矩陣變換的特征值與特征向量.ppt

1、北師大版高中數(shù)學(xué)選修4-2 多媒體課件,矩陣變換的特征值與特征向量,復(fù)習(xí),若向量= ,利用逆矩陣解二元一次方程組,則與共線,即與平行,即.,表示一個壓縮變換,關(guān)于y軸的反射變換,一般地,給定矩陣M,若存在一個非零向量和實(shí)數(shù),滿足 M = 則稱為矩陣M的特征值, 為矩陣M的屬于特征值的特征向量.,特征向量變換后的像與原向量是共線的,特征向量的不變換性,還有沒有其他的特征值和特征向量?,如何確定矩陣的特征值和特征向量呢?,實(shí)例分析,由定義知,特征向量是非零向量,將問題轉(zhuǎn)化為:二元一次方程組何時有非零解.,存在逆矩陣N-1,M 無特征向量,當(dāng) 2-5-24 = 0 時, 才可能是M的特征值,解方程得

2、 1 =8 2 =-3,將 1 =8 代入 (5.2),1 =8 是M的特征值,都是屬于特征值1 =8 的特征向量.,將 2 =-3 代入(5.2),x+y=0,對每一個x0的值,都是屬于2 =-3的特征向量,2 =-3 是 M 的特征值,對于矩陣M,若有特征值及相應(yīng)的特征向量, 即M=,則對任意實(shí)數(shù)t(t0),t也必是矩陣 M 對應(yīng)于特征值的特征向量.,由于它們是共線的,堂上練習(xí),1.求下列矩陣的特征值和特征向量,堂上練習(xí),2.利用特征向量的定義證明,若 是矩陣M對應(yīng)于特征值 的特征向量,則 t(實(shí)數(shù)t0)也必是矩陣 M 對應(yīng)于特征值 的特征向量.,抽象概括,若矩陣 M 存在特征值,及其對應(yīng)

3、的特征向量,因此,矩陣M的特征值必須滿足方程,方程的根即為矩陣 M 的特征值,一個二階方陣最多可以有兩個特征值,方程最多有兩根,解得特征值代入,當(dāng) b0 時,由( - a ) x by = 0,當(dāng)x0時,例1,解,矩陣M的特征值 滿足方程,解得 M 的兩個特征值 1=2, 2=3,設(shè)屬于特征值 1=2 的特征向量為,滿足方程組,這樣的向量有無窮多個,可表示為,為屬于特征值1=2的一個特征向量,設(shè)屬于特征值 2=3 的特征向量為,滿足方程組,這樣的向量有無窮多個,可表示為,為屬于特征值2=3的一個特征向量,對上例中,連續(xù)實(shí)施n次矩陣M的變換,則,一般地,當(dāng)矩陣M有特征值及對應(yīng)的特征向量 ,即 M = 則有 Mn = ,給定兩個不同線向量1,2及任意向量,總存在實(shí)數(shù)s,t,使得 = s1 + t2,如果矩陣M 有兩個不同線的特征向量1,2 ,及其相應(yīng)的特征值1,2 ,有 M1= 1 1 , M2= 2 2,對任意向量有,M=M(s1 + t2)=s(M1)+ t(M2)= s( 11)+ t(22),變換結(jié)果,任意向量在矩陣M 作用下的變換結(jié)果均可以用它們表示.,對一般向量連續(xù)實(shí)施矩陣M 所表示的變換時,M2 = M2(s1+t2),= s ( M21 ) +