線性代數(shù)課件-5.3向量空間的基和維.ppt

1、1、基和維的概念,2、再論線性代數(shù)方程組的解,5.3 向量空間的基和維,定義 設(shè)V為向量空間 如果r個(gè)向量a1 a2 arV 且滿(mǎn)足 (1) a1 a2 ar 線性無(wú)關(guān) (2)V中任一向量都可由a1 a2 ar 線性表示 那么 向量組a1 a2 ar 就稱(chēng)為向量空間V的一個(gè)基 r 稱(chēng)為向量空間V的維數(shù) 并稱(chēng)V為 r 維向量空間,注 （1）只有零向量的向量空間沒(méi)有基 規(guī)定其維數(shù)為0 （2）若把向量空間V看作向量組 則向量空間V的基就是向量組的最大無(wú)關(guān)組 向量空間V的維數(shù)就是向量組的秩 （3） 向量空間的基不唯一.,5.3.1 基和維,定義 如果在向量空間V中取定一個(gè)基a1 a2 ar 那么V中任

2、一向量 x 可唯一地表示為 x1a12a2 rar 數(shù)組 1 2 r 稱(chēng)為向量x在基a1 a2 ar中的坐標(biāo) 在向量空間Rn中以單位坐標(biāo)向量組e1 e2 en為基 則向量x(x1 x2 xn)T可表示為 xx1e1x2e2 xnen 可見(jiàn)向量在基e1 e2 en中的坐標(biāo)就是該向量的分量,注 線性空間V 的任意向量在不同的基下的坐標(biāo)一般不同, 但一個(gè)向量在一組基下的坐標(biāo)是唯一的,注 求一向量在一組基下的坐標(biāo)表示歸結(jié)為討論線性代數(shù)方程組有無(wú)解的問(wèn)題.,解,例 設(shè)A a1(2 2 1)T a2(2 1 2)T a3(1 2 2)T B b1(1 0 4)T b2(4 3 2)T 驗(yàn)證a1 a2 a3

3、是R3的一個(gè)基 并求b1 b2在這個(gè)基中的坐標(biāo),解,所以b1 b2在基a1 a2 a3中的坐標(biāo)依次為,例 設(shè)A a1(2 2 1)T a2(2 1 2)T a3(1 2 2)T B b1(1 0 4)T b2(4 3 2)T 驗(yàn)證a1 a2 a3是R3的一個(gè)基 并求b1 b2在這個(gè)基中的坐標(biāo),例 在R3中取定一個(gè)基a1 a2 a3 再取一個(gè)新基b1 b2 b3 設(shè)A(a1 a2 a3) B(b1 b2 b3) 求用a1 a2 a3表示b1 b2 b3的表示式(基變換公式) 并求向量在兩個(gè)基中的坐標(biāo)之間的關(guān)系式(坐標(biāo)變換公式),即基變換公式為 (b1 b2 b3)(a1 a2 a3)A1B 矩陣

4、PA1B稱(chēng)為從舊基到新基的過(guò)渡矩陣,解,由(a1 a2 a3)(e1 e2 e3)A 得,(e1 e2 e3)(a1 a2 a3)A1,故 (b1 b2 b3)(e1 e2 e3)B,(a1 a2 a3)A1B,解,基變換公式為(b1 b2 b3)(a1 a2 a3)A1B,設(shè)向量 x 在舊基和新基中的坐標(biāo)分別為y1 y2 y3和z1 z2 z3,這就是從舊坐標(biāo)到新坐標(biāo)的坐標(biāo)變換公式,例 在R3中取定一個(gè)基a1 a2 a3 再取一個(gè)新基b1 b2 b3 設(shè)A(a1 a2 a3) B(b1 b2 b3) 求用a1 a2 a3表示b1 b2 b3的表示式(基變換公式) 并求向量在兩個(gè)基中的坐標(biāo)之間

5、的關(guān)系式(坐標(biāo)變換公式),定理 設(shè)b1、bs 及 f1、ft 是向量空間的任兩組基，則必有 s=t.,定義 向量空間V 的任一基向量的個(gè)數(shù), 稱(chēng)為空間V 的維（dimension）, 記這個(gè)數(shù)為 dimV,證,利用等價(jià)向量組,根據(jù)向量空間基的定義可知兩組基等價(jià)的，,從而其秩相等：,由基的定義知兩組向量組都線性無(wú)關(guān)，即,從而,由于Rn有一組明顯的自然基，,故有 dim Rn = n , 即Rn是n維向量空間.,若S是Rn的任一子空間，則,注 盡管子空間S的維可以低于n，但它的任一向量卻是n維向量, 亦即空間維數(shù)與向量維數(shù)是不同的概念.,例 考慮練習(xí)2中給出的向量空間,其中,試求 dimV1.,解

