D11_ 習(xí)題課.ppt

1、,習(xí)題課,一、 曲線積分的計算法,二、曲面積分的計算法,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,線面積分的計算,第十一章,一、曲線積分的計算法,1. 基本方法,曲線積分,第一類 ( 對弧長 ),第二類 ( 對坐標(biāo) ),(1) 統(tǒng)一積分變量,定積分,用參數(shù)方程,用直角坐標(biāo)方程,用極坐標(biāo)方程,(2) 確定積分上下限,第一類: 下小上大,第二類: 下始上終,練習(xí)題: P246 題 3 (1), (3), (6),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解答提示:,計算,其中L為圓周,提示: 利用極坐標(biāo) ,原式 =,說明: 若用參數(shù)方程計算,則,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,P246 3 (1),3(3

2、). 計算,其中L為擺線,上對應(yīng) t 從 0 到 2 的一段弧.,提示:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3(6). 計算,其中由平面 y = z 截球面,提示: 因在 上有,故,原式 =,從 z 軸正向看沿逆時針方向.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(1) 利用對稱性及形心公式簡化計算 ;,(2) 利用積分與路徑無關(guān)的等價條件;,(3) 利用格林公式 (注意加輔助線的技巧) ;,(4) 利用斯托克斯公式 ;,(5) 利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式 .,2. 基本技巧,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,對坐標(biāo)的曲線積分對稱性的應(yīng)用,設(shè)L為平面上分段光滑的定向曲線，P(x,y)，Q(x,

3、y)連續(xù),(1) L關(guān)于y軸對稱，則,若P關(guān)于x為奇函數(shù),若P關(guān)于x為偶函數(shù),若Q關(guān)于x為偶函數(shù),若Q關(guān)于x為奇函數(shù),其中L1是 L在右半平面部分.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(2) L關(guān)于x軸對稱，則,若P關(guān)于y為偶函數(shù),若P關(guān)于y為奇函數(shù),若Q關(guān)于y為奇函數(shù),若Q關(guān)于y為偶函數(shù),其中L1是 L在上半平面部分.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(3) L關(guān)于原點對稱，則,若P,Q關(guān)于(x, y)為偶函數(shù),若P,Q關(guān)于(x, y)為奇函數(shù),其中L1是 L在右或上半平面部分.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 計算,其中 為曲線,解: 利用輪換對稱性 , 有,利用形心公式

4、知,(的形心在原點),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 計算,其中L 是沿逆,時針方向以原點為中心,解法1 令,則,這說明積分與路徑無關(guān), 故,a 為半徑的上半圓周.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解法2,它與L所圍區(qū)域為D,(利用格林公式),思考:,(2) 若 L 同例2 , 如何計算下述積分:,(1) 若L 改為順時針方向,如何計算下述積分:,則,添加輔助線段,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考題解答:,(1),(2),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,計算,其中L為上半圓周,提示:,沿逆時針方向.,練習(xí)題: P246 題 3(5) ; P247 題6; 11,3(

5、5).,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,P247 6 .,設(shè)在右半平面 x 0 內(nèi), 力,構(gòu)成力場,其中k 為常數(shù),證明在此力場中,場力所作的功與所取的路徑無關(guān).,提示:,令,易證,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,P247 11.,求力,沿有向閉曲線 所作的,功, 其中 為平面 x + y + z = 1 被三個坐標(biāo)面所截成三,提示:,方法1,從 z 軸正向看去沿順時針方向.,利用對稱性,角形的整個邊界,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè)三角形區(qū)域為 , 方向向上,則,方法2,利用斯托克斯公式,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、曲面積分的計算法,1. 基本方法,曲面積分,第一

6、類( 對面積 ),第二類( 對坐標(biāo) ),二重積分,(1) 統(tǒng)一積分變量 代入曲面方程,(2) 積分元素投影,第一類: 始終非負(fù),第二類: 有向投影,(3) 確定二重積分域, 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思 考 題,1) 二重積分是哪一類積分?,答: 第一類曲面積分的特例.,2) 設(shè)曲面,問下列等式是否成立?,不對 ! 對坐標(biāo)的積分與 的側(cè)有關(guān),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 基本技巧,(1) 利用對稱性及形心公式簡化計算,(2) 利用高斯公式,注意公式使用條件,添加輔助面的技巧,(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面),(3) 兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化,機(jī)動

7、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,練習(xí):,P247 題4(3),其中 為半球面,的上側(cè).,且取下側(cè) ,提示: 以半球底面,原式 =,題4(2) , 題 9 同樣可利用高斯公式計算.,記半球域為 ,高斯公式有,計算,為輔助面,利用,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3.,證明: 設(shè),(常向量),則,單位外法向向量,試證,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 計算曲面積分,其中,解:,思考: 本題 改為橢球面,時, 應(yīng)如何,計算 ?,提示:,在橢球面內(nèi)作輔助小球面,內(nèi)側(cè),然后用高斯公式 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 設(shè) 是曲面,解: 取足夠小的正數(shù), 作曲面,取下側(cè),使其包

8、在 內(nèi),為 xoy 平面上夾于,之間的部分, 且取下側(cè) ,取上側(cè), 計算,則,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第二項添加輔助面, 再用高斯公式 計算, 得,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6. 計算曲面積分,中 是球面,解:,用形心公式,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例7.,設(shè)L 是平面,與柱面,的交線,從 z 軸正向看去, L 為逆時針方向, 計算,解: 記 為平面,上 L 所圍部分的上側(cè),D為在 xoy 面上的投影.,由斯托克斯公式,公式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,D 的形心,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,作 業(yè),P246 3 (2) , (4) ; 4 (2) ; 5,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(1) 在任一固定時刻 , 此衛(wèi)星能監(jiān)視的地球表面積是,備用題 地球的一個偵察衛(wèi)星攜帶的廣角高分辨率攝,象機(jī)能監(jiān)視其”視線”所及地球表面的每一處的景象并攝,像, 若地球半徑為R , 衛(wèi)星距地球表面高度為H =0.25 R ,衛(wèi)星繞地球一周的時間為 T , 試求,(2) 在,解: 如圖建立坐標(biāo)系.,的時間內(nèi) , 衛(wèi)星監(jiān)視的地球,表面積是多少 ?,多少 ?,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(1) 利用球坐標(biāo), 任一固定時刻監(jiān)視的地球表面積為,(2) 在,時間內(nèi)監(jiān)視的地球表面積為,點擊圖片