab

3、ababa 14、平方求和：121 6 1 21 222 nnnn 立方求和： 2 2 2 333 1 4 1 2121nnnn 15、整數(shù)裂項：21 3 1 13221nnnnn 321 4 1 21432321nnnnnnn 3121232 6 1 12125331nnnnn 分?jǐn)?shù)裂項： 1 1 1 1 1 32 1 21 1 nnn 21 1 21 1 2 1 21 1 432 1 321 1 nnnnn 16、缺 8 數(shù)： 12345679 9111111111， 12345679 ， 12345679 81999999999； 12345679 898765

4、432 17、走馬燈數(shù)： 742851 . 0 7 1 ， 485712. 0 7 2 ， 128574. 0 7 3 ， 871425 . 0 7 4 ， 514287. 0 7 5 ， 257148 . 0 7 6 2857142142857，4285713142857，5714284142857， 7142855142857，8571426142857，9999997142857. 18、山頂數(shù)：1211111，12321111111， 2 121121nnnn 2 22121121， 2 3331232112321， 奇數(shù)山頂數(shù)列求和： 2 2nnnn 19、

5、重碼數(shù)：ababab101，ababab01001 abcabcabc1001，abababab10101 20、車輪數(shù)：111143214123341223411234 21、循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)： 9 . 0 a a ， 0. 99 ab ab ， 0. 990 abca abc 附：若一個最簡分?jǐn)?shù)，它的分母僅含質(zhì)因數(shù) 2 和 5，則它可化為有限小數(shù)，反之必為無 限循環(huán)小數(shù)；若分母僅含 2,5 以外的質(zhì)因數(shù)，則必可化為純循環(huán)小數(shù)，若分母含質(zhì)因數(shù) 2 或 5，且含 2,5 以外的質(zhì)因數(shù)，則必可化為混循環(huán)小數(shù). 22、等比數(shù)列相關(guān)： 1 11 1 1 11 1 1 1 q q qaa q qa S

6、qnaS qaa n n n n n n 23、常用數(shù)列： 1,4,9,16,25,36， ， 2 nan 0,3,8,15,24,35， ，1 2 nan 1,3,7,13,21,31， ，1 2 nnan 1,2,4,8,16,32， ， 1 2 n n a 1,1,2,3,5,8,13， ， 21 nnn aaa 1,3,6,10,15,21， ，1 2 1 nnan 1、 容斥原理 二元容斥：BABABA 三元容斥：CBACACBBACBACBA 2、 抽屜原理 蘋果數(shù) 抽屜數(shù)(n)商余數(shù) 余數(shù)： （1）余數(shù)) 1nx1 (x， 結(jié)論：至少有“商1”個蘋果在同一個抽屜里 （2）余數(shù)0，

7、 結(jié)論：至少有“商”個蘋果在同一個抽屜里 3、 排列組合 排列： )!mn( !n ) 1mn()2n)(1n(nAP m n m n 組合： !m)!mn( !n 1)2m)(1m(m ) 1mn()2n)(1n(n Cm n 其他：1CC n n 0 n ， mn n m n CC ， 012nn nnnn C2CCC 常用方法：捆綁法；插空法；隔板法；排除法；枚舉法 4、 幾何計數(shù) 線段：一條線段被分成n個互不重疊的小線段，那么這條線段共包含的線段數(shù) 為： 2 1 1 1 2 3(1) 2 n nCn n 條。 角：一個角被分成n個互不重疊的小角（大于 0 ，小于 180 ） ，那么這個

8、角共 包含的角數(shù)為： 2 1 1 1 2 3(1) 2 n nCn n 個。 三角形：一個三角形底邊被從對頂點引的線把底邊分成n個互不重疊的小線 段，那么這個三角形共包含的三角形數(shù)為： 2 1 1 1 2 3(1) 2 n nCn n 長方形：網(wǎng)格狀圖形中，長方形（包含正方形）的個數(shù)長邊上所有線段數(shù) 寬邊上所有線段數(shù)。 正方形：一般的，一個長方形的長被分成n份，寬被分成m份（mn，每小 格 均 為 相 等 的 正 方 形 ） ， 那 么 這 個 長 方 形 中 正 方 形 的 總 數(shù) 為 ： (1)(1)(1) 1nmnmnm 包含的長方形個數(shù)上線段數(shù) 下線段數(shù) 左線段數(shù) 右線段數(shù) 所有長方形

