高等代數(shù)課件(北大三版)--第七章 線(xiàn)性變換.ppt

1、第七章 線(xiàn)性變換,7.1 線(xiàn)性映射 7.2線(xiàn)性變換的運(yùn)算 7.3 線(xiàn)性變換和矩陣,7.4 不變子空間 7.5 特征值和特征向量 7.6 可以對(duì)角化矩陣,課外學(xué)習(xí)8：一類(lèi)特殊矩陣的特征值,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,當(dāng)代數(shù)和幾何結(jié)合成伴侶時(shí)，他們就相互吸取對(duì)方的新鮮活力，并迅速地趨于完美。 -拉格朗日（Lagrange,1736-1813） 數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。 數(shù)缺形時(shí)少知覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微。 -華羅庚（19101985）,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.1 線(xiàn)性映射,一、內(nèi)容分布 7.1.1 線(xiàn)性映射的定義、例. 7.1.2 線(xiàn)性變換的象與核. 二、 教學(xué)目的: 1準(zhǔn)確線(xiàn)性變換（線(xiàn)性映射）的定義，判

2、斷給定的法則是否是一個(gè)線(xiàn)性變換（線(xiàn)性映射） 2正確理解線(xiàn)性變換的象與核的概念及相互間的聯(lián)系，并能求給定線(xiàn)性變換的象與核 三、 重點(diǎn)難點(diǎn): 判斷給定的法則是否是一個(gè)線(xiàn)性變換（線(xiàn)性映射），求給定線(xiàn)性變換的象與核,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.1.1 線(xiàn)性映射的定義、例,設(shè)F是一個(gè)數(shù)域，V和W是F上向量空間.,定義1 設(shè)是V 到W 的一個(gè)映射. 如果下列條件被滿(mǎn)足，就稱(chēng)是V 到W 的一個(gè)線(xiàn)性映射： 對(duì)于任意 對(duì)于任意 容易證明上面的兩個(gè)條件等價(jià)于下面一個(gè)條件： 對(duì)于任意 和任意,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,在中取 ，對(duì)進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納，可以得到： （1） （2）,例1 對(duì)于 的每一向量 定義 是 到 的一個(gè)映射，我們證明，是

3、一個(gè)線(xiàn)性映射.,例2 令H是 中經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一個(gè)平面.對(duì)于 的每一向量，令 表示向量在平面H上的正射影.根據(jù)射影的性質(zhì)， 是 到 的一個(gè)線(xiàn)性映射.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,例4 令V 和W是數(shù)域F 上向量空間.對(duì)于V 的每一向量令W 的零向量0與它對(duì)應(yīng)，容易看出這是V 到W的一個(gè)線(xiàn)性映射，叫做零映射.,例5 令V是數(shù)域F上一個(gè)向量空間，取定F的一個(gè)數(shù)k，對(duì)于任意 定義 容易驗(yàn)證，是V 到自身的一個(gè)線(xiàn)性映射，這樣一個(gè)線(xiàn)性映射叫做V 的一個(gè)位似. 特別，取k = 1，那么對(duì)于每一 都有 這時(shí)就是V到V的恒等映射，或者叫做V的單位映射，如果取k = 0，那么就是V 到V的零映射.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)

4、系,例6 取定F的一個(gè)n元數(shù)列 對(duì)于 的每一向量 規(guī)定 容易驗(yàn)證，是 到F的一個(gè)線(xiàn)性映射，這個(gè)線(xiàn)性映射也叫做F上一個(gè)n元線(xiàn)性函數(shù)或 上一個(gè)線(xiàn)性型.,例7 對(duì)于Fx 的每一多項(xiàng)式 f（x），令它的導(dǎo)數(shù) 與它對(duì)應(yīng)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)，這樣定義的映射是Fx到自身的一個(gè)線(xiàn)性映射.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,例8 令Ca, b是定義在a, b上一切連續(xù)實(shí)函數(shù)所成的R上向量空間，對(duì)于每一 規(guī)定 仍是a, b上一個(gè)連續(xù)實(shí)函數(shù)，根據(jù)積分的基本性質(zhì)，是Ca, b到自身的一個(gè)線(xiàn)性映射.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.1.2 線(xiàn)性變換的象與核,定義2 設(shè)是向量空間V到W的一個(gè)線(xiàn)性映射, (1) 如果 那么 叫做 在之下的象. (2)

