連續(xù)時間Fourier變換(ppt 100頁).ppt

1、第四章連續(xù)時間傅里葉變換。在前一章中，我們研究了如何將周期信號分解成指數(shù)信號的線性疊加，這對于我們的信號處理是非常方便的。同時，我們可以看到這種表示是如何用來描述LTI系統(tǒng)對這些信號的影響。那么，非周期信號能被類似地處理嗎？本章研究從周期信號到非周期信號的擴(kuò)展。對于非周期信號，它們的頻率是無限接近的?？梢钥闯觯鞣N各樣的信號，包括所有具有有限能量的信號，也可以用復(fù)指數(shù)信號的線性組合來表示。1對于周期信號，這些復(fù)指數(shù)基本信號構(gòu)造單位都是諧波關(guān)系；4.0，因此，作為線性組合表示的形式是積分，而不是求和。處理原理：非周期信號可以視為無限周期的周期信號。在這種表示中獲得的系數(shù)譜稱為傅里葉變換；利用這些

2、系數(shù)將信號表示為復(fù)指數(shù)信號線性組合的綜合積分，稱為傅里葉逆變換。更準(zhǔn)確地說，在周期信號的傅立葉級數(shù)表示中，當(dāng)周期增加時，基頻降低，諧波成分的頻率變得更接近。當(dāng)周期變?yōu)闊o窮大時，這些頻率分量形成一個連續(xù)的域，傅立葉級數(shù)的和成為一個積分。傅立葉的兩個主要貢獻(xiàn)是“周期信號可以表示為諧波關(guān)系中正弦信號的加權(quán)和?！备盗⑷~的第一個主要論點(diǎn)是“非周期信號可以用正弦信號的加權(quán)積分來表示?！备盗⑷~的第二個主要論點(diǎn)是非周期信號的4.1表示法：連續(xù)時間傅立葉變換。為了更深入地理解傅里葉變換表示的本質(zhì)，我們從連續(xù)時間方波的傅里葉級數(shù)表示開始。該信號的基波周期為t，基波頻率為。該方波信號的傅立葉級數(shù)為：圖4.2周期性方

3、波T1的傅立葉級數(shù)系數(shù)及其包絡(luò)是固定的。t=8t1，t=4t1，t=16t1、建立非周期信號傅里葉表示的基本思想是，當(dāng)周期信號的周期t趨于零時，它就變成非周期信號，頻率就變成連續(xù)變量。對于周期信號，當(dāng)周期信號的周期t接近時，它演變成非周期信號，傅立葉變換，逆傅立葉變換，(4月14日)，并且它們之間的關(guān)系是：周期信號的頻譜是非周期信號的頻譜的采樣；而非周期信號的頻譜是周期信號頻譜的包絡(luò)。其中綜合公式4-8是用于從連續(xù)信號的頻域表達(dá)式X(j)獲得時域表達(dá)式x(t)的公式，這被稱為逆傅立葉變換。分析公式49是用于從信號的時域表達(dá)式x(t)獲得頻域表達(dá)式X(j)的公式，其被稱為傅立葉變換或傅立葉積分。

4、由此，得到了非周期信號的傅里葉變換公式：當(dāng)時：傅里葉變換對。信號的時域表達(dá)式x(t)和頻域表達(dá)式X(j)通過傅立葉變換和逆變換連接，這被稱為傅立葉變換對。注：1時域表達(dá)式x(t)是一個關(guān)于時間的函數(shù)，它表示不同的時間點(diǎn)。頻域表達(dá)式X(j)表示信號被分解成不同頻率的指數(shù)信號的組合(只有這些指數(shù)信號的頻率變化是連續(xù)的)，自變量是頻率。兩者都是同一信號的不同表達(dá)，但不是不同的信號。它們之間的變換(即傅立葉變換和逆變換)也是從時域表達(dá)式導(dǎo)出頻域表達(dá)式或從同一信號的頻域表達(dá)式導(dǎo)出時域表達(dá)式的過程。(a) X()是密度函數(shù)的概念(b) X()是連續(xù)譜(c) X()包含從零到無限高頻率的所有頻率分量(d)每

