離散數(shù)學(xué)集合的基本運(yùn)算.ppt

1、3.2 集合的基本運(yùn)算,集合的交、并、差、補(bǔ)、對(duì)稱差 集合相等的證明,并集union,定義：設(shè)A，B是兩個(gè)集合，所有屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作AB; AB=xxA xB。,交集intersection,定義：A，B是兩個(gè)集合，即屬于A，又屬于B，稱為集合A與B的交集，記為AB。即AB=xxA xB,廣義的并集,集合的并(union)：集合A和B的并AB定義為：AB = x | xA或者xB，集合的并可推廣到多個(gè)集合，設(shè)A1, A2, , An都是集合，它們的并定義為： A1A2An = x | 存在某個(gè)i，使得xAi,廣義的交集,集合的交(intersectio

2、n)：集合A和B的并AB定義為：AB = x | xA而且xB，集合的交也可推廣到多個(gè)集合，設(shè)A1, A2, , An都是集合，它們的交定義為： A1A2An = x | 對(duì)所有的i，都有xAi,集合的交并例題1,例如：集合A=x-2x2，xR， B=x0 x4,xR 求AB，AB 。 解： AB=x-2x2或0 x4,xR =x-2x4,xR AB=x-2x2且0 x4,xR =x0 x2,xR,集合的交并例題2,設(shè)A為奇數(shù)集合，B為偶數(shù)集合，求AB和AB 。 解：AB=xx是偶數(shù)或x是奇數(shù)=Z AB=xx既是偶數(shù)又是奇數(shù)=,集合的交并例題3,設(shè)A1=1，2，3，A2=2，1，3， A3=3

3、，1，2， 求A1A2，A1A3，A2 A3。 解：三個(gè)集合均有兩個(gè)元素，其中一個(gè)元素是數(shù)。另一元素是兩個(gè)數(shù)組成的集合，三個(gè)集合沒(méi)有相同元素，A1A2=A2A3=A3A1=,不相交,如AB=稱A，B不相交。,集合的差,設(shè)A，B是兩集合，屬于A而不屬于B的元素全體稱為A與B的差集，記作A-B， 即A-B=xxAxB。,補(bǔ)集(complement set),集合A的補(bǔ)集，記為A，是那些不屬于集合A的元素所構(gòu)成的集合， 即A=x | xA。 通常來(lái)說(shuō)，是在存在一個(gè)全集U的情況下討論集合的補(bǔ)集。全集U是所討論的問(wèn)題域中所有元素所構(gòu)成的集合。 顯然，A=E-A。,可知：xA xA xA,求證A-B=AB

4、,證明 A-B=x|xA-B =xxAxB =xxAxB =AB,當(dāng)A，B不相交時(shí)，A-B=A，B-A=B,對(duì)稱差,定義：設(shè)A，B是兩集合，集合（A-B）（B-A）稱為集合A，B的對(duì)稱差，記作AB。 即AB=xxA且x BxB且x A =x(xAx B)(xBx A) AB=(AB)-(AB),對(duì)稱差舉例,例1、A=a,b,e B=a,c,d 解：B-A=c,d A-B=b,e， AB=c,d,b,e 例2、A=xx-2,xR,E=xx2求A，AA。 解：A= xx-2=x-2x2，xR A-A= AA=(A-A)(A-A)=,集合運(yùn)算性質(zhì)（運(yùn)算律）,1、 交換律AB=BA，AB=BA 2、

5、結(jié)合律（AB）C=A（BC） （AB）C=A（B C） 3、 分配律 A（BC）=（AB）（AC） A（BC）=（AB）（AC) 4、冪等律 AA=A，AA=A 5、同一律 A=A,AE=A 9、 德摩根律（AB）=AB 6、零一律 A=，AE=E （AB）=AB 7、補(bǔ)余律 AA=，AA=E 10、雙重否定律（A）=A 8、吸收律 A（AB）=A 注：A-B=AB A（AB）=A,集合相等的證明的方法,一、利用集合的定義證明； 二、利用集合等式證明；（常用） 三、利用謂詞公式證明； 四、用集合成員表。（略）,證明：A（BC）=（AB）（AC）,(1)xA(BC ) ,分兩種情況 (a) 如x