5、設(shè) 那么 叫做 在 之下的原象.,定理7.1.1 設(shè)V 和W 是數(shù)域F 上向量空間，而 是一個(gè)線(xiàn)性映射，那么V 的任意子空間在之下的象是W 的一個(gè)子空間，而W 的任意子空間在之下的原象是V 的一個(gè)子空間.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,特別，向量空間V 在之下的象是W 的一個(gè)子空間，叫做的象, 記為 即 另外，W 的零子空間 0 在之下的原象是V 的一個(gè)子空間，叫做的核， 記為 即,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,定理7.1.2 設(shè)V和W是數(shù)域F向量空間，而是一個(gè)線(xiàn)性映射，那么 (i) 是滿(mǎn)射 (ii) 是單射 證明 論斷(i)是顯然的,我們只證論斷(ii) 如果是單射,那么ker()只能是含有唯一的零向量.反過(guò)來(lái)設(shè)ker

6、() = 0. 如果 那么 從而 所以 即是單射.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,如果線(xiàn)性映射 有逆映射 ，那么是W 到V 的一個(gè)線(xiàn)性映射. 建議同學(xué)給出證明.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.2 線(xiàn)性變換的運(yùn)算,一、內(nèi)容分布 7.2.1 加法和數(shù)乘 7.2.2線(xiàn)性變換的積 7.2. 3線(xiàn)性變換的多項(xiàng)式 二、 教學(xué)目的: 掌握線(xiàn)性映射的加法、數(shù)乘和積定義，會(huì)做運(yùn)算. 掌握線(xiàn)性變換的多項(xiàng)式, 能夠求出給定線(xiàn)性變換的多項(xiàng)式. 三、 重點(diǎn)難點(diǎn): 會(huì)做運(yùn)算.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.2.1 加法和數(shù)乘,令V是數(shù)域F上一個(gè)向量空間，V到自身的一個(gè)線(xiàn)性映射叫做V 的一個(gè)線(xiàn)性變換. 我們用L（V）表示向量空間和一切線(xiàn)性變換所成的集合，設(shè)

7、 定義: 加法: 數(shù)乘: , 那么是V的一個(gè)線(xiàn)性變換. 可以證明: 和 都是V 的一個(gè)線(xiàn)性變換.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,所以 是V的一個(gè)線(xiàn)性變換,令 ，那么對(duì)于任意 和任意,所以k是V的一個(gè)線(xiàn)性變換.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,線(xiàn)性變換的加法滿(mǎn)足變換律和結(jié)合律,容易證明,對(duì)于任意 ,以下等式成立:,(1),(2),令表示V到自身的零映射,稱(chēng)為V的零變換,它顯然具有以下性質(zhì)：對(duì)任意 有：,(3),設(shè) 的負(fù)變換指的是V到V的映射 容易驗(yàn)證，也是V的線(xiàn)性變換，并且,（4）,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,線(xiàn)性變換的數(shù)乘滿(mǎn)足下列算律：,這里k,l是F中任意數(shù)，,是V的任意線(xiàn)性變換.,定理7.2.1 L（V）對(duì)于加法和數(shù)乘來(lái)說(shuō)作成數(shù)域

