無(wú)窮積分的性質(zhì)與收斂判別.ppt

1、三、狄利克雷判別法與阿貝爾判別法,2 無(wú)窮積分的性質(zhì)與收斂判別,首頁(yè),一、無(wú)窮積分的性質(zhì),二、比較判別法,任給 0，,首頁(yè),一、無(wú)窮積分的性質(zhì),限的柯西準(zhǔn)則導(dǎo)出無(wú)窮積分收斂的柯西準(zhǔn)則.,Ga，只要u1、u2G，便有,由定義知道，無(wú)窮積分,收斂與否，,取決于函數(shù),F（u）=,在u+ 時(shí)是否存在極限.,因此由函數(shù)極,定理11.1,無(wú)窮積分收斂的充要條件是：,存在,.,為任意常數(shù)，則,若 與 都收斂，,首頁(yè),此外，還可根據(jù)函數(shù)極限的性質(zhì)與定積分的性質(zhì)，導(dǎo)出無(wú)窮積分的一些相應(yīng)性質(zhì).,證明 由于,所以,收斂,只要,u1、u2G，,便有,性質(zhì)1 (線(xiàn)性性質(zhì)),k1、k2,也收斂，且,存在,.,首頁(yè),記,證

2、明,則,與 同斂態(tài)（即同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散），且有,首頁(yè),若f在任何有限區(qū)間a，u上可積，ab，,(2),其中右邊第一項(xiàng)是定積分.,證明,由于,收斂,存在.,又,其中右邊第一項(xiàng)是定積分，,所以,與,同斂態(tài)（即同時(shí)收斂或同時(shí),發(fā)散），且有,.,性質(zhì)2,則,當(dāng) 時(shí),首頁(yè),說(shuō)明: (1) 性質(zhì)2相當(dāng)于定積分的積分區(qū)間可加性; (2) 由性質(zhì)2及無(wú)窮積分的收斂定義可推出,收斂的另一充要條件:,任給 0，存在Ga，當(dāng)uG時(shí)，,總有,事實(shí)上，,收斂,J=,當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí),.,斂，則 亦必收斂，并有,首頁(yè),性質(zhì)3 若f 在任何有限區(qū)間a，u 上可積，且有 收,（3）,存在Ga，當(dāng)u2u1G 時(shí)，總有,利用定積

3、分的絕對(duì)值不等式，又有,證明,由,收斂，,根據(jù)柯西準(zhǔn)則（必要性），,任給,.,再由柯西準(zhǔn)則（充分性），證得 收斂.,又因,，令u+取極限，,立刻得到不等式(3).,首頁(yè),當(dāng),收斂時(shí)，,稱(chēng),為絕對(duì)收斂,稱(chēng)收斂而不絕,對(duì)收斂者為條件收斂.,性質(zhì)3指出：,絕對(duì)收斂,收斂.,但其逆命題一般不成立，,今后將舉例說(shuō)明收斂的無(wú)窮積分不一定絕對(duì)收斂(本節(jié)例3中,當(dāng)0p1時(shí),條件收斂).,則當(dāng),首頁(yè),發(fā)散）.,這一部分介紹無(wú)窮積分的絕對(duì)收斂判別法(比較準(zhǔn)則及 其三個(gè)推論).,二、比較判別法,由于,關(guān)于上限u是單調(diào)遞增的，,因此,收斂的充要條件是,存在上界.,根據(jù)這一分析，便立,即導(dǎo)出下述比較判別法（請(qǐng)讀者自己寫(xiě)

4、出證明）：,定理11.2（比較法則）,設(shè)定義在a，+上的兩個(gè)函數(shù)f 和g,都在任何有限區(qū)G(u)間a，u可積，,且滿(mǎn)足,收斂時(shí)，,必收斂,（或者，當(dāng),發(fā)散時(shí)，,首頁(yè),證明,法一, 根據(jù)P55 習(xí)題2結(jié)論: 設(shè)f 為定義在上的增(減)函,數(shù).,則,存在的充要條件為f 在,上有上(下)界 .,當(dāng),收斂時(shí),存在.,又G(u)單增,從而存在M0,使得,F(u)=,即F(u)有上界M.,又顯然F(u)單增.,故,存在,從而,必收斂.,首頁(yè),以及,法二 利用柯西準(zhǔn)則TH11.1,由于,收斂,根據(jù)柯西準(zhǔn)則（必要性）,對(duì)任意,存在Ga，當(dāng)u2u1G時(shí)，,總有,又,因此有,根據(jù)柯西準(zhǔn)則（充分性）,收斂.,例1,

