九年級數(shù)學上冊 25.1 銳角三角比的意義（第1課時）教案 滬教版五四制

1、25.1急性三角形比值的顯著性(1級)教學目標：1.掌握銳角的切線和余切的概念和關(guān)系。2.應用銳角的正切和余切的概念，得到銳角的正切和余切。3.學生在探究銳角正切和余切的概念時，體驗到“實驗-觀察-猜想-演示”的自我體驗過程，從而感受到數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程。4.通過積極參與數(shù)學學習和問題解決活動，培養(yǎng)主觀意識和評價意識，初步培養(yǎng)積極的探究態(tài)度、獨立思考習慣和團隊合作精神。教學重點和難點：教學重點：銳角切線和余切的意義。教學難點：銳角正切和余切表達式的理解和正確應用。教學過程：首先，復習問題1.腦筋急轉(zhuǎn)彎：世界上有什么東西是永遠不能放大或縮小的嗎？2.這個問題在前一階段包含什么數(shù)學知識？老師：在

2、標度變換中，除了恒定角，還有其他不變量嗎？CAB3.眾所周知(如圖所示)，在RtABC中，C=90，A=25，B=，為什么？4.眾所周知(如圖所示)，在RtABC中，C=90，BC=3，AC=4，AB=，為什么？老師：我們可以看到在直角三角形中，角和邊之間是相互聯(lián)系的，那么直角三角形的邊和角之間是否有某種聯(lián)系呢？5.眾所周知(如圖所示)，在RtABC中，C=90，BC=1，AC=，A=6.眾所周知(如圖所示)，在RtABC中，C=90，BC=1，AB=，A=老師：從以上兩個小問題的答案中你能得出什么結(jié)論？7.眾所周知，在RtABC中，C=90，BC=3，AC=4，A=？老師：雖然我們暫時解決不

3、了這個問題，但是只要我們了解直角三角形中銳角和邊的關(guān)系，這個問題就很容易解決。設計意圖：這個環(huán)節(jié)是為了了解學生的認知基礎，引導學生為學習新課程做準備。通過深入的問題設計，可以激發(fā)學生學習新知識的興趣，學生可以清楚地理解為什么要學習“銳角三角形比”，知道學習“銳角三角形比”的意義，并逐步引入新課程。二、銳角正切和余切概念的介紹和應用1.介紹問題是：老師和學生展示兩個不同大小的三角形和45個角。老師：請拿出45度的三角尺。45直角邊與其相鄰直角邊的比值是多少？老師手里的45角三角形的直角邊與其相鄰的直角邊的比例是多少？這個比例會隨著三角形的縮放而改變嗎？同樣，探討了30直角三角形直尺的相關(guān)性質(zhì)。學

4、生們初步形成了一個概念：在直角三角形中，直角邊面對一個特殊銳角的兩條線段的長度與相鄰直角邊的長度之比與直角三角形的大小無關(guān)。設計意圖：使用教具模型，直觀，有效啟發(fā)學生。老師：這是一個好方法，也是我們物理中常用的方法。然而，測量會產(chǎn)生誤差，如果數(shù)據(jù)不友好，計算量將是巨大的。有沒有更有說服力的方法？學生討論：(老師的提示：平行線和線段的比例定理可以用在這里嗎？(從以上運算中，我們可以得到：RtAB1C1，RtAB2C2，RtAB3C3，顯然有B1C1 B2C2B3C3，所以我們可以得到：老師：通過大家的共同努力，我們的猜測得到了很好的證實，那么我們能得出什么結(jié)論呢？(學生總結(jié)，教師補充)結(jié)論：在放

5、大和縮小時，當銳角的大小固定時，無論RtABC的邊長如何變化，兩個直角邊的比值總是不變的。(也就是說，直角三角形的兩個直角之比是由直角三角形中銳角的確定唯一確定的。(設計意圖：學生體驗“運算-猜想-論證-歸納”的自我體驗過程，感受數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，激發(fā)學生的探究精神和相互合作精神。2.得到了銳角切線和余切的概念老師：正是因為直角三角形中的銳角和兩個直角邊之間有這樣的關(guān)系。為了簡潔明了地表達這種關(guān)系，聰明的古人用一些符號來表達銳角和直角三角形邊之間的關(guān)系。這是我們今天要學習的“銳角三角形比率”(揭示主題)我們把銳角的對邊與它的鄰邊之比稱為銳角的切線。寫成tanA。那就是：老師：因為在直角三角

6、形中，銳角的對邊與鄰邊的比率與銳角的大小有關(guān)，所以它的鄰邊與對邊的比率也與銳角的大小有關(guān)。因此，存在第二個“銳角三角形比率”。我們把銳角的鄰邊與對邊之比稱為銳角的余切。那就是：(1)同一銳角的切線和余切是互逆的，即：兩個互補銳角的切線是互逆的，兩個互補銳角的余切是互逆的。也就是說，如果AB=90，那么tanatanb=1，cotacotb=1在兩個互補的銳角中，一個銳角的切線等于其互補角的余切。也就是說，如果AB=90，那么tanA=ctgB，tanB=cotA設計意圖：讓學生根據(jù)題目的結(jié)果找出切線和余切的關(guān)系。而不是老師的直接灌輸。同時，學生在解決問題時應該養(yǎng)成自己畫草圖的習慣。例2:在Rt

7、ABC中，C=90，tanA=2，AC=2，求BC和AB的值。設計意圖：示例1和練習都與線段的長度相切或共切。相反，使用正切值來尋找直角邊的長度。讓學生學會靈活運用自己的知識，培養(yǎng)自己從別人那里推理的能力。整合練習4:1.在RtABC中，C=90，AB=10，BC=_ _ _ _ _ _，AC=_ _ _ _ _ _。2.如圖所示，在RtABC中，acb=90，CDAB，并且垂直的腳是點d，找出所有線段等于cotB的比率。(本課題不僅要考慮 b可以在兩個直角三角形中，還要考慮角的余切等于B。目的是培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S能力，并強調(diào)“當直角三角形的銳角大小確定后，無論邊長如何變化，直角之比總是確定的

8、。”三，課堂總結(jié)學生們獨立總結(jié)，在相互交流中，他們感受到了這門課的經(jīng)驗和收獲。討論中可能有些混亂。此時，老師立即指導并配合完成了課堂總結(jié)。1.直角三角形的兩個直角之比是由直角三角形的銳角決定的。2.正切和余切的概念。3.切線和余切之間的關(guān)系：(1)同一銳角的切線和余切是互逆的，即：兩個互補銳角的切線是互逆的，兩個互補銳角的余切是互逆的。也就是說，如果AB=90，那么tanatanb=1，cotacotb=1在兩個互補的銳角中，一個銳角的切線等于其互補角的余切。也就是說，如果AB=90，那么tanA=cotB，tanB=cotA設計意圖：體現(xiàn)教學的民主性，培養(yǎng)學生總結(jié)歸納問題的能力和團隊精神。教師應適當引導學生反思學習過程，增強他們的