三排序不等式.pptx

1、排序不等式,四川省 綿陽中學(xué) 徐娟,教學(xué)要求： 了解排序不等式的基本形式，會(huì)運(yùn)用排序不等式分析解決一些簡(jiǎn)單問題，體會(huì)運(yùn)用經(jīng)典不等式的一般方法. 教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用排序不等式證明不等式. 教學(xué)難點(diǎn)：排序不等式的證明思路.,一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：,1. 提問： 前面所學(xué)習(xí)的一些經(jīng)典不等式？ （柯西不等式、三角不等式）,1.柯西不等式 設(shè)a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是實(shí)數(shù)，則(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2) ., 當(dāng)且僅當(dāng)bi=0(i=1,2,3,n)或存在一個(gè)數(shù)k,使得 時(shí)等號(hào)成立.,(a1b1+a2b2+anbn)2,ai=kbi(i=1,2,3,n),問題：, 我們S

2、= a1c1+a2c2 + +ancn 叫數(shù)組(a1,a2 , , an), (b1,b2 , , bn)的亂序和,我們S1= a1b1+a2b2 + +anbn 叫數(shù)組(a1,a2 , , an), (b1,b2 , , bn)的順序和,我們S2= a1bn+a2bn-1 + +anb1 叫數(shù)組(a1,a2 , , an), (b1,b2 , , bn)的反序和.,問：什么情況下S取得最大小？什么情況下S取得最??？,32,31,31,29,29,28,二、講授新課：,1. 教學(xué)排序不等式：,順序和,反序和,220,205,215,195,185,180,順序和,反序和,猜想：,猜想結(jié)論：,

3、我們S= a1c1+a2c2 + +ancn 叫數(shù)組(a1,a2 , , an), (b1,b2 , , bn)的亂序和,我們S1= a1b1+a2b2 + +anbn 叫數(shù)組(a1,a2 , , an), (b1,b2 , , bn)的順序和,我們S2= a1bn+a2bn-1 + +anb1 叫數(shù)組(a1,a2 , , an), (b1,b2 , , bn)的反序和.,問：什么情況下S取得最大??？什么情況下S取得最??？,證明：a1a2 an , b1b2 bn為兩組實(shí)數(shù)，c1,c2 ,cn是b1,b2 , , bn任一個(gè)排列,且b1,b2 , , bn的全排列只有n!個(gè)，,S=a1c1+a

4、2c2 + +ancn 的不同值只有有限個(gè)(個(gè)數(shù) n!)，其中必有最大值和最小值.,考慮式，若c1b1,則有某ck=b1(k1), c1ck.,將式中，c1、ck 對(duì)換，得： S=a1ck+akc1 + +ancn ,得：SS=a1ck+akc1 a1c1akck=(ak a1)(c1ck)0.,這說明將式中的第一項(xiàng)調(diào)換為a1b1后和式不減小.,若c1=b1,則轉(zhuǎn)而考察c2，并進(jìn)行類似討論.,類似地，可以證明，將式中的第一項(xiàng)調(diào)換為a1b1，第二項(xiàng)調(diào)換為a2b2后.和式不減小.,如此繼續(xù)下去，經(jīng)有限步調(diào)整，可知一切和數(shù)中，最大和數(shù)所對(duì)應(yīng)的情況只能是數(shù)組ci由小到大排序的情況，即 SS2.,同樣可以證明，最小和數(shù)是反序和，即S1S.,S1S S2.,至此我們證明了前面的猜想是正確的.,定理(排序不等式或稱排序原理) 設(shè)a1a2 an , b1b2 bn為兩組實(shí)數(shù)，c1,c2 ,cn是b1,b2 , , bn任一個(gè)排列,則a1bn+a2bn-1 + +anb1 a1c1+a2c2 + +ancn a1b1+a2b2 + +anbn ，當(dāng)且僅當(dāng)a