數(shù)列的極限、性質(zhì)及運(yùn)算.ppt_第1頁
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文檔簡介

1、有許多實(shí)際問題的精確解,僅僅通過有限次的算術(shù)運(yùn)算是求不出來 的,而必須通過考察一個(gè)無限變化過程的變化趨勢才能求得,由此產(chǎn)生 了極限的理論和方法。 例如,設(shè)有一圓,首先作內(nèi)接正6邊形,把它的面積記為A1;再作內(nèi)接正 12邊形,其面積記為A2 ;在做正24邊形,把它的面積記為A3;循環(huán)下去 ,每次邊數(shù)加倍,一般地把內(nèi)接正62n-1邊形的面積記為An(n=1,2,3,.) 這樣就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積: A1, A2, A3,An, 它們構(gòu)成一列有次序的數(shù)。 N越大,內(nèi)接正多邊形與圓的差別就越小,從而以An作為圓的面積的近似值也越精確。但無論n取多么大, An終究只是多邊形的面積,而不是圓的面

2、積。設(shè)想n無限增大,即內(nèi)切正多邊形的邊數(shù)無限增加,在這個(gè)過程中,從圖形上看,內(nèi)接正多邊形將無限接近于圓;因此從數(shù)值上看,內(nèi)接正多邊形的面積An將將無限接近于一個(gè)確定的值,這個(gè)數(shù)值就是所要求的圓的面積。 在數(shù)學(xué)上,將這個(gè)確定的數(shù)值稱為上面這列有次序的數(shù)(稱作數(shù)列) A1, A2, A3,An,的極限??梢钥吹?,正是這個(gè)數(shù)列的極限精確地 表達(dá)了圓的面積。,設(shè)xn=f (n)是一個(gè)以自然數(shù)集為定義域的函數(shù),將其函數(shù)值按自變量大小順序排成一列,x1, x2,xn, , 稱為一個(gè)數(shù)列. xn稱為數(shù)列的第n項(xiàng),也稱為通項(xiàng),數(shù)列也可表示為xn或xn=f (xn),第一節(jié)數(shù)列的極限,一、數(shù)列的極限,例.,看數(shù)

3、列1.,從直觀上看,這個(gè)數(shù)列當(dāng)n越來越大時(shí), 對應(yīng)的項(xiàng)xn會(huì)越來越接近于1,或者說“當(dāng)n趨向于無窮大時(shí), 數(shù)列xn趨近于1.如何用精確的, 量化的數(shù)學(xué)語言來刻劃這一事實(shí)?,注意到,實(shí)數(shù)a, b的接近程度由| ab |確定. | ab |越小, 則a, b越接近.因此, 要說明“ 當(dāng)n越來越大時(shí), xn越來越接近于1”就只須說明“ 當(dāng)n越來越大時(shí), | xn1 |會(huì)越來越接近于0”.而要說明“| xn1 |越來越接近于0”則只須說明“ 當(dāng)n充分大時(shí),| xn1 |能夠小于任意給定的, 無論多么小的正數(shù)” 就行了,也就是說無論你給一個(gè)多么小的正數(shù), 當(dāng)n充分大時(shí), | xn1 | 比還小,由于是任

4、意的,從而就說明了|xn1| 會(huì)越來越接近于0.,事實(shí)上, 給, 很小, 只須n1000 即可,數(shù)列中,從第1001項(xiàng)開始,以后各項(xiàng)都有,要,也即在這個(gè),又給, 則從第10001項(xiàng)開始,以后各項(xiàng)都有,一般, 任給 0, 不論多么小,只須,. 因此, 從第,項(xiàng)開始, 以后各項(xiàng)都有,. 因是任意的, 這就說明了當(dāng)n越來越大時(shí),xn會(huì)越來越接近于1.,要使,定義: 設(shè)xn是一個(gè)數(shù)列, a是一個(gè)常數(shù),若 0, 正整數(shù)N, 使得當(dāng)nN時(shí), 都有|xna|,則稱a是數(shù)列xn當(dāng)n無限增大時(shí)的極限, 或稱xn收斂于a,記作,這時(shí), 也稱xn的極限存在, 否則, 稱xn的極限不存在, 或稱xn是發(fā)散的.,定義中

