線性代數(shù)_行列式.ppt

1、第一章矩陣，1.6方陣的矩陣式，1。矩陣表達(dá)式的定義，2 .行列式的性質(zhì)，3。矩陣表達(dá)式的計(jì)算，4 .矩陣表達(dá)式的應(yīng)用，用愿望法引入二元線性方程組，1，二次矩陣表達(dá)式，1，矩陣表達(dá)式的定義，方程組主對(duì)角，次對(duì)角，對(duì)角法則，二次行列式的計(jì)算，記憶，二進(jìn)制線性方程組，系數(shù)決定因素，范例，解析，對(duì)角規(guī)則，范例3，解析，方程式的左端，AIJ的馀數(shù)Mij:具有AIJ的行，從欄中取得的二階矩陣表示式，AIJ的代數(shù)馀數(shù)AIJ:=A11 A22 A33 A12 A23 A31 A13 A21 A31計(jì)算行列式，解析：2，行式的性質(zhì)，用定義計(jì)算N階行式，必須計(jì)算N個(gè)N階行式。每個(gè)n -1階矩陣表達(dá)式都必須計(jì)算n

2、-1個(gè)n -2階矩陣表達(dá)式。不難統(tǒng)計(jì)。必須計(jì)算n總計(jì)！/2個(gè)次要決定因素。由于定義計(jì)算矩陣式的計(jì)算量太大，矩陣式一般不是按照定義直接計(jì)算，而是先利用矩陣式的性質(zhì)，簡(jiǎn)化矩陣式，然后再計(jì)算。特性1。矩陣轉(zhuǎn)換值保持不變，例如D=DT)。決定因素稱為決定因素的傳遞決定因素。記憶，說明：特性1表明矩陣式的行和列的地位相同。所有行都成立的性質(zhì)，列也同樣成立，下面的性質(zhì)只需要行或列成立。1 .矩陣表達(dá)式的基本性質(zhì)，示例1。證明：對(duì)角矩陣式，上(下)三角形矩陣式都等于主對(duì)角元素積。也就是說，注：示例1的結(jié)論在計(jì)算矩陣表達(dá)式時(shí)可以直接使用。向下三角形決定因素：連續(xù)應(yīng)用定義，根據(jù)第一行擴(kuò)展決定因素。證據(jù)：上三角形

3、矩陣式可以看作上三角形矩陣式的典型。性質(zhì)2。交換矩陣表達(dá)式的兩行(列)、行列變量；為了說明矩陣表達(dá)式的性質(zhì)，表示|A|的K行向量，Ak表示|A|的K列向量。這樣，矩陣表達(dá)式就能記住，注：交換I行和J行，交換I列和J列，推導(dǎo)1。特性3。數(shù)K乘以矩陣表達(dá)式的行(列)，等于數(shù)K乘以該行表達(dá)式。更換矩陣表達(dá)式的S列和T列可以表示為：例如，推理2。行列矩陣表達(dá)式與兩行(列)牙齒成正比時(shí)等于0牙齒。行列式中的I行：特性4。行列(列)元素行是兩組數(shù)的和時(shí)，行列式可以寫成兩個(gè)行式的和。(特性3，4的證明為類似特性2)，I行為兩組數(shù)的總和：特性5。將行列式(列)的每個(gè)元素乘以常數(shù)加到另一行(列)的相應(yīng)元素上，矩

4、陣式值保持不變。注：T行乘以K，S行乘以K，T列乘以K，然后加到S列，行列式的T列乘以K倍，然后加到S列。注：特性5是簡(jiǎn)化行式的最重要的方法，與特性2一起，任何行列都可以等同于上(下)三角形行列。例如，演示了如何應(yīng)用矩陣表達(dá)式的性質(zhì)來計(jì)算行表達(dá)式?；痉椒?(轉(zhuǎn)換為三角形):應(yīng)用矩陣特性，將矩陣表達(dá)式更改為上(下)三角形矩陣表達(dá)式，或?qū)⒕仃嚤磉_(dá)式轉(zhuǎn)換為已知值的矩陣表達(dá)式。，示例2。計(jì)算矩陣表達(dá)式，求解：R3提供系數(shù)3，示例3。n階矩陣式計(jì)算，解法1，將第一欄全部加入第一欄，結(jié)果，建議1欄空系數(shù)，從每列減去1列，向上三角形列式，解法2，3360范例5。設(shè)定|A|=|A1 A2 A3 A4|=3，

5、AiR41，尋找|B|=| A2 A3 A1 2A3 A4 2A1 |=？=4 (1)3 |A|=12。分析：| b |=| a2 a3 a1 2 a3 a4 a4 2 a1 |，=| a2 a3 a3 a4 2 a1 |，=| a2在更多情況下非常麻煩，甚至難以變?yōu)槿切尉仃?。提示：遷移決定因素建議因素ABCD。2 .行列式展開整理，特性6。N階行列D=det (aij)將任意行(列)的每個(gè)元素及其代數(shù)余子代的乘積之和，即，或證明：行列I行中的每個(gè)元素寫成N個(gè)數(shù)之和，然后將列j與列j-1、列j-2、列1交換，以使行1、列I，的女式，示例6。行列計(jì)算，根據(jù)行3展開，根據(jù)列3展開，證明：數(shù)學(xué)歸納