8、F上一個(gè)向量空間.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.2.2線(xiàn)性變換的積,設(shè) 容易證明合成映射 也是V上的線(xiàn)性變換，即 我們也把合成映射 叫做與的積，并且簡(jiǎn)記作 。除上面的性質(zhì)外，還有：,對(duì)于任意 成立。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,證明 我們驗(yàn)證一下等式（9）其余等式可以類(lèi)似地驗(yàn)證。設(shè) 我們有,因而（9）成立。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.2.3 線(xiàn)性變換的多項(xiàng)式,線(xiàn)性變換的乘法滿(mǎn)足結(jié)合律：對(duì)于任意 都有,因此,我們可以合理地定義一個(gè)線(xiàn)性變換的n次冪,這里n是正整數(shù)。,我們?cè)俣x,這里表示V到V的單位映射，稱(chēng)為V的單位變換。這樣一來(lái)，一個(gè)線(xiàn)性變換的任意非負(fù)整數(shù)冪有意義。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,這個(gè)線(xiàn)性變換叫做當(dāng) 時(shí)f (x)的值，

9、并且記作,（1）因?yàn)閷?duì)于任意 我們也可將 簡(jiǎn)記作 ，這時(shí)可以寫(xiě),惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,（2）帶入法：如果 并且,那么根據(jù)L(V )中運(yùn)算所滿(mǎn)足的性質(zhì),我們有,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.3 線(xiàn)性變換和矩陣,一、內(nèi)容分布 7.3.1 線(xiàn)性變換的矩陣 7.3.2 坐標(biāo)變換 7.3.3 矩陣唯一確定線(xiàn)性變換 7.3.4 線(xiàn)性變換在不同基下的矩陣相似矩陣 二、教學(xué)目的: 1熟練地求出線(xiàn)性變換關(guān)于給定基的矩陣，以及給定n 階矩陣和基，求出關(guān)于這個(gè)基矩陣為的線(xiàn)性變換 2由向量關(guān)于給定基的坐標(biāo)，求出()關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo) 3已知線(xiàn)性變換關(guān)于某個(gè)基的矩陣，熟練地求出關(guān)于另一個(gè)基的矩陣。 三、重點(diǎn)難點(diǎn): 線(xiàn)性變換和矩陣之間的相

10、互轉(zhuǎn)換, 坐標(biāo)變換, 相似矩陣。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.3.1 線(xiàn)性變換的矩陣,現(xiàn)在設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)n維向量空間，令是V的一個(gè)線(xiàn)性變換，取定V的一個(gè)基 令,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,設(shè),N 階矩陣A 叫做線(xiàn)性變換關(guān)于基 的矩陣. 上面的表達(dá)常常寫(xiě)出更方便的形式:,(1),惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.3.2 坐標(biāo)變換,設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)n 維向量空間, 是它的一個(gè)基, 關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)是 而()的坐標(biāo)是 問(wèn): 和 之間有什么關(guān)系?,設(shè),惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,因?yàn)槭蔷€(xiàn)性變換，所以,（2）,將（1）代入（2）得,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,最后，等式表明， 的坐標(biāo)所組成的列是,綜合上面所述, 我們得到坐標(biāo)變換公式：,定理7.3.1 令

11、V是數(shù)域F上一個(gè)n 維向量空間，是V的一個(gè)線(xiàn)性變換，而關(guān)于V的一個(gè)基 的矩陣是,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,如果V中向量關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)是 ，而()的坐標(biāo)是 ，,那么,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,例1 在空間 內(nèi)取從原點(diǎn)引出的兩個(gè)彼此正交的單位向量 作為 的基.令是將 的每一向量旋轉(zhuǎn)角的一個(gè)旋轉(zhuǎn). 是 的一個(gè)線(xiàn)性變換.我們有,所以關(guān)于基 的矩陣是,設(shè) ，它關(guān)于基 的坐標(biāo)是 ,而 的坐標(biāo)是 .那么,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.3.3 矩陣唯一確定線(xiàn)性變換,引理7.3.2 設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)n 維向量空間， 是V的一個(gè)基，那么對(duì)于V 中任意n個(gè)向量 ，有且僅有 V 的一個(gè)線(xiàn)性變換，使得:,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,我們證明，是V的一個(gè)線(xiàn)性