5、的“當(dāng)n無限增大時(shí),xn無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)a”的意思是:當(dāng)n無限增大的過程中, xn與常數(shù)a的距離| xna |可以任意小,要它有多小就有多小。以數(shù)列xn= 為例,如果要| xn0 |= 小于 ,那么只要n100,即從第101項(xiàng)其,以后的一切項(xiàng)均能滿足這個(gè)要求;如果要| xn0 |1000,即從第1001項(xiàng)起,以后的一切項(xiàng)均能滿足這個(gè)要求;一般地,如果要| xn0 |10k,即從第10k+1項(xiàng)起,以后的一切項(xiàng)均能滿足這個(gè)要求。這就是“當(dāng)n無限增大時(shí),無限接近于常數(shù)0”的含義。,比如, 對于剛才的數(shù)列1. 有,若 0, 正整數(shù)N, 使得當(dāng)nN 時(shí), 都有|xna|,例1. 若xn=c (常

6、數(shù)), 則,若 0, 正整數(shù)N, 使得當(dāng)nN 時(shí), 都有|xna|,證:, 0. 由于|xn1|=|c c|= 0,取N=1, 當(dāng)nN時(shí), 有|xnc |=0,故,即常數(shù)的極限就是常數(shù)本身.,例2. 已知,證明數(shù)列,的極限為1.,證:,欲使,即,只要,因此 , 取,則當(dāng),時(shí), 就有,故,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 已知,證明,證:,欲使,只要,即,取,則當(dāng),時(shí), 就有,故,故也可取,也可由,N 與 有關(guān), 但不唯一.,不一定取最小的 N .,說明:,取,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證:,反設(shè)xn收斂, 但極限不唯一,設(shè)ba, 取,即, xna, 且xn b, (n),

7、ab.,第二節(jié)數(shù)列極限的性質(zhì)及收斂準(zhǔn)則,一、數(shù)列極限性質(zhì),定理1. 若數(shù)列收斂, 則其極限唯一.,由極限定義, 1, 當(dāng)nN1時(shí),N2, 當(dāng)nN2時(shí),取N=maxN1, N2, 則當(dāng)nN時(shí), 上兩式同時(shí)成立.,從而當(dāng) nN時(shí), 有,矛盾, 故極限唯一.,若 0, 正整數(shù)N, 使得當(dāng)nN 時(shí), 都有|xna|,幾何意義:,數(shù)列的有界性.,定義: 設(shè)有數(shù)列xn=f (n), 若M0, 使得|xn|M, n=1, 2, . 則稱數(shù)列xn有界,否則, 稱xn無界.,由于 |xn|MMxnM xnM, M.,故, 所謂xn有界, 就是xn要全部落在某個(gè)對稱區(qū)間M, M內(nèi).,看圖,例1. xn=(1)n有

8、界, 而xn=n2無界.,x,1,1,x,0,1,9,4,x1,x2,x3,0,x2n,x2n-1,設(shè)xna (n),則對n=1, 2, ,有|xn|M,證:,由定義, 對=1, 存在自然數(shù)N,當(dāng)nN時(shí), 有|xna|1,故 |xn|xna|+|a|1+|a|. 取M=max|x1|, |x2|, |xN|, 1+|a|,M,若 0, 正整數(shù)N, 使得當(dāng)nN 時(shí), 都有|xna|,定理2. 若xn收斂, 則xn有界.,定理2的逆命題不成立, 即:有界數(shù)列未必收斂。 如xn=(1)n有界, 但由定義和幾何意義知(1)n是發(fā)散的.,看圖,定理3.,推論2.,推論3: 設(shè)有數(shù)列xn, 若正整數(shù)N,

