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1、24.3相似三角形的性質(zhì)學(xué)習(xí)指導(dǎo)1.學(xué)習(xí)了相似三角形的性質(zhì)后,對(duì)于涉及到相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)高、周長的問題,應(yīng)立即聯(lián)想到相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比,等于周長的比的性質(zhì).舉例如下.例1如圖1,已知ABCABC,點(diǎn)D、D分別是BC、BC的中點(diǎn),AEBC于E,AEBC于E.求證:DAEDAE.分析:欲證DAEDAE,只需證RtADERtADE即可.證明:ABCABC,BDCD,BDCD, AEBC,AEBC.圖1 (相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比).RtADERtADE.DAEDAE.例2已知如圖2,ABC與ABC中,CC90,AA, BC6,AC8,ABC的周
2、長為72.求ABC各邊的長.圖2解:在RtABC中,AB10.ABC的周長681024.CC90,AA,ABCABC,.即AB30, BC18,CA24.說明:由已知條件知ABCABC,已知ABC各邊的長,要求ABC各邊的長,只要求出相似比即可.例3如圖3,四邊形ABCD中,ADCACB90,且AB18,AC12,AD8,CEAB,DFAC,垂足為E、F.(1)求的值;(2)求證:CECD.分析:由題設(shè)可知,DF、CE分別為ACD和ABC的高,因此只要證得ACDABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得.(1) 解:AB18,AC12,AD8, .AECAFD90,RtABCRtACDCEAB,DF
3、AC.(2)證明:RtABCRtACD,BACCAD. 圖3CEAB,CDAB,CECD.例4已知,如圖4,ABC中,OB、OC分別平分ABC、ACB,ODAB交BC于D,OEAC交BC于E.求證:BC2=DE(AB+BC+AC)分析:由ODAB,OEAC知ODEABC,要證結(jié)論中有ABC的周長,從而想到了利用相似三角形的周長比等于相似比證題.證明:ODAB4=ABC,1=3又1=2,2=3,BD=OD同理可證:OE=CEOEAC,5=ACB,ODEABC圖4即 BC2=DE(AB+BC+AC)說明:相似三角形的性質(zhì)較多,究竟選擇哪個(gè)性質(zhì),需要根據(jù)結(jié)論的特征靈活選擇.例5求證:相似三角形的面積
4、比等于相似比的平方.已知:如圖5,ABCABC,ABC與ABC的相似比為k.求證:=k2圖5分析:根據(jù)三角形的面積公式“三角形面積等于三角形的一邊乘以這邊上的高的一半”可先作出BC和BC邊上的高,再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比,對(duì)應(yīng)邊的比都等于相似比即可證出.證明:分別過A、A作BC、BC的垂線,垂足分別為D、D.ABCABC=k(相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比、對(duì)應(yīng)高的比等于相似比)說明:此結(jié)論在原教材中是定理,現(xiàn)已刪去,對(duì)此結(jié)論在解決填空題和選擇題中可直接應(yīng)用.但在求解題中要寫出推導(dǎo)過程.例6如圖6,正方形ABCD中,E為AB的中點(diǎn),F(xiàn)為CD延長線上一點(diǎn),且FEC=FCE,EF交AD于F.求證:SAEP
5、=4SPDF.分析:AEPPDF易證,要證出SAEP=4SPDF,關(guān)鍵證其相似比為21. 圖6證明:過F作FGCE與G,則CG=CE四邊形ABCD是正方形 ABCD,AB=BC=CD,B=90 BEC=FCE,B=FGC=90 BCEGFC設(shè)AE=BE=x,則BC=CD=AB=2xCE=DF=ABCD,AEPDFP,=4,SAEP=4SDFP說明:有等腰三角形時(shí),常作底邊上的高構(gòu)造三線合一的基本圖形,另外該題還可延長AB至N,使BN=BE,邊結(jié)CN,再證CENFEC,請(qǐng)讀者自己完成.2.利用相似三角形的性質(zhì)還可解決許多實(shí)際問題,舉例如下.例7如圖7,有一批形狀大小相同的不銹鋼片,呈直角三角形,已知C90,AC12cm,BC5cm,試設(shè)計(jì)一種方案,用這批不銹鋼片裁出面積最大的正方形不銹鋼片,并求出這種不銹鋼片的邊長.分析:要求面積最大的正方形,則正方形的頂點(diǎn)應(yīng)落在ABC的邊上,那么頂點(diǎn)落在邊上時(shí)有如圖8、9兩種情況.圖7 圖 8 圖9解:如圖8,設(shè)正方形EFGH的邊長為xcm,過C作CDAB于D,交EH于點(diǎn)M.ACB90,AC12,BC5,AB.AB
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