9、的面積和長邊上的所有線段的長度和 寬邊上的所有線段的長度 和 5、 歸納計數(shù) n個圖形最多可把平面分成部分?jǐn)?shù)： 1. 直線： 1 22 31(1) 2 nn n 2. 圓：2 2 4212(1)nn n （ ） 3. 橢圓：2484(1)22 (1)nn n 4. 三角形：2 6 12612 3 (1)nn n （ ） 5. 長方形：2 8 16812 4 (1)nn n （ ） 1、奇偶性質(zhì)： 奇數(shù)：12 k，偶數(shù)：k2； 性質(zhì) 1：偶數(shù) 偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù) 奇數(shù)=偶數(shù) 性質(zhì) 2：偶數(shù) 奇數(shù)=奇數(shù) 性質(zhì) 3：偶數(shù)個奇數(shù)的和是偶數(shù) 性質(zhì) 4：奇數(shù)個奇數(shù)的和是奇數(shù) 性質(zhì) 5：偶數(shù) 奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)

10、 奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù) 偶數(shù)=偶數(shù) 常用：ba與ba奇偶性相同. 2、質(zhì)數(shù)： （1）100 以內(nèi)質(zhì)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、 59、61、67、71、73、79、83、89、97，共計 25 個 （2）0 和 1 不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù) （3）除了 2 其余的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù) （4）除了 2 和 5，其余質(zhì)數(shù)個位數(shù)字只能是 1，3，7 或 9 （5）常用質(zhì)數(shù)：101,103,107,109,2017 （6）最小三位質(zhì)數(shù)：101；最大三位質(zhì)數(shù)：997；最小四位質(zhì)數(shù)：1009；最大四位質(zhì)數(shù)：9973 （7）最小偶合數(shù)：4；最小奇合數(shù)：9 3、

11、部分特殊數(shù)的分解： 373999 3 ；131171001；59171003；2714111111； 1377310001；197531995；22332007 2 ；25122008 3 ； 2 ；50322012 2 ；611132013；531922014； 311352015；7322016 25 ；37137310101 4、數(shù)的整除（部分可用于求余數(shù)） ： 數(shù)尾 末一位：2,5 末兩位：4,25 末三位：8，125 末n位： n 2， n 5 數(shù)和 一位截斷求和：9,3 兩位截斷求和：99,33， 三位截斷求和：999,333,111,27,37， n位截斷求和： 9 999 個n

12、 ，及 9 999 個n 的所有約數(shù) 數(shù)差 一位截斷作差：11 兩位截斷作差：101 三位截斷作差：1001,7,11,13 n位截斷作差：1001 01 個n ，及1001 01 個n 的所有約數(shù) 5、約數(shù)倍數(shù) （1） 約數(shù)個數(shù)： 一個整數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后， 將每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次 數(shù))加 1 后所得的和的乘積。 如:1400 嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后為 32 257，所以它的約數(shù)有 24111213個； （2）約數(shù)和：一個整數(shù)的所有約數(shù)的和是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將它的每個質(zhì)因數(shù)依 次從 1 加至這個質(zhì)因數(shù)的最高次冪求和， 然后再將這些得到的和相乘， 乘積便是這個合數(shù)的 所

13、有約數(shù)的和。 33 2100023 57 ，所以 21000 所有約數(shù)的和為 2323 (1222 )(1 3)(1 555 )(17)74880 （3）求最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)主要方法：短除法、分解質(zhì)因數(shù)法、輾轉(zhuǎn)相除法 （4）babaab, 6、余數(shù)三大定律 （1）余數(shù)的加法定律：和的余數(shù)等于余數(shù)的和的余數(shù)； （2）余數(shù)的減法定律：差的余數(shù)等于余數(shù)的差； （特別的余數(shù)相同稱為同余） （3）余數(shù)的乘法定律：積的余數(shù)等于余數(shù)的積的余數(shù)； 7、完全平方數(shù) 2 00 2 10100 2 20400 2 30900 2 401600 特殊平方數(shù) 2 11 2 11121 2 21441 2 31961

14、 2 411681 2 12144 2 21441 2 24 2 12144 2 22484 2 321024 2 421764 2 13169 2 31961 2 39 2 13169 2 23529 2 331089 2 431849 2 331089 2 999801 2 416 2 14196 2 24576 2 341156 2 441936 接近 2016 平方數(shù)： 2 452025 2 525 2 15225 2 25625 2 351225 2 452025 2 636 2 16256 2 26676 2 361296 2 462116 第一個四位平方數(shù)： 2 321024 2