9、當(dāng)nN時(shí),夾逼準(zhǔn)則.,xn yn zn,證:, 0 , N1, 當(dāng)n N1時(shí), 有 |xn a| .,(1),即 a xn a + (2),.設(shè)數(shù)列xn, yn, zn滿足正整數(shù)N, 當(dāng) n N 時(shí), 有,N2, 當(dāng)n N2時(shí), 有 a zn a + (3),取 N * = maxN, N1, N2,則當(dāng)n N * 時(shí), (1), (2),(3)同時(shí)成立.,有,a xn yn zn a + ,即 | yn a | .,特別, 若在夾逼定理中, xn 和 zn 中有一個(gè)為常數(shù)列, 并滿足定理?xiàng)l件. 定理當(dāng)然成立.,即,若 a yn zn ,夾逼定理的意義有: (1) 給出判斷數(shù)列 yn 存在極限

10、的方法;,(2) 給出了求 yn 的極限的方法.,這一方法能解決很多較為困難的求極限問題.,例2. 求,解:用夾逼定理求解,,記,適當(dāng)放大和縮小,形成定理要求的連不等式,考慮將 xn,由于,所以,若數(shù)列xn滿足 x1x2xn, 則稱xn為單調(diào)遞增數(shù)列.,若x1x2xn, 則稱xn為單調(diào)遞減數(shù)列.,單調(diào)遞增和單調(diào)遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.,收斂準(zhǔn)則,例3. x n=n2是單調(diào)遞增數(shù)列, 但x n是發(fā)散的.,xn=(1)n是有界數(shù)列, 但xn=(1)n也是發(fā)散的.,定理4. 單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限;,單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限.,即, 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.,例4.數(shù)列,是單調(diào)遞增且有上

11、界的數(shù)列.,證: 首先注意到, 當(dāng)ab0時(shí),有,移項(xiàng), 有,即,(1) 取,有,即,(2) 取,有,即,(e=2.71828, 為一無理數(shù)),定義1.,或, 0, N 0, 當(dāng) n N 時(shí), 有 | xn | . 則稱 為無窮小量(無窮小數(shù)列).,第三節(jié) 數(shù)列極限運(yùn)算,一、無窮小量,(1) 無窮小量是指該數(shù)列以0為極限,任何一個(gè)量若其極限不為0, 則不是無窮小量.,所以, 除0外的任何常量(常數(shù)列)都不是無窮小量.,(3) 常數(shù)列 xn = 0 是無窮小量.,注:,定理1. (極限與無窮小的關(guān)系定理),證: , 0, N 0, 當(dāng) n N 時(shí), 有 | xna | .,即| n | .,故 x

12、n= a + n , 其中n 0 (n+時(shí)).,則 0, N 0, 當(dāng) n N 時(shí), 有 |n | .,即| xna | ., 若 xn= a + n , 其中n 0 (n+時(shí)).,故,性質(zhì)1. 有限多個(gè)無窮小量的代數(shù)和為無窮小量.,性質(zhì)2. 有限多個(gè)無窮小量的乘積仍是無窮小量.,則 xn yn 是無窮小量 . 即 有界量乘無窮小量仍為無窮小量.,推論. 常量乘無窮小量仍為無窮小量.,性質(zhì)3. 若 xn 是無窮小量, | yn | M(當(dāng) n N 時(shí)),性質(zhì)4. 若 xn 是無窮小量, yn a (0),則,1. 兩個(gè)無窮小量的商不一定是無窮小量.,2. 性質(zhì)1, 2中的條件有限多個(gè)不能丟.,

13、注:,例1.,解:,例2.,解:,故 原式 = 0.,看數(shù)列 xn = n2, 即, 1, 22, 32, , n2, .,當(dāng) n 越來越大時(shí), 數(shù)列 xn 的值也越來越大, 要多么大就有多么大, 可以大于預(yù)先給定的任意大的數(shù)G.稱為無窮大數(shù)列(無窮大量).,二、無窮大量,定義2. 若 G 0(無論多么大), N 0, 當(dāng) n N,時(shí), 有 | xn | G ,則稱 xn 為無窮大量, 記作,(1),(2) 任何常數(shù)列(常量)都不是無窮大量.,注:,即, 當(dāng)n N 時(shí), xn 都落在區(qū)間 G, G外面.,在 G, G內(nèi), 只有 xn 的有限多個(gè)項(xiàng).,例3. 設(shè) | q | 1.,證: G 0,

