微積分B(1)第3次習(xí)題課(Stolz定理、函數(shù)極限)題目

1、 1 / 3 Page 1 of 3 微積分微積分 B(1)第第三三次習(xí)題課次習(xí)題課題目題目 一一、Stolz 定理定理 1 Stolz定理：定理：設(shè) n a和 n b為兩個(gè)數(shù)列， 若 n b單調(diào)增加， 且lim n n b = +， 1 1 lim nn n nn aa A bb + + = ， 則lim n n n a A b = （不不要要求求證證明明） 2利用利用 Stolz 定理求下列極限定理求下列極限 （1）已知lim n n aa =，求 12 2 2 lim n n aana n + （2）求 1 12 lim mmm m n n n + + ，其中m為自然數(shù) （3）求 2 1

2、 11 1 21 2 2 2 23 222 lim 212121 n n n n n 二二、無窮大量、無窮大量 1已知lim+ n n a =，求證： 12 lim+ n n aaa n + = 2已知數(shù)列 n a單調(diào)，且 12 lim n n aaa A n + = ，證明：lim n n aA = 3證明：數(shù)列 n a沒有收斂子列等價(jià)于lim n n a = 三三、函數(shù)極限、函數(shù)極限 1用函數(shù)極限的定義證明用函數(shù)極限的定義證明 （1） 2 2 21 lim2 3 x x x + = （2） 22 lim(sin2sin1)0 x xx += （3）設(shè)1a ，0k 利用lim0 k n n

3、n a =，求證：lim0 k x x x a + = 2求解下列各題求解下列各題 （1）已知極限 2 lim(1)0 x xxaxb + +=，求a與b的值 （2）求極限 22 220 lim x xpp xqq + + （0q ） （3）討論極限 1 11 lim x xx 是否存在，其中 x表示不超過x的最大整數(shù) （4）求極限 1 4 0 2esin lim 1e x x x x x + + + 2 / 3 Page 2 of 3 3求下列極限求下列極限 （1）求 1 2 0 lim(1sin ) x x x + （2）求 11 lim(sincos ) . x x xx + （3） 2

4、 2 2 1 lim 1 x x x x + （4）求 2 10 ln(1) lim ln(1) x xx xx + + 4求下列極限求下列極限 （1） 1 lim() 3 xxx x x abc + + ( , ,0)a b c ； （2） 11 lim 2 x xx x ab + + (0,0)ab； （3） 111 12 lim x xxx n x aaa n + + (0) k a； （4） 0 limcos x x x + ； （5） lim(arctan ) 2 x xx + ； （6） 11 2 1 lim33 xx x x + + ； （7） 1 4 lim 1 x x x +

5、 5已知 1 cos 0 e1 lim0 tan() x k x a x =，求k與a的值 6求極限： 2 1 lim(arctan)1 4 x x x x + + + 7求極限：limcoscoscos 242n n xxx 8證明：在x +時(shí)， ex x 是無窮大量 9證明：在x +時(shí)， ln x x 是無窮大量，并求極限 1 lim x x x + 10設(shè)( )f x和( )g x都是周期函數(shù) （1）若lim( )lim ( ) xx f xg x =, 則函數(shù)( )f x和( )g x有什么關(guān)系？ 證明你的結(jié)論 （2）若lim( ( )( )0 x f xg x =，且( )f x與( )g x的周期之比 f g T Q T =，則函數(shù)( )f x和( )g x又有 什么關(guān)系？ 11若 12 ( )sinsin2sin n f xaxaxanx=+，|( )| |sin|f xx，則 12 21 n aana+ 3 / 3 Page 3 of 3 12設(shè) 1 ,12, ( ) 1 ,2, xx f x x x = 1,1, 1, ( ) 1 ,1. n n xn nxnx fx xn x + （1）對(duì)任意固定的n，