6、,故知V1中任一向量x皆可依 a1, a2 線性表出.,又因矩陣 之秩為2，,故a1,a2線性無(wú)關(guān)，故 a1,a2是V1的基，,從而 dimV1=2.,但是 a1,a2 以及V1中的任一向量x皆為4維向量.,5.3.2 再論線性代數(shù)方程組的解,5.3.2.1 齊次方程組,m n齊次線性代數(shù)方程組,的解集 N(A) 是向量空間，現(xiàn)在進(jìn)一步指出：它的通解中,元素的一般式中所含有任意常數(shù)的個(gè)數(shù),n- r(A) 就是 N(A),的維數(shù) dimN(A), 即,基礎(chǔ)解系就是N(A)的一組基，它們線性無(wú)關(guān)，并生成N(A).,齊次方程組的通解式（或基礎(chǔ)解系）不惟一確定，,但通解式中獨(dú)立任意常數(shù)的個(gè)數(shù)是確定的，

7、每一任意,常數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)基向量，而基向量個(gè)數(shù),一定是n- r(A)個(gè).,例 試解齊次線性代數(shù)方程組,解 對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換,故 r(A)=2, 又n=4, 方程組有非零解且?guī)в衝-r(A)=2常數(shù).,取等價(jià)方程組,則方程組的通解為,基礎(chǔ)解系的構(gòu)成及特點(diǎn) (1)每一個(gè)向量都是齊次方程組的解; (2)基礎(chǔ)解系中共有 n-r(A) 個(gè)向量； (3)這組向量線性無(wú)關(guān).,根據(jù)通解的表達(dá)，該齊次方程組的解集可記為,因?yàn)?線性無(wú)關(guān)，即為 N(A) 的一組基，于是,而通解中的兩個(gè)任意常數(shù)即為解向量對(duì)這一組基的坐標(biāo).,基礎(chǔ)解系的構(gòu)成及特點(diǎn) (1)每一個(gè)向量都是齊次方程組的解; (2)基礎(chǔ)解系中共有 n-r(

8、A) 個(gè)向量； (3)這組向量線性無(wú)關(guān).,則方程組的通解為,現(xiàn)在的基礎(chǔ)解系是,不同基礎(chǔ)解系代表解空間的不同的基，但每一組基礎(chǔ)解系包含的解向量的個(gè)數(shù)是確定的，,5.3.2.2 非齊次方程組,用向量空間理論解釋相容性定理.,本章定理1說(shuō)明了方程組 Ax=b 即,相容性的重要條件是 bR(A) .,故方程組無(wú)解.,事實(shí)上，若,則必,必是b不能依a1，a2， ，an線性表出，即,說(shuō)明向量組a1， a2 ， ，an線性無(wú)關(guān)，故必為R(A)的一組基，,若,說(shuō)明生成 R(A)的n個(gè)向量a1， a2 ， ，an線性相關(guān)，而最大,因向量b對(duì)一組基的坐標(biāo)是惟一確定的，所以此時(shí)方程組有惟一解.,當(dāng),時(shí)，則b必可依A

9、的列向量組線表出，即,進(jìn)一步，若,線性無(wú)關(guān)組含 r 個(gè)向量.,假定最大線性無(wú)關(guān)組是an-r+1， ，,an ，為 R(A)的一組基.,t1，t2，tn-r ，,向量 b + t1a1 + + tn-ran-r 對(duì)這組基必有惟一確定的坐標(biāo)，,設(shè)為 1*、 2* 、 n-r* ，就有,亦必在R(A)中，所以對(duì) n r 個(gè)任意常數(shù)值,因b, a1, an-r均在 R(A)中，故它們的線性組合,b+t1a1+ + tn-ran-r= 1*an-r+1+ + n-r*an,從此式可看出，-t1 -tn-r 1* n-r*T是Ax=b的解，,由于t1、 t2、 tn-r可取任意值，故 Ax=b 的通解中含

10、有 n-r 個(gè)任意常數(shù).,其次，用向量空間的概念同樣直觀地解釋Ax=b,通解的結(jié)構(gòu)式,先給出m n相容非齊次方程組,解的性質(zhì)及其與對(duì)應(yīng)齊次方程組的解的關(guān)系.,定理 設(shè)m n相容非齊次方程組Ax=b的解集為S, 對(duì)應(yīng)齊次,方程組的解空間為N(A)，,(k0, k為常數(shù)）,(3) 對(duì)任意的 xhN(A),必 x1+ xh S.,(1),非齊次方程組的解集不是向量空間,結(jié)論(2)、(3)則說(shuō)明了當(dāng)已知其某個(gè)解 xp時(shí)，,方程組的通解 xp(即S中元素的通解)本質(zhì)上必能也,只能通過(guò) N(A)的通解 xh表出，為,隨著取xp的不同及在N(A)中取不同的基， xg的具體形式,還是可以多樣的，但其組成(結(jié)構(gòu))是惟一確定.,下面從另外一個(gè)角度說(shuō)明，當(dāng)生成向量線性相關(guān)時(shí)，生成向量空間中任一向量按生成向量的線性表出必有無(wú)限多種不同的形式.,例 對(duì)練習(xí)2中的 V2=span(b1, b2, b3), 可以,但b1、b2、 b3是線性相關(guān)的，即有不全為零的數(shù), 1、 2 、 3使成