5、討論,的收斂性,解,由于,為收斂,（1例4），,根據(jù)比較法則，,為絕對(duì)收斂.,上述比較法則的極限形式如下：,首頁(yè),（）當(dāng)c=0時(shí)，,推論1 若f 和g都在任何a，u上可積，g(x)0,且,，,則有,（）當(dāng)0c+時(shí)，,與,同斂態(tài)；,由,收斂可推知,也收斂；,（）當(dāng)c=+時(shí)，,由,發(fā)散可推知,也發(fā)散.,證明,(i),對(duì),當(dāng),時(shí),即,從而由比較法則結(jié)合性質(zhì)2知,與,同斂態(tài).,首頁(yè),(ii) 由,對(duì),當(dāng),時(shí),從而,從而由比較法則結(jié)合性質(zhì)2知,由,收斂可推知,也收斂.,(iii) 由,對(duì),當(dāng),時(shí),從而,從而由比較法則結(jié)合性質(zhì)2知,由,發(fā)散可推知,也發(fā)散.,當(dāng)選用,作為比較對(duì)象,時(shí)，,比較判別法及其,極限

6、形式成為如下兩個(gè)推論（稱(chēng)為柯西判別法）.,+時(shí)，,（）當(dāng)p1，0,+時(shí)，,首頁(yè),推論2 設(shè) f 定義于,（）當(dāng),，x,，且p1時(shí),收斂；,（）當(dāng),，x,，且p1時(shí),發(fā)散.,推論3 設(shè)f定義于,在任何有限區(qū)間a，u上可積，且,（）當(dāng)p1，0,發(fā)散.,收斂；,(a0)，,且在任何有限區(qū)間a，u,上可積，則有：,，,則有：,=0），推知1）對(duì)任何實(shí)數(shù),都有,首頁(yè),例2 討論下列無(wú)窮限積分的收斂性：,1）,； 2）,.,是同一回事.,1）由于對(duì)任何實(shí)數(shù),都是收斂的.,因此根據(jù)上述推論3（P=2，,2）由于,本例中兩個(gè)被積函數(shù)都是非負(fù)的，,=1，,因此根據(jù)上述推論3（P=,，,=1），,推知2）是發(fā)散的

7、.,解,故收斂與絕對(duì)收斂,首頁(yè),三、狄利克雷判別法與阿貝爾判別法,這里來(lái)介紹兩個(gè)判別一般無(wú)窮積分收斂的判別法.,若F（u）=,在,g（x）在,上當(dāng)x+時(shí)單調(diào)趨于0，,收斂.,由條件設(shè),M，u,任給,由于,.,對(duì)于任何u2u1G，,定理11.3（狄利克雷判別法）,則,證明,.,0，,=0，,因此存在Ga，,當(dāng)xG時(shí)，有,又因g為單調(diào)函數(shù)，,利用積分第二中值定理（定理9.10的推論），,上有界，,首頁(yè),存在,u1，u2，使得,.,于是有,=,.,根據(jù)柯西準(zhǔn)則，證得,收斂. ,，而 當(dāng)p1時(shí)收斂，,首頁(yè),定理11.4（阿貝爾（Abel）判別法）若,g（x）在上單調(diào)有界，則,收斂.,利用狄利克雷判別法

8、更方便地獲得證明（留作習(xí)題,例3 討論,與,（p0）的收斂性.,下面分兩種情形來(lái)討論：,（）當(dāng)p1時(shí)，,這是因?yàn)?這定理同樣可用積分第二中值定理來(lái)證明，,但又可,10）。,解,這里只討論前一個(gè)無(wú)窮積分，,后者有完全相同的結(jié)論.,絕對(duì)收斂.,收斂，,故由比較法則推知,收斂.,首頁(yè),（）當(dāng)0p1時(shí)，,，而,當(dāng)p0時(shí)單調(diào)趨于0 （x+），,故由狄利克雷判別法推知,當(dāng)p0時(shí)總是收斂的.,另一方面，由于,，,其中,而,收斂的.所以它是條件收斂的. ,滿(mǎn)足狄利克雷判別條件，是收斂的，,條件收斂.,有,是發(fā)散的，,因此當(dāng)0p1時(shí)該無(wú)窮積分不是絕對(duì),這是因?yàn)閷?duì)任意u1，,首頁(yè),例4 證明下列無(wú)窮積分都是條件收斂的：,，,，,.,前兩個(gè)無(wú)窮積分經(jīng)換元t=x2得到