同濟大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版上第二章第一節(jié)_導(dǎo)數(shù)的概念

1、導(dǎo)數(shù)的概念,在許多實際問題中，需要從數(shù)量上研究變量的 變化速度。如物體的運動速度，電流強度，線密度，比熱，化學(xué)反應(yīng)速度及生物繁殖率等，所有這些在數(shù)學(xué)上都可歸結(jié)為函數(shù)的變化率問題，即導(dǎo)數(shù)。,本章將通過對實際問題的分析，引出微分學(xué)中 兩個最重要的基本概念導(dǎo)數(shù)與微分，然后再建立求導(dǎo)數(shù)與微分的運算公式和法則，從而解決有關(guān)變化率的計算問題。,導(dǎo)數(shù)和微分是繼連續(xù)性之后，函數(shù)研究的進一步 深化。導(dǎo)數(shù)反映的是因變量相對于自變量變化的快慢程度和增減情況，而微分則是指明當自變量有微小變化時，函數(shù)大體上變化多少。,重點,導(dǎo)數(shù)與微分的定義及幾何解釋 導(dǎo)數(shù)與微分基本公式 四則運算法則 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則 高階導(dǎo)數(shù)

2、隱函數(shù)和參量函數(shù)求導(dǎo),難點,導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)，用定義求導(dǎo)，鏈式法則,一、問題的提出,1.自由落體運動的瞬時速度問題,如圖,取極限得,上述求瞬時速度的方法對一般變速直線運動也同樣適用。設(shè)物體作變速直線運動，運動路程為s = s(t)，則物體在時刻 t 0 的瞬時速度定義為,速度反映了路程對時間變化的快慢程度,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,播放,如果割線MN繞點M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.,極限位置即,如圖,二、導(dǎo)數(shù)的定義,定義,即,其它形式,關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：,導(dǎo)數(shù)概念是概括了各種各樣的變化率而得出 的一個更一般、更抽象的概念，它撇開了變量所代表的特殊意義，而純

3、粹從數(shù)量方面來刻畫變化率的本質(zhì),單側(cè)導(dǎo)數(shù),1.左導(dǎo)數(shù):,2.右導(dǎo)數(shù):,三、由定義求導(dǎo)數(shù)（三步法）,步驟:,例1,解,例2,解,例3,解,更一般地,例如,例4,解,特別地,例5,解,特別地,例6,解,四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義,1.幾何意義,切線方程為,法線方程為,切線方程為,法線方程為,切線方程為,法線方程為,例7,解,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為,所求切線方程為,法線方程為,2.物理意義,非均勻變化量的瞬時變化率.,變速直線運動:路程對時間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時速度.,交流電路:電量對時間的導(dǎo)數(shù)為電流強度.,非均勻的物體:質(zhì)量對長度(面積,體積)的導(dǎo)數(shù)為物體的線(面,體)密度.,五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系,定理 凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).,證,注意: 該定理的逆定理不成立.,連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例,例如,例如,例如,例8,解,六、小結(jié),1. 導(dǎo)數(shù)的實質(zhì): 增量比的極限;,3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率;,4. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);,5. 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法