固體物理 電子教案 4.1自由電子氣的能量狀態(tài).ppt

1、第 一 節(jié) 自由電子氣的能量狀態(tài),4.1.1 金屬中自由電子的運(yùn)動(dòng)方程和解,4.1.2 波矢空間和能態(tài)密度,4.1.3 自由電子氣的費(fèi)米能量,本節(jié)主要內(nèi)容：,4.1.1 金屬中自由電子的運(yùn)動(dòng)方程和解,(1)金屬中的價(jià)電子彼此之間無相互作用；,4.1 自由電子氣的能量狀態(tài),1.模型(索末菲),自由電子氣(自由電子費(fèi)米氣體)：自由的、無相互作用的 、遵從泡利原理的電子氣。,(2)金屬內(nèi)部勢(shì)場(chǎng)為恒定勢(shì)場(chǎng)(價(jià)電子各自在勢(shì)能等于平均勢(shì)能的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng))；,(3)價(jià)電子速度服從費(fèi)米狄拉克分布。,為計(jì)算方便設(shè)金屬是邊長為L的立方體，又設(shè)勢(shì)阱的深度是無限的。粒子勢(shì)能為,2.薛定諤方程及其解,每個(gè)電子都可以建立一

2、個(gè)獨(dú)立的薛定諤方程：,E-電子的能量,-電子的波函數(shù)(是電子位矢 的函數(shù)),常用邊界條件,駐波邊界條件,周期性邊界條件,波函數(shù)為行波，表示當(dāng)一個(gè)電子運(yùn)動(dòng)到表面時(shí)并不被反射回來，而是離開金屬，同時(shí)必有一個(gè)同態(tài)電子從相對(duì)表面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)進(jìn)入金屬中來。,波矢，,為電子的德布羅意波長。,電子的動(dòng)量：,電子的速度：,由正交歸一化條件：,由周期性邊界條件：,(其中 為整數(shù)),4.1.2 波矢空間和能態(tài)密度,1.波矢空間,以波矢 的三個(gè)分量 為坐標(biāo)軸的空間稱為波矢空間或 空間。,金屬中自由電子波矢：,(1)在波矢空間每個(gè)(波矢)狀態(tài)代表點(diǎn)占有的體積為：,(2)波矢空間狀態(tài)密度(單位體積中的狀態(tài)代表點(diǎn)數(shù)):,2.

3、能態(tài)密度,(1)定義:,(2)計(jì)算:,波矢密度,兩個(gè)等能面間的波矢狀態(tài)數(shù),兩等能面間的電子狀態(tài)數(shù),能態(tài)密度,兩等能面間的波矢狀態(tài)數(shù)：,考慮到每個(gè)波矢狀態(tài)代表點(diǎn)可容納自旋相反的兩個(gè)電子，,能態(tài)密度:,例1：求金屬自由電子氣的能態(tài)密度,金屬中自由電子的能量,法1.,法2.,金屬中自由電子的能量,其中,在半徑為k的球體積內(nèi)電子的狀態(tài)數(shù)為：,自由電子氣的能態(tài)密度：,法3.,其中,4.1.3 自由電子氣的費(fèi)米能量,在熱平衡時(shí)，能量為E的狀態(tài)被電子占據(jù)的概率是,1.費(fèi)米能量,EF-費(fèi)米能級(jí)(等于這個(gè)系統(tǒng)中電子的化學(xué)勢(shì))，它的意義是在體積不變的條件下，系統(tǒng)增加一個(gè)電子所需的自由能。它是溫度T和晶體自由電子總

4、數(shù)N的函數(shù)。,2. 圖象,隨著T的增加，f(E)發(fā)生變化的能量范圍變寬，但在任何情況下，此能量范圍約在EF附近kBT范圍內(nèi)。,3.費(fèi)米面,E=EF的等能面稱為費(fèi)米面。,在絕對(duì)零度時(shí)，費(fèi)米面以內(nèi)的狀態(tài)都被電子占據(jù)，球外沒有電子。,T0時(shí)，費(fèi)米球面的半徑kF比絕對(duì)零度時(shí)費(fèi)米面半徑小，此時(shí)費(fèi)米面以內(nèi)能量離EF約kBT范圍的能級(jí)上的電子被激發(fā)到EF之上約kBT范圍的能級(jí)。,4.求EF的表達(dá)式,分兩種情況討論：,EE+dE間的電子狀態(tài)數(shù)：,EE+dE間的電子數(shù)：,系統(tǒng)總的電子數(shù)：,(1)在T=0K時(shí)，上式變成：,將自由電子密度N(E)=CE1/2代入得：,其中,令n=N/V，代表系統(tǒng)的價(jià)電子濃度，則有,自由電子氣系統(tǒng)中每個(gè)電子的平均能量由下式計(jì)算,金屬中一般 n1028m-3，電子質(zhì)量m=910-31kg，,幾個(gè)電子伏。,由上式可以看出即使在絕對(duì)零度時(shí)電子仍有相當(dāng)大的平均能量，這與經(jīng)典的結(jié)果是截然不同的。,(分步積分得來),(2),則上式化簡為,因此一方面，,另一方面，將g(E)在EF附近展開為泰勒級(jí)數(shù)：,函數(shù)的特點(diǎn)具有類似于函數(shù)的性質(zhì)，僅在EF附近kBT的范圍內(nèi)才有顯著的值，且是EEF的偶函數(shù)。,只考慮到二次方項(xiàng)，略去三次方以上的高次項(xiàng)，可得到