12、變換。設(shè),那么,于是,設(shè) 那么,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,這就證明了是V的一個(gè)線(xiàn)性變換。線(xiàn)性變換顯然滿(mǎn)足定理所要求的條件：,如果是V的一個(gè)線(xiàn)性變換，且,那么對(duì)于任意,從而 ,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,定理7.3.3 設(shè)V 是數(shù)域 F 上一個(gè)n 維向量空間， 是V 的一個(gè)基，對(duì)于V 的每一個(gè)線(xiàn)性變換，令關(guān)于基 的矩陣A與它對(duì)應(yīng)，這樣就得到V 的全體線(xiàn)性變換所成的集合 L（V）到F上全體n 階矩陣所成的集合 的一個(gè)雙射，并且如果 ,而 ， 則 (3) (4),證 設(shè)線(xiàn)性變換關(guān)于基 的矩陣是A。那么 是 的一個(gè)映射。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,是F上任意一個(gè)n階矩陣。令,由引理7.3.2，存在唯一的 使,反過(guò)來(lái)，設(shè),顯然關(guān)于基

13、的矩陣就是A. 這就證明了如上建立的映射是 的雙射.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,設(shè) 我們有,由于是線(xiàn)性變換, 所以,因此,所以關(guān)于基 的矩陣就是AB。（7）式成立，至于（6）式成立，是顯然的。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,推論7.3.4 設(shè)數(shù)域F上n 維向量空間V 的一個(gè)線(xiàn)性變換關(guān)于V 的一個(gè)取定的基的矩陣是A，那么可逆必要且只要A可逆，并且 關(guān)于這個(gè)基的矩陣就是 .,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,我們需要對(duì)上面的定理7.3.1和定理7.3.3的深刻意義加以說(shuō)明:,1. 取定n 維向量空間V的一個(gè)基之后, 在映射: 之下, (作為線(xiàn)性空間),惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,研究一個(gè)抽象的線(xiàn)性變換, 就可以轉(zhuǎn)化為研究一個(gè)具體的矩陣. 也就是說(shuō),

14、線(xiàn)性變換就是矩陣.以后,可以通過(guò)矩陣來(lái)研究線(xiàn)性變換,也可以通過(guò)線(xiàn)性變換來(lái)研究矩陣.,2. 我們知道, 數(shù)域F上一個(gè)n 維向量空間V 同構(gòu)于 , V上的線(xiàn)性變換,轉(zhuǎn)化為 上一個(gè)具體的變換:,也就是說(shuō), 線(xiàn)性變換都具有上述形式.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.3.4 線(xiàn)性變換在不同基下的矩陣 相似矩陣,定義：設(shè) A，B 是數(shù)域 F 上兩個(gè) n 階矩陣. 如果存在F上一個(gè) n 階可逆矩陣 T 使等式成立，那么就說(shuō)B與A相似，記作： .,n階矩陣的相似關(guān)系具有下列性質(zhì)：,1. 自反性：每一個(gè)n階矩陣A都與它自己相似，因?yàn)?2. 對(duì)稱(chēng)性：如果 ，那么 ；因?yàn)橛?惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,事實(shí)上，由 得,設(shè)線(xiàn)性變換關(guān)于基 的

15、矩陣是 A , 關(guān)于基 的矩陣是 B , 由基 到基 的過(guò)渡矩陣T, 即:,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.4 不變子空間,一、內(nèi)容分布 7.4.1 定義與基本例子 7.4.2 不變子空間和線(xiàn)性變換的矩陣化簡(jiǎn) 7.4.3 進(jìn)一步的例子 二、教學(xué)目的 1掌握不變子空間的定義及驗(yàn)證一個(gè)子空間是否某線(xiàn)性變換的不變子空間方法 2會(huì)求給定線(xiàn)性變換的一些不變子空間 三、重點(diǎn)難點(diǎn) 驗(yàn)證一個(gè)子空間是否某線(xiàn)性變換的不變子空間、會(huì)求給定線(xiàn)性變換的一些不變子空間。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.4.1 定義與基本例子,令V是數(shù)域F上一個(gè)向量空間,是V的一個(gè)線(xiàn)性變換.,定義 V的一個(gè)子空間W說(shuō)是在線(xiàn)性變換之下不變, 如果