5、個頻率分量的頻率不是諧波。注：綜合公式(4.8)對非周期信號的影響與公式(3.38)對周期信號的影響相同，因為兩者都相當(dāng)于將信號表示為復(fù)指數(shù)信號的線性組合。如果非周期信號的總能量(即，實(shí)時域中絕對值的平方積分)有限，則信號的傅立葉變換收斂?；蛘?，滿足以下三個條件的信號的傅立葉變換也收斂：1 .在整個域： 2中絕對可積。在任何有限的時間間隔內(nèi)，只有有限數(shù)量的波動；3任何有限區(qū)間都只有有限個不連續(xù)點(diǎn)，每個不連續(xù)點(diǎn)都是一個有限值。4.12傅立葉變換的收斂性，雖然這兩組條件給出了信號進(jìn)行傅立葉變換的充分條件，但在下一節(jié)中可以看出，如果在變換過程中可以使用脈沖函數(shù)，那么在無限區(qū)間內(nèi)既不是絕對可積的也不是

6、平方可積的周期信號也可以被視為具有傅立葉變換。這樣，就有可能把傅立葉級數(shù)和傅立葉變換納入一個統(tǒng)一的框架。4.1.3連續(xù)時間傅里葉變換例子，一個矩形脈沖信號，振幅譜：相位譜：譜圖，振幅譜，相位譜，帶寬：兩個單邊指數(shù)信號，譜圖，振幅譜：相位譜：三個DC信號，不滿足絕對可積條件，不能直接定義確定，無限時域，頻帶雖然我們的注意力主要集中在非周期信號在前面一節(jié)，事實(shí)上，傅里葉變換也可以建立周期信號。這樣，可以在統(tǒng)一的框架內(nèi)考慮周期性和非周期性信號。事實(shí)上，將會看到：4.2周期信號的傅立葉變換，1可以從周期信號的傅立葉級數(shù)表示直接構(gòu)造周期信號的傅立葉變換；所獲得的變換由頻域中的一系列脈沖組成，每個脈沖的面

7、積與傅立葉系數(shù)成正比。顯然，周期信號不滿足上述收斂判斷公式，并且通過將周期信號x(t)代入傅立葉變換公式獲得的積分結(jié)果是無限的。那么如何找到它的傅立葉變換呢？它是通過逆傅立葉變換在教科書中找到的。因為周期信號的傅里葉變換應(yīng)該與其傅里葉級數(shù)系數(shù)成正比，而且根據(jù)計算它是無限的，所以我們猜測它是一個脈沖。因此，通過找到頻域脈沖信號的傅立葉逆變換。考慮一個信號x(t)，它的傅里葉變換X(jw)是一個單脈沖，它的面積是它出現(xiàn)的地方，也就是說，它是從(4.8)的逆變換公式中得到的。如果X(jw)是一組頻率相等的脈沖函數(shù)的線性組合，也就是說，使用(4.8)，它可以是具有傅立葉級數(shù)系數(shù)的周期信號的傅立葉變換可

8、以被看作是出現(xiàn)在諧波頻率上的一系列脈沖函數(shù)，并且出現(xiàn)在第kth諧波頻率上的脈沖函數(shù)的面積是第kth傅立葉級數(shù)系統(tǒng)的兩倍。例4.6，再次考慮圖4.1中的方波信號，其傅立葉級數(shù)系數(shù)為：因此，該信號的傅立葉變換X(jw)為：其差值僅是比例因子，并且用脈沖函數(shù)代替條形圖，4.3連續(xù)時間傅立葉變換的性質(zhì)，本節(jié)主要介紹連續(xù)時間傅立葉變換的性質(zhì)。這些性質(zhì)可以從兩個公式本身的運(yùn)算中導(dǎo)出。掌握它不僅有助于我們進(jìn)行變換和逆變換，而且有助于我們將來利用傅立葉變換解決一些實(shí)際問題。主要內(nèi)容，對稱性，線性性質(zhì)，奇偶性，虛擬現(xiàn)實(shí)，標(biāo)度變換性質(zhì)，時移性質(zhì)，頻移性質(zhì)，微分性質(zhì)，時域積分性質(zhì)，意義，傅立葉變換是唯一的。傅里葉變換的性質(zhì)揭示了信號的時域特性和頻域特性之間的內(nèi)在聯(lián)系。討論傅里葉變換性質(zhì)的目的是：(1)了解特征的內(nèi)在聯(lián)系；使用屬性查找x()；了解在通信系統(tǒng)領(lǐng)域的應(yīng)用。，對稱屬性，1屬性，2含