6、法，pandmond行列結(jié)果可用作公式，rn-x1rn-1，rn-1-x1rn-2，(2)行，(2):3，矩陣表達(dá)式的計(jì)算，計(jì)算矩陣表達(dá)式時(shí)，要根據(jù)矩陣表達(dá)式的特性選擇合適的方法，逐步簡(jiǎn)化，最終求出結(jié)果。n計(jì)算第一次行列式(爪)。其中示例8 .解釋：完全不是零牙齒時(shí)，1 .三角形行列計(jì)算，注：示例8腳行列式的結(jié)論在計(jì)算行式時(shí)可以直接使用。計(jì)算n階矩陣式，范例9。解決方案：在第一列中添加第一列，結(jié)果：決定因素的每一行都由相同的x，a1，an組成，即它們的行相同。，解法3(方程組方法):a b，參數(shù)A，B在行列式Dn中的地位對(duì)稱，結(jié)束，解法4(完全分解法):將Dn中的每一欄除以2欄的總和。理論上，

7、分解Dn后2n行列的和。但是每一列的后項(xiàng)與下一列的前部成比例，所以拆下后的非零矩陣表達(dá)式只有n個(gè)。，(同學(xué)們自行決定吧)，練習(xí)：用遞歸的方法計(jì)算矩陣式。提示：分解矩陣表達(dá)式的最后一列，3 .用其他方法計(jì)算矩陣表達(dá)式，作為數(shù)學(xué)歸納法證明，示例12。證明：階N上的數(shù)學(xué)歸納法，n=1點(diǎn)N階行列式的情況下，根據(jù)最后一行展開行式，由歸納假設(shè)，命題證明。計(jì)算決定因素，練習(xí)。提示：設(shè)置多項(xiàng)式f (x)=Dn，考慮多項(xiàng)式的根，將A=(AIJ)nn設(shè)置為正方形，元素Aij的代數(shù)馀數(shù)，為Aij，(1)伴隨矩陣，6 .決定因素，示例1。計(jì)算以下矩陣的伴隨矩陣，求解：(1)根據(jù)定義，計(jì)算主轉(zhuǎn)移負(fù)變量，(2)代數(shù)馀數(shù)，

8、(2)特性1集A*是矩陣A=(AIJ )nn的伴隨矩陣，A不奇怪也不退化，A可逆A并不奇怪。說明(2)。定理不僅提供了矩陣可逆性的要求，還提供了求逆矩陣的公式。(4) 1.3矩陣a，b是n階矩陣，滿足AB=E(或BA=E)時(shí)，a，b是徐璐逆矩陣。說明(4)。根據(jù)推斷，只需要確定B是否為A的逆矩陣，AB=E(或BA=E)。分析：示例2。判斷和逆矩陣下一個(gè)矩陣是否可逆。示例3。n階矩陣A，B滿足A B=AB。證明(A E)可逆和逆矩陣。分析：A B=AB，獲得：AB A B E=E，即(A E)(B E)=E，因此，A E是可逆的，(A E )-1=B E，說明(5練習(xí)：)，提示：使用關(guān)系。例如4

9、 .n階矩陣a滿足A2-2A 3E=0。(A E)-1，(A-4E)-1，范例5。n階矩陣A，B，C滿足ABC=E，并詢問A，B，C是否可逆，逆矩陣。(5)反轉(zhuǎn)塊對(duì)角矩陣，矩陣A1，A2，As可逆，A可逆，和逆矩陣，(6)反轉(zhuǎn)二次塊上(下)三角形矩陣，示例6。以下二級(jí)塊逆矩陣，求解(1) (2)(跳過，模仿(1)方法自行求解)，注：Cramer方法還可以簡(jiǎn)單地表示為：如果n階矩陣A是可逆的，則線性方程組Ax=b具有唯一的解x=A-1b，2。有克拉默定律。此外，其中Dj是行列D中J列之后的行列，使用B代替行列，1 .是的概念。在Amn中，K列、K欄(km，kn)、這些列與欄相交處的k2個(gè)元素、由

10、原始位置順序組成的K階列，以及A的K階子系。1 .k階子項(xiàng)，說明(1)。a總k次子。例如，第二階零個(gè)子項(xiàng)、第三階零個(gè)子項(xiàng)、1.7矩陣的等級(jí)、2 .等級(jí)的定義，矩陣A的非零子樣式的頂級(jí)數(shù)，矩陣A的等級(jí)記錄為r(A)=r或rank(A)=r。說明(1)。0 r(Amn) min m，n，說明(2)。0將矩陣排名為0。即r(O)=0，說明(3)。n階矩陣a的情況為3。矩陣表達(dá)式的性質(zhì)，命題1 r(A)=r A至少有一個(gè)R階比0子代，同時(shí)A的所有R階子代都為0。說明(4)。A有r(A) r A，而不是R階0牙齒。所有r子方程式為0 r(A) r，范例3，解析，說明(5)。梯形矩陣的個(gè)數(shù)可以直接由樓梯數(shù)確定，可以利用牙齒點(diǎn)嗎？2 .初等變換和矩陣中，任何矩陣A都可以通過有限差分變換變成階梯形矩陣。那么初等線變換會(huì)影響矩陣的排名嗎？1 .如果引理1矩陣A經(jīng)過初等行轉(zhuǎn)換后變成B，則只需證明r(A) r(B)，證明：初等行轉(zhuǎn)換一次。假設(shè)r(A)=r，A的R階子D 0。2 .如果引理2矩陣A經(jīng)過初等線變換后變成B，那么B可以通過初等線變換后變成A。(證明，利用初等行變換的可逆性)，以上引理，不難得出結(jié)論。3.定理1.12初等行變換不會(huì)改變矩陣的。說明(1)。矩陣計(jì)算：首先通過基本行轉(zhuǎn)換將矩陣更改為梯形矩陣，然后樓梯數(shù)確定矩陣。范例4 .計(jì)算以下矩陣的，求出最高階段的非零牙齒子表達(dá)式。解釋：