16、. 如果子空間W在之下不變，那么W就叫做的一個(gè)不變子空間.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,例1 V本身和零空間0顯然在任意線(xiàn)性變換之下不變. 例2 令是V的一個(gè)線(xiàn)性變換，那么的核Ker()的像Im()之下不變. 例3 V的任意子空間在任意位似變換之下不變. 例4 令是 中以某一過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)L為軸，旋轉(zhuǎn)一個(gè)角的旋轉(zhuǎn)，那么旋轉(zhuǎn)軸L是的一個(gè)一維不變子空間，而過(guò)原點(diǎn)與L垂直的平面H是的一個(gè)二維不變子空間.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,例5 令F x是數(shù)域F上一切一元多項(xiàng)式所成的向量空間， 是求導(dǎo)數(shù)運(yùn)對(duì)于每一自然數(shù)n，令 表示一切次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式連同零多項(xiàng)式所成的子空間. 那么 在不變.,設(shè)W是線(xiàn)性變換的一個(gè)不變子空間.只考

17、慮在W上的作用，就得到子空間E本身的一個(gè)線(xiàn)性變換，稱(chēng)為在W上的限制，并且記作 這樣，對(duì)于任意 然而如果 那么 沒(méi)有意義。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.4.2 不變子空間和線(xiàn)性變換的矩陣化簡(jiǎn),設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)n維向量空間，是V的一個(gè)線(xiàn)性變換。假設(shè)有一個(gè)非平凡不變子空間W，那么取W的一個(gè)基 再補(bǔ)充成V的一個(gè)基 由于W在之下不變，所以 仍在W內(nèi)，因而可以由W的基 線(xiàn)性表示。我們有：,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,因此，關(guān)于這個(gè)基的矩陣有形狀,而A中左下方的O表示一個(gè) 零矩陣.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,由此可見(jiàn)，如果線(xiàn)性變換有一個(gè)非平凡不變子空間，那么適當(dāng)選取V的基，可以使與對(duì)應(yīng)的矩陣中有一些元素是零。特別，如果V可以寫(xiě)成兩個(gè)非

18、平凡子空間的 直和： 那么選取 的一個(gè)基 和 的一個(gè)基 湊成V的一個(gè)基 當(dāng) 都在之下不變時(shí)，容易看出，關(guān)于這樣選取的基的矩陣是,這里 是一個(gè)r階矩陣,它是 關(guān)于基,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,一般地，如果向量空間V可以寫(xiě)成s個(gè)子空間 的直和，并且每一子空間都在線(xiàn)性變換之下不變，那么在每一子空間中取一個(gè)基，湊成V的一個(gè)基，關(guān)于這個(gè)基的矩陣就有形狀,這里 關(guān)于所取的 的基的矩陣.,的矩陣，而 是 nr階矩陣，它是 關(guān)于基 的矩陣。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,例6 令 是例4所給出的 的線(xiàn)性變換. 顯然 是一維子空間L與二維子空間H的直和，而L與H在 之下不變. 取L的一個(gè)非零向量 ，取 H 的兩個(gè)彼此正交的單位長(zhǎng)度向量

19、 那么 是 的一個(gè)基，而關(guān)于這個(gè)基的矩陣是,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.4.3 進(jìn)一步的例子,例7 如果 ，那么,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,例8 如果 ，那么對(duì)任何,證： ，那么,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,例10 是V上一個(gè)線(xiàn)性變換，W 是 生成的子空間： . 則.,證：,必要性：W中不變子空間，,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,（2）對(duì)任何包含的不變子空間W， 故 ， 即 包含W的一個(gè)最小子空間.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,解 算 的坐標(biāo)為（用“( )”表示取坐標(biāo)）,中線(xiàn)性無(wú)關(guān),惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,的坐標(biāo)排成的行列式為：,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,注意到 與 是等價(jià)向量組，因此,一.內(nèi)容分布 7.5.1 引例 7.5.2 矩陣