15、 749 2 17289 2 27729 2 371369 2 472209 2 864 2 18324 2 28784 2 381444 2 482304 2 981 2 19361 2 29841 2 391521 2 492401 個位 0、1、4、5、6、9 奇數(shù)的平方的個位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù) 十位是奇數(shù)個位是 6 個位是 5 十位是 2 奇約數(shù) 完全平方數(shù)奇數(shù)個約數(shù) 偶指數(shù) 完全平方數(shù)質(zhì)因數(shù)指數(shù)是偶數(shù) 余數(shù) 0、1 （mod 3） 0、1 （mod 4） 偶數(shù)的平方是 4 的倍數(shù);奇數(shù)的平方除以 4 余 1 0、1、4 （mod 5） 0、1、4 （mod 8） 奇數(shù)的平方除

16、以 8 余 1;偶數(shù)的平方除以 8 余 0 或 4 0、1、4、7 （mod 9） 0、1、4、9 （mod 16） 整除性 如果質(zhì)數(shù) p 能整除a，但 p 的平方不能整除a，則a不是完全平方數(shù) 連續(xù)性 在兩個相鄰的整數(shù)的平方數(shù)之間的所有整數(shù)都不是完全平方數(shù) 8、進位制： （1）其他進制轉(zhuǎn) 10 進制，位值原理展開，例51636261123 012 6 （2）10 進制轉(zhuǎn)其他進制，短除，倒取余數(shù)。 一、歸一、歸總問題 正歸一：總工作量=每份工作量 份數(shù) 反歸一：份數(shù)=總工作量 每份工作量 每份工作量=總工作量 份數(shù) 二、和差倍 1、和差問題： 已知： 較大的數(shù)-較小的數(shù)=兩數(shù)的差 較大的數(shù)+較

17、小的數(shù)=兩數(shù)的和 那么我們可以求出： 較小的數(shù) = (和 差) 2 較大的數(shù) = (和 + 差) 2 2、和倍問題 已知： 較大的數(shù)+較小的數(shù)=兩數(shù)的和 較大的數(shù)=倍數(shù) 較小的數(shù) 那么我們可以求出： 較小的數(shù)=和 (倍數(shù)+1) 較大的數(shù)=較小的數(shù)倍數(shù) 或 較大的數(shù)=和-較小的數(shù) 3、差倍問題 已知： 較大的數(shù)-較小的數(shù)=兩數(shù)的差 較大的數(shù)=倍數(shù) 較小的數(shù) 那么我們可以求出： 較小的數(shù)=差 (倍數(shù)1) 較大的數(shù)=倍數(shù) 較小的數(shù) 或 較大的數(shù)=和-較小的數(shù) 1、盈虧型： (盈虧)兩次分得之差人數(shù)或單位數(shù) 2、盈盈型： (盈盈)兩次分得之差人數(shù)或單位數(shù) 3、虧虧型： (虧虧)兩次分得之差人數(shù)或單位數(shù)

18、 四、雞兔同籠問題 常用方法：假設(shè)法，方程 總差 單位差 = 單位數(shù) 五、平均數(shù)問題 平均數(shù) 總數(shù)量 總份數(shù) 六、頁碼問題 19 頁：991個數(shù)碼 1099 頁：180902個數(shù)碼 七、植樹問題 通用公式：全長株距 段數(shù) 1、不封閉的植樹路線. 兩端都植樹： 段數(shù) = 棵數(shù)1 一端植樹： 段數(shù) 棵數(shù) 兩端都不植樹：段數(shù) = 棵數(shù) + 1 2、封閉的植樹路線：圓、正方形、長方形、閉合曲線等 棵數(shù)段數(shù)周長株距. 八、方陣問題 通用公式：每層總數(shù) = 每邊人（或物）數(shù) - 14 每邊人（或物）數(shù) 每層總數(shù) 41 1、實心方陣： 總數(shù) = 最外層每邊人（或物）數(shù) 2 2、空心方陣：總?cè)耍ɑ蛭铮?shù) （最

19、外層每邊人（或物）數(shù) 層數(shù)） 層數(shù) 4 （最外層人（或物）數(shù) 最內(nèi)層人（或物）數(shù)） 層數(shù) 2 九、牛吃草問題 思路：假設(shè) 1 頭牛 1 天吃草量為“1”； 草長型： 第一步：草生長速度(較少牛數(shù)較多天數(shù)較多牛數(shù)較少天數(shù))(較多天數(shù)較少天 數(shù))； 第二步：原來的草量（牛數(shù)草的生長速度）天數(shù)； 第三步：天數(shù)原來的草量(牛的頭數(shù)草的生長速度)； 牛數(shù)原來的草量吃的天數(shù)草的生長速度 草減型： 第一步：草減少速度(較多牛數(shù)較少天數(shù)較少牛數(shù)較多天數(shù))(較多天數(shù)較少天 數(shù))； 第二步：原來的草量（牛數(shù)草的生長速度）天數(shù)； 第三步：天數(shù)原來的草量(牛數(shù)草的減少速度)； 牛數(shù)原來的草量天數(shù)草的減少速度 十、工程

