浙大第二章隨機變量及其分布.ppt

1、,應用數(shù)理學院,第二章 隨機變量,一、隨機變量概念的產(chǎn)生,在實際問題中，隨機試驗的結果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念.,第一節(jié) 隨機變量,1、有些試驗結果本身與數(shù)值有關（本身就是一個數(shù)）.,例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)；,七月份鄭州的最高溫度；,每天從鄭州下火車的人數(shù)；,昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；,2、在有些試驗中，試驗結果看來與數(shù)值無關，但我們可以引進一個變量來表示它的各種結果.也就是說，把試驗結果數(shù)值化.,正如裁判員在運動場上不叫運動員的名字而叫號碼一樣，二者建立了一種對應關系.,這種對應關系在數(shù)學上理解為定義了一種實值函數(shù).,e.,X(e),R,這種實值函數(shù)與在高等數(shù)學中大家接觸到的

2、函數(shù)一樣嗎？,（1）它隨試驗結果的不同而取不同的值，因而在試驗之前只知道它可能取值的范圍，而不能預先肯定它將取哪個值.,（2）由于試驗結果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實值函數(shù)取每個值和每個確定范圍內的值也有一定的概率.,稱這種定義在樣本空間上的實值函數(shù)為,隨,量,機,變,簡記為 r.v.(random variable),有了隨機變量,隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關系式表達出來.,二、引入隨機變量的意義,如：單位時間內某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機變量.,事件收到不少于1次呼叫 X 1,沒有收到呼叫 X= 0,三、隨機變量的分類,通常分為兩類：,如“取到次品的

3、個數(shù)”， “收到的呼叫數(shù)”等.,隨機變量,離散型隨機變量,連續(xù)型隨機變量,所有取值可以逐個 一一列舉,例如，“電視機的壽命”，實際中常遇到的“測量誤差”等.,全部可能取值不僅 無窮多，而且還不能 一一列舉，而是充滿 一個區(qū)間.,這兩種類型的隨機變量因為都是隨機變量，自然有很多相同或相似之處；但因其取值方式不同，又有其各自的特點.,學習時請注意它們各自的特點和描述方法.,設X是一個離散型隨機變量，它可能取的值是 x1, x2 , .,為了描述隨機變量 X ，我們不僅需要知道隨機變量X的取值，而且還應知道X取每個值的概率.,第二節(jié) 離散型隨機變量,其中 (k=1,2, ) 滿足：,（2）,用這兩條

4、性質判斷 一個函數(shù)是否是 概率分布,一、離散型隨機變量概率分布的定義,二、常見的離散型隨機變量的概率分布,(I) 兩點分布,(,設E是一個只有兩種可能結果的隨機試驗,用=1, 2表示其樣本空間. P(1)=p , P(2)=1-p,來源,X()=,1, = 1 0, = 2,每次試驗成功的概率都是p，這樣的n次獨立重復試驗稱作n重貝努里試驗，簡稱貝努里試驗或貝努里概型.,用X表示n重貝努里試驗中事件A（成功）出現(xiàn)的次數(shù)，則,稱r.v.X服從參數(shù)為n和p的二項分布，記作,XB(n,p),（II) 二項分布,注: 貝努里概型對試驗結果沒有等可能的要求，但有下述要求：,（1）每次試驗條件相同；,二項

5、分布描述的是n重貝努里試驗中出現(xiàn) “成功”次數(shù)X的概率分布.,（2）每次試驗只考慮兩個互逆結果A或 ，,且P(A)=p ， ；,（3）各次試驗相互獨立.,泊松分布的定義及圖形特點,設隨機變量X所有可能取的值為0 , 1 , 2 , , 且概率分布為：,其中 0 是常數(shù),則稱 X 服從參數(shù)為 的 泊松分布,記作XP( ).,(III) 泊松分布,由泊松定理，n重貝努里試驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.,我們把在每次試驗中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件. 如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等,連續(xù)型隨機變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間, 對這種類型的隨機變量, 不能象離散型隨機變量那樣

6、, 以指定它取每個值概率的方式, 去給出其概率分布, 而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.,下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機變量的描述方法.,第三節(jié) 連續(xù)型隨機變量,一、連續(xù)型r.v.及其概率密度函數(shù)的定義,1 o,2 o,這兩條性質是判定一個 函數(shù) f(x)是否為某r.vX的 概率密度函數(shù)的充要條件.,故 X的密度 f(x) 在 x 這一點的值，恰好是 X落在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長度 之比的極限. 這里，如果把概率理解為質量， f (x)相當于線密度.,對 f(x)的進一步理解,要注意的是，密度函數(shù) f (x)在某點處a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概

7、率就越大. 也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度.,若不計高階無窮小，有：,它表示隨機變量 X 取值于 的概率近似等于 .,二、隨機變量的分布函數(shù),設X()是一個隨機變量. 稱函數(shù) F(x):= PXx,-x 為隨機變量X的分布函數(shù).,分布函數(shù)的性質,（1）ab,總有F(a)F(b)(單調非減性) （2）F(x)是一個右連續(xù)的函數(shù) （3） xR1 ,總有0F(x)1(有界性),且,定義,即,設離散型隨機變量X的分布律為 pk:= PX=xk , k=1,2, X的分布函數(shù),離散型隨機變量的分布函數(shù),分布函數(shù)F(x)是一個右連續(xù)的函數(shù),在x=xk(k=1,2)處有跳躍值

8、pk=PX=xk,如下圖(圖2.2.1)所示,連續(xù)型 r.v.的分布函數(shù),即分布函數(shù)是密度函數(shù)的可變上限的 定積分.,由上式可得，在 f (x)的連續(xù)點，,三、常見的連續(xù)型隨機變量,正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布,正態(tài)分布是應用最廣泛的一種連續(xù)型分布.,正態(tài)分布在十九世紀前葉由 高斯(Gauss)加以推廣，所以通常稱為高斯分布.,德莫佛,德莫佛（De Moivre)最早發(fā)現(xiàn)了二項分布的一個近似公式，這一公式被認為是正態(tài)分布的首次露面.,（I）正態(tài)分布,(1) 正態(tài)分布的定義,若r.v. X 的概率密度為,記作,f (x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.,其中 和 都是常數(shù)， 任意， 0， 則稱X服從參

9、數(shù)為 和 的正態(tài)分布.,(Normal),(2) 正態(tài)分布 的圖形特點,正態(tài)分布的密度曲線是一條關于 對稱的鐘形曲線.,特點是“兩頭小，中間大，左右對稱”.,決定了圖形的中心位置， 決定了圖形中峰的陡峭程度.,正態(tài)分布 的圖形特點,故f(x)以為對稱軸，并在x=處達到最大值:,令x=+c, x=-c (c0), 分別代入f (x), 可得,f (+c)=f (-c),且 f (+c) f (), f (-c)f (),這說明曲線 f(x)向左右伸展時，越來越貼近x軸。即f (x)以x軸為漸近線。,當x 時，f(x) 0,用求導的方法可以證明，,為f (x)的兩個拐點的橫坐標。,x = ,這是高等數(shù)學的內容，如果忘記了，課下再復習一下。,若 r.v. X的概率密度為：,則稱X服從區(qū)間( a, b)上的均勻分布，記作：,X Ua, b,（II）均勻分布(Uniform),（注：X U（a, b）,均勻分布常見于下列情形：,如在數(shù)值計算中，由于