20、特征值和特征向量的定義 7.5.3 特征值和特征向量的計(jì)算方法 7.5.4 矩陣特征值和特征向量的性質(zhì) 小結(jié) 二.教學(xué)目的 1.理解特征值和特征向量的概念 2.熟練掌握求矩陣的特征值和特征向量的方法 3.掌握特征值與特征向量的一些常用性質(zhì) 三.重點(diǎn)難點(diǎn) 矩陣的特征值和特征向量的求法及性質(zhì),惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.5.1 引例,在經(jīng)濟(jì)管理的許多定量分析模型中，經(jīng)常會(huì)遇到矩陣的特征值和特征向量的問(wèn)題.,它們之間的關(guān)系為,寫(xiě)成矩陣形式，就是,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,記,，,，,，,即(2)式可寫(xiě)成,由上例我們發(fā)現(xiàn)，矩陣A乘以向量 恰好等于 的4倍，倍數(shù)4及向量 即是我們本節(jié)要討論的矩陣的特征值和特征向量.,惠州

21、學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.5.2 特征值和特征向量的定義,定義1：設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，是 F 中的一個(gè)數(shù)，如果存在 V 中非零向量 ，使得,那么稱(chēng)為矩陣A的一個(gè)特征值，稱(chēng)為A屬于特征值的特征向量.,例,又,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,(1) 如果向量 是矩陣 的特征向量， 則k = _,2,B.,C.,D.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.5.3 特征值和特征向量的計(jì)算方法,有非零解,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,定義2：,稱(chēng)為A的特征矩陣。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,解： A的特征多項(xiàng)式為,A的特征值為,對(duì)于 解,由于 得基礎(chǔ)解系,A的對(duì)應(yīng)于 的全部特征向量為,即,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,對(duì)于 解,即,由于,得基礎(chǔ)解系,A的對(duì)應(yīng)于 的全部特征向量為,惠州學(xué)

22、院數(shù)學(xué)系,注4：A的特征向量有無(wú)窮多個(gè)，分為兩大類(lèi)：,一類(lèi)為 一類(lèi)為,問(wèn)題1：同類(lèi)的兩個(gè)特征向量的線(xiàn)性相關(guān)性如何？ 問(wèn)題2：不同類(lèi)的任兩個(gè)特征向量的線(xiàn)性相關(guān)性如何？,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,求A的全部特征值和特征向量的方法：,1. 計(jì)算特征多項(xiàng)式,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,解 A的特征多項(xiàng)式,得基礎(chǔ)解系:,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,A的屬于特征值1的全部特征向量為,得基礎(chǔ)解為,A的屬于特征值 1 的全部特征向量為,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.5.4 特征向量和特征值的性質(zhì),只須證,注意到,性質(zhì)2 A的屬于不同特征值的特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,注意到,（*）,（*）,在（*）和（*）中令 = 0,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,惠州學(xué)院

23、數(shù)學(xué)系,小結(jié),4、求A的全部特征值和特征向量的方法：,5、3個(gè)性質(zhì)。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,作業(yè)：P296 1、（i）（iii）,思考題：矩陣A的特征值由特征向量唯一確定嗎？為什么？,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.6 可以對(duì)角化矩陣,一、內(nèi)容分布 7.6.1 什么是可對(duì)角化 7.6.2 本征向量的線(xiàn)性關(guān)系 7.6.3 可對(duì)角化的判定 7.6.4 矩陣對(duì)角化的方法及步驟 二、 教學(xué)目的 1掌握可對(duì)角化的定義與判斷 2熟練掌握矩陣對(duì)角化的方法步驟 三、重點(diǎn)難點(diǎn) 可對(duì)角化的判斷與計(jì)算。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.6.1 什么是可對(duì)角化,設(shè)A是數(shù)域F上一個(gè)n階矩陣，如果存在F上一個(gè)n階逆矩陣T，使得 具有對(duì)角形式（1）,則