6、AxAB且x AC x(AB)(AC) (b) 如x A,則xBCxB且xC xAB且xAC x(AB)(AC) 任何情況下均有x(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC),證明：A（BC）=（AB）（AC）(續(xù)),(2)x(AB)(AC)xAB且xAC 分兩種情況 (a) 若xA,則xA(BC) (b) 若x A， 由x A,xABxB, 由x A,xACxC xBCxA(BC) 任何情況均有xA(BC) (AB)(AC)A(BC) (1)(2)合并為 A（BC）=（AB）（AC）,求證：A-(BC)=(A-B)(A-C),證明： x(A-B)(A-C)， 則x(A-B) x(A-C) （

7、xA)(xB)(xA)(xC) （xA)(xB)(xC) （xA)(xB)(xC) （xA) (xBxC) (xA)(xBC ) x A-(BC) 從而， A-(BC)=(A-B)(A-C),利用謂詞公式證明求證：A-(BC)=(A-B)(A-C),證明：(A-B)(A-C)x|x(A-B)(A-C) =x|x(A-B) x(A-C) =x|xA(xB)(xA)(xC) =x|(xA)(xB)(xC) =x|(xA)(xB)(xC) =x|（xA) (xBxC) =x|(xA)(xBC ) =x| x A-(BC) =(A-B)(A-C),利用集合等式證明求證：A-(BC)=(A-B)(A-C

8、),(A-B)(A-C)ABAC =ABC =A(BC) =A-(BC),證明吸收律A（AB）=A,證明：A（AB） =（A）（AB） =A（B） =A =A,已知AB=AC,AB=AC,求證B=C,證明:B=B(AB) (吸收律) =B(AC) (等量代入) =(BA)(BC)(分配律) =(AC)(BC)(等量代入) =(AB)C(分配律) =(AC)C(等量代入) =C (吸收律) 說(shuō)明:AB=ACB=C AB=ACB=C 兩種推理均是不成立的。,課堂練習(xí),用三種方法求證： (B-A)A=BA,集合的化簡(jiǎn),化簡(jiǎn)(ABC)(AB)-(A(B-C)A) 證明:原集合=(AB)-A(吸收律)

9、=(AB)A =(AA)(BA)(分配律) =(BA) (互補(bǔ)律) =BA (同一律),集合包含的性質(zhì),AE 如果ABC，則AC ABAAB AB AB=B AB=A B A,集合包含的證明,方法： 一、包含的定義；xA，最后x B ； 二、利用已知等式和包含性質(zhì) A B AB=B AB=A A-B= B A,例題：證明：A，B是集合，AB P（A）P(B）, uP(A) uA, AB uB, uP（B） 從而P(A)P(B), xA xA xP(A), P(A)P(B) xP(B) xB AB 。, 另外 AP(A), P(A)P(B) AP(B) AB 。,例題：證明：如果AB，那么B A,證明： B A = (BA) = A 從而 B A,求證：如果A B，則P(A) P(B),證明：(使用定義：x左，最后x 右) x P(A) ，則x A， 又由已知A B，所以x B 從而x P(B) 。 P(A) P(B),例題,設(shè)F表示一年級(jí)大學(xué)生的集合，S表示二年級(jí)大學(xué)生的集合，R表示計(jì)算機(jī)系學(xué)生的結(jié)合，M表示數(shù)學(xué)系學(xué)生的集合，T表示選修離散數(shù)學(xué)的學(xué)生的集合，L表示愛(ài)好文學(xué)的學(xué)生的集合，P表示愛(ài)好體育的學(xué)生的集合。則下列句子所對(duì)應(yīng)的集合表達(dá)式為：,1）所有計(jì)算機(jī)系二年級(jí)