20、問題 思路：工作總量一般抽象成單位“1” 常用公式： 工作總量=工作效率 工作時間， 工作效率=工作總量 工作時間， 工作時間=工作總量 工作效率； 常用公式： 售價成本利潤 100%100% 售價 成本 利潤率 利潤 成本成本 1售價成本 （利潤率） 1 售價 成本 利潤率 利息=本金 利率 期數(shù)； 十二、濃度問題 溶液的質(zhì)量=溶質(zhì)的質(zhì)量+溶劑的質(zhì)量 濃度 溶液質(zhì)量 溶質(zhì)質(zhì)量 100% = 溶質(zhì)質(zhì)量 溶質(zhì)質(zhì)量+溶劑質(zhì)量 100 溶質(zhì)質(zhì)量=溶液質(zhì)量 濃度 十字交叉法（令 A 溶液濃度大于 B 溶液濃度） ： 1、角： （1）銳角、直角、鈍角、劣角、平角、優(yōu)角、周角 （2）內(nèi)角：n邊形內(nèi)角和18

21、02n度，正n邊形內(nèi)角 n n2180 度 （3）外角：凸多邊形外角和均為 360 （4）常用：等腰三角形兩底角相等；直角 90 ；正三角形每個角 60 ；等腰直角三角形底角 45 2、一筆畫與多筆畫： （1）偶點、奇點：一個圖形中與偶數(shù)條線相連接的點叫做偶點，相應(yīng)的把與奇數(shù)條線相連 接的點叫做奇點 （2）對于連通圖形：有 0 個奇點，可以從任意點出發(fā)一筆畫成并回到該點結(jié)束；有 2 個奇 點， 可以一筆畫， 但是必須從一個奇點出發(fā)， 另一個奇點結(jié)束； 有02nn個奇點， 需n筆 畫 （3）多筆畫變一筆畫：在兩奇點之間添線或去線 3、周長： （1）公式： 長方形：2baC； 正方形：aC4； 圓

22、：drC2 ?。簉 n l 180 （2）巧求周長：平移、拉角、標(biāo)向 3）周長拼割：每剪一刀增加兩條拼接處的邊長，每拼一次減少對應(yīng)拼接處的兩條邊長 4、面積： （1）公式： 長方形：abS ， 正方形： 2 aS 三角形： 1 2 Sah 平行四邊形：ahS 梯形： 2 hba S 圓： 2 rS 扇形： 2 360 r n S 特別的： 任意對角線垂直的四邊形（箏形，特殊的有菱形） ：面積等于對角線乘積除以 2； 等腰直角三角形：面積等于斜邊的平方除以 4 （2）格點面積： 正方形格點（單位正方形面積為 1） ：1 2 L NS 三角形格點（單位三角形面積為 1） ：22LNS 主要思想：割

23、補 5、勾股定理： （1）勾股定理： 222 bac （2）常用勾股數(shù)： （3,4,5） ， （3n,4n,5n）,（5,12,13） ， （7,24,25） （3）弦圖： （4）畢達哥拉斯樹：每長一層，增加的面積等于最初正方形的面積 6、五大模型： （1）等高模型（需重點關(guān)注一半模型） ba S2S1 DC BA 12 :SSa b 一半模型： 平行四邊形： 任意四邊形 梯形： （2）鳥頭模型（有角相等與角互補兩種） E D CB A D E CB A :():() ABCADE SSABACADAE （3）相似模型（有金字塔與沙漏兩種） G F E A BC D A BC DEF G AD

24、AEDEAF ABACBCAG 22 : ADEABC SSAFAG ： 4）蝴蝶模型（任意四邊形與梯形兩種） O D CB A s4 s3 s2 s1 A BC D O b a S3 S2 S1 S4 1243 :SSSS或者 1324 SSSS ， 1243 :AO OCSSSS 22 13 :SSab 22 1324 :SSSSabab ab （5）燕尾模型 O F E D CB A : ABOACO SSBD DC 7、立體圖形： （1）表面積 長方形：cabcabS2 正方形： 2 6aS （2）體積 長方體：abcV 正方體： 3 aV （3）正方體展開 （4）三視圖：主視圖、俯視圖、左視圖 （5）染色： 三面染色：8 二面染色： 2224cba 一面