14、 (要證N 0, 當(dāng) n N 時(shí), 有 | qn | G ),要使 | qn | = | q |n G.,只須,則當(dāng) n N 時(shí), 有 | qn | G,故,例4. 數(shù)列 xn = (1+(1)n)n 是否為無窮大量?,解: 數(shù)列 xn 為,0, 22, 0, 24, 0, 26, .,如圖,所以 xn 不是無窮大量.,定義3.,從幾何上看,xn .,xn +.,證: 設(shè) xn 為無窮大量, 要證 為無窮小量., 0,因 xn 為無窮大量.,從而,定理2. 若 xn 是為無窮大量, 則 為無窮小量.,若 xn 是為無窮小量(xn 0), 則 為無窮大量.,(1) 兩個(gè)無窮大量的和, 差, 兩個(gè)

15、無窮大量的商都不一定是無窮大量.,比如, 當(dāng)n +時(shí), n2 , n2 ,但,n2 + (n2) = 0,都不是無窮大量.,但, +(+) = +,+() = .,注:,(2) 有界量乘無窮大量不一定是無窮大量.,無窮小量乘無窮大量不一定是無窮大量(無窮小量),特別,比如, 當(dāng)xn = n2 ,yn = 0,則 xnyn = 0 不是無窮大量.,(3) 若數(shù)列 xn , 則 xn 無界,但反之不對.,如, 當(dāng)xn = (2+(1)n)n . 無界, 但不是無窮大量.,(4) = , (有界量) = .,無窮大量,無窮小量,定理3. 設(shè)數(shù)列 xn和 yn 的極限都存在. 且,則,(1),(2),

16、(3) 設(shè) C 為常數(shù),有,(4) 當(dāng) b0 時(shí),有,三、數(shù)列極限的運(yùn)算法則,證:只證(1).,因,由極限與無窮小關(guān)系,,有,,xn=a+n, yn=b+n,其中n, n0(n+).,從而 xn yn =(a b)+(n n ),由無窮小量性質(zhì)知n n0(n+),再由極限與無窮小的關(guān)系定理,知,定理4. 若,證:由于,注意到不等式 | | A | | B | | | A B |,從而 | | xn | | a | | | xn a | ,故,反之不對.,比如, 設(shè) xn = (1)n.,例5. 求,解:,一般, 稱形為 f (x) = a0 xk+a1xk1+ak1x+ak 為 x 的一個(gè) k

17、 次多項(xiàng)式. 其中k為非負(fù)整數(shù),ai為常數(shù), a00.兩個(gè)多項(xiàng)式的商稱為有理式(有理函數(shù)).,對這種以n為自變量的有理函數(shù)的極限問題(n時(shí)), 可將分子,分母同除以分母的最高次冪n2.,由于分母的極限等于5(0), 分子的極限等于3,,= 0,,= .,故,一般,若 a0, b0 都非0,則,,,0,,k L,k L,例6. 求,解:有理化.,= 50.,例7. 求,解:注意到求和公式,= 2.,例8. 求,解:注意到,從而,所以,原式=,例9. 求,解:注意到,從而,,故,內(nèi)容小結(jié),1. 數(shù)列極限的 “ N ” 定義及應(yīng)用,2. 收斂數(shù)列的性質(zhì):,唯一性 ; 有界性 ; 保號(hào)性;,任一子數(shù)列收斂于同一極限,3. 極限存在準(zhǔn)則:,夾逼準(zhǔn)則 ; 單調(diào)有界準(zhǔn)則 ;,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(1) 無窮小量是指該數(shù)列以0為極限,任何一個(gè)量若其極限不為0, 則不是無窮小量.,所以, 除0外的任何常量(常數(shù)列)都不是無窮小量.,(3) 常數(shù)列 xn = 0 是無窮小量.,無窮小量定義與性質(zhì):,(2) 有界量乘無窮大量不一定是無窮大量.,無窮小量乘無窮大量不一定是無窮大量(無窮小量),特別,(3) 若數(shù)列 xn , 則 xn 無界,但反之不對.,(4) = , (有界量) = .,(1) 兩個(gè)無窮大量的和, 差, 兩

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