24、說(shuō)矩陣A可以對(duì)角化.,我們知道, 可以通過(guò)矩陣來(lái)研究線(xiàn)性變換, 也可以通過(guò)線(xiàn)性變換來(lái)研究矩陣，本節(jié)更多的通過(guò)線(xiàn)性變換來(lái)研究矩陣. 矩陣A可以對(duì)角化對(duì)應(yīng)到線(xiàn)性變換就是:,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,設(shè)是數(shù)域F上 維向量空間V的一個(gè)線(xiàn)性變換，如果存在V的一個(gè)基，使得關(guān)于這個(gè)基的矩陣具有對(duì)角形式(1), 那么說(shuō)，可以對(duì)角化.,很容易證明, 可以對(duì)角化的充分必要條件是有 n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的本征向量. 這n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的本征向量顯然構(gòu)成V的基. 因此， 我們需要進(jìn)一步研究本征向量的線(xiàn)性關(guān)系，需要研究在什么條件下有 n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的本征向量.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.6.2 本征向量的線(xiàn)性關(guān)系,定理7.6.1 令是數(shù)域F上向量空

25、間V的一個(gè)線(xiàn)性變換.如果 分別是的屬于互不相同的特征根 的特征向量，那么 線(xiàn)性無(wú)關(guān).,證 我們對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明這個(gè)定理 當(dāng)n = 1時(shí)，定理成立。因?yàn)楸菊飨蛄坎坏扔诹?。設(shè)n 1并且假設(shè)對(duì)于n1來(lái)說(shuō)定理成立?，F(xiàn)在設(shè) 是的兩兩不同的本征值， 是屬于本征值 的本征向量：,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,如果等式,成立，那么以 乘（3）的兩端得,另一方面，對(duì)（3）式兩端施行線(xiàn)性變換，注意到等式（2），我們有,（5）式減（4）式得,根據(jù)歸納法假設(shè)， 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,但 兩兩不同，所以 代入（3），因?yàn)?所以 這就證明了 線(xiàn)性無(wú)關(guān)。,推論7.6.2 設(shè)是數(shù)域F上向量空間V的一個(gè)線(xiàn)性變換， 是的互不相

26、同的本征值。又設(shè) 是屬于本征值 的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的本征向量, 那么向量 線(xiàn)性無(wú)關(guān).,證 先注意這樣一個(gè)事實(shí)：的屬于同一本征值的本征向量的非零線(xiàn)性組合仍是的屬于的一個(gè)本征向量。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,由上面所說(shuō)的事實(shí)，如果某一 ，則 是的屬于本征值 的本征向量。因?yàn)?互不相同，所以由定理7.6.1，必須所有 即,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,7.6.3 可對(duì)角化的判定,定理7.6.3 令是數(shù)域F上n維向量空間V的一個(gè)線(xiàn)性變換，如果的特征多項(xiàng)式 在F內(nèi)有n個(gè)單根，那么存在V的一個(gè)基，使就關(guān)于這個(gè)基的矩陣是對(duì)角形式.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,將上面的定理轉(zhuǎn)化成矩陣的語(yǔ)言, 就是:,定理7.6.4 令A(yù)是數(shù)域F上一個(gè)n階矩陣，如果A的特征多項(xiàng)式 在F內(nèi)有n個(gè)單根，那么存在一個(gè)n階可逆矩陣T， 使,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,注意：推論7.6.4的條件只是一個(gè)n階矩陣可以對(duì)角化的充分條件，但不是必要條件。,下面將給出一個(gè)n 階矩陣對(duì)角化的充分必要條件。,定義：設(shè)是數(shù)域F上向量空間V的一個(gè)線(xiàn)性變換，是的一個(gè)特征根，令 則有 因而是V的一個(gè)子空間. 這個(gè)子空間叫做的屬于特征根的特征子空間.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,現(xiàn)在令V是數(shù)域F上一個(gè)n維向量空間，而是V的一個(gè)線(xiàn)性