概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)+隨機(jī)變量的獨(dú)立性.ppt

1、兩事件A,B獨(dú)立的定義是： 若P(AB)=P(A)P(B) 則稱事件A,B獨(dú)立 .,隨機(jī)變量的獨(dú)立性,若X,Y獨(dú)立，則g(X),g(Y)也獨(dú)立。,則 相互獨(dú)立等價(jià)于 有,二維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性,設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為,解得 或 ； 或,設(shè) 的分布律為,若 相互獨(dú)立,則,二維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性,解,例1,則 相互獨(dú)立等價(jià)于 有,二維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性,設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為,設(shè)(X,Y) N(1,2,1,2,)，則,設(shè) 的密度函數(shù)為,其它,問(X,Y)是否獨(dú)立？,相互獨(dú)立,例2,二維連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性,隨機(jī)變量的分布是對隨機(jī)變量的一種完整的描

2、述，知道隨機(jī)變量的分布就全都知道隨機(jī)變量的所有特征。然后隨機(jī)變量的概率分布往往不容易求得的。,隨機(jī)變量的數(shù)字特征,隨機(jī)變量的這些統(tǒng)計(jì)特征通常用數(shù)字表示的。這些用來描述隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)性的數(shù)字稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征。其中最重要的是數(shù)學(xué)期望和方差二種。,加 權(quán) 平 均,3:3:4 2:3:5 2:2:6,73.7 70.0 66.8,73.2 70.1 67.8,甲 乙 乙,學(xué)生甲乙參加數(shù)學(xué)競賽, 觀察其勝負(fù),4.1,數(shù)學(xué)期望的概念,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為,離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,PX=xi=pi i=1,2,稱為X的數(shù)學(xué)期望。,數(shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量取值的集中趨勢的量。,例3 某種產(chǎn)品每件表

3、面上的疵點(diǎn)數(shù)服從參數(shù)為8的泊松分布,若疵點(diǎn)數(shù)不超過1為一等品，價(jià)值10元；疵點(diǎn)數(shù)大于1不多于4為二等品，價(jià)值8元；其它為廢品，不值錢.求： （1）產(chǎn)品的廢品率； （2）產(chǎn)品的平均值。,解 (1)設(shè)X為疵點(diǎn)數(shù)，則XP(0.8),其分布律為,離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,(2) 設(shè)Y為產(chǎn)品的價(jià)值，則Y的分布律為,離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度為f(x),連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,稱為X的數(shù)學(xué)期望。,數(shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量取值的集中趨勢的量。,連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,例5 X N ( , 2 ), 求 E ( X ) .,連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望,若X是離散型隨機(jī)變量，Y

4、=g(X)是X的隨機(jī)變 量函數(shù)，且E(Y)存在，則,隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，Y=g(X)是X的隨機(jī)變 量函數(shù)，且E(Y)存在，則,例7 XU0, ,求,隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,例8,隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,若(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，Z=g(X,Y), 且E(Z)存在，則,若(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，Z=g(X,Y), 且E(Z)存在，則,例9 求E(X),E(Y),E(XY).,隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,解 X,Y的邊緣分布為,數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),1.E (C ) = C,2. E (aX ) = a E (X ),3.E (X + Y )

5、 = E (X ) + E (Y ),4.當(dāng)X ,Y 獨(dú)立時(shí)，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .,線性性質(zhì),例10,數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),解 設(shè)隨機(jī)變量Xi為,則X=X1+ X2+ + X10,故 E(X)=E(X1)+ E(X2)+ + E(X10),而E(Xi)=1-(9/10)20 i=1,2,10,幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望,設(shè)有兩種牌號(hào)的手表，其走時(shí)誤差情況如下表,試問哪種牌號(hào)的手表質(zhì)量較好？,可見兩種手表的平均誤差一樣,分析,設(shè)兩種手表的走時(shí)誤差分別為 則,對于同一日誤差值，甲表的概率比乙的大，即平均說來甲表中誤差大的占的比例較多，故從直觀上看，乙表的質(zhì)量比甲好,方差的實(shí)際背景,平方偏差,平方偏差的數(shù)學(xué)期望,對 考慮偏差,存在,則稱 為 的方差 稱為標(biāo)準(zhǔn)差,隨機(jī)變量的方差,方差的計(jì)算,例1