第四節(jié)_二次型及其矩陣表示.ppt

1、1,第六章 二次型,第四節(jié) 二次型及其矩陣表示 第五節(jié) 標準型 第七節(jié) 正定二次型,第八節(jié) 正交替換化二次型為標準形,2,觀察如下多項式：,共同點：多項式中每一項都是二次的。,我們把這樣的多項式稱為二次型。,一二次型的概念,3,n 個變量x1, x2, , xn 的二次齊次多項式,(其中所有系數(shù)aij 是數(shù)域P 中的數(shù)),稱為數(shù)域P上的一個n 元二次型，簡稱為二次型.,定義：,4, 若系數(shù)aij 是復(fù)數(shù)，則稱 f (x1, x2, , xn ),為復(fù)二次型., 若系數(shù)aij 是實數(shù)，則稱 f (x1, x2, , xn ),為實二次型.,如：,是三元復(fù)二次型,說明:,是二元實二次型,不是二次型

2、,5,式也可以寫成,令,二.二次型的矩陣形表示,6,稱式為二次型的矩陣形式,則二次型可以寫成：,也稱為對稱矩陣A的二次型 . 對稱矩陣A 的秩,稱為二次型 f (x1, x2, , xn ) 的秩.,關(guān)系，稱A為二次型 f (x1, x2, , xn ) 的矩陣, f,A為對稱矩陣, 且與二次型 f 有一一對應(yīng),說明:,注:,二次型的矩陣是唯一的：它的主對角元是,平方項的系數(shù),系數(shù)的一半。,7,如,則,8,例1：,寫出二次型,的矩陣.,解：,二次型的矩陣為,9,例2： 設(shè)實對稱陣,求A 對應(yīng)的二次型.,解：因為A 是3階方陣，所以二次型有3個變量，,10,三可逆線性替換與二次型,的線性替換為,

3、定義: 設(shè),11,則,即, 若C 可逆，則稱線性替換 為可逆線性替換, 若矩陣C 是正交矩陣，則稱為正交線性替,換，簡稱為正交替換.,(或非退化線性替換) ,簡稱為可逆替換.,12,設(shè)二次型,為可逆替換，則有, A 是對稱矩陣，,也是對稱矩陣.,關(guān) 變,可逆線性替換將二次型變成二次型.,證：,定理:,B是它的矩陣。且,13,例3 設(shè)二次型,及可逆替換,二次型 f 的矩陣為,可逆替換的矩陣為,解：,14,為所求新二次型 .,設(shè),15,四矩陣的合同,設(shè)A , B 是兩個n 階方陣，如果存在可逆,矩陣C ，使得,則稱 A 與B 是合同的,易知, 若存在可逆替換把二次型XTAX 化成,二次型YTBY,

4、 則A與B合同。,定義：,合同是矩陣間的一種等價關(guān)系，滿足,說明:,反身性,對稱性,傳遞性。,16,數(shù)域 P 上n 元二次型能不能經(jīng)過可逆替換,化成只含平方項的二次型？,而二次型只含平方,本問題也就是：數(shù)域 P 上的n階對稱矩陣能不,項當且僅當它的矩陣是對角陣，因此研究的基,能合同于一個對角陣？,對于實數(shù)域上的n階對稱陣A,我們已經(jīng)知,道:存在正交矩陣T使得,為對角陣,本章研究的基本問題是：,即A合同于對角陣。,從而對于實數(shù)域上的 n 元二,次型,存在正交替換X=TY 把它化成只含平,方項的二次型，即,17,為A的全部特征值。,問題:,對于任意數(shù)域 P 上二次型及對稱矩陣 A,是否也有類似的結(jié)論？,即對于實數(shù)域上的二,替換化成只含平方項的二次型？,次型，能不能不作正交替換，而作一般的可逆,18,小結(jié),1. 二次型,2. 二次型的矩陣：二次型與對稱矩陣一一對應(yīng),3.可逆線性替換與二次型：矩陣的合同,19,21試證：若A 是n 階方陣，n 是奇數(shù)，且滿足,則,證：, n 是奇數(shù)，故有,20,23,設(shè)A為n 階方陣，,數(shù),解：,21,45.,取何值時，方程組,無解，有唯一解或有無窮多解？并在有無窮 多解時求方程組的一般