趨勢(shì)面分析方法.ppt

1、第6節(jié) 趨勢(shì)面分析方法,趨勢(shì)面分析的一般原理 趨勢(shì)面模型的適度檢驗(yàn) 趨勢(shì)面分析應(yīng)用實(shí)例,一、趨勢(shì)面分析的一般原理,趨勢(shì)面分析，是利用數(shù)學(xué)曲面模擬地理系統(tǒng)要素在空間上的分布及變化趨勢(shì)的一種數(shù)學(xué)方法。 它實(shí)質(zhì)上是通過回歸分析原理，運(yùn)用最小二乘法擬合一個(gè)二維非線性函數(shù)，模擬地理要素在空間上的分布規(guī)律，展示地理要素在地域空間上的變化趨勢(shì)。,趨勢(shì)面分析方法常常被用來模擬資源、環(huán)境、人口及經(jīng)濟(jì)要素在空間上的分布規(guī)律，它在空間分析方面具有重要的應(yīng)用價(jià)值。 趨勢(shì)面是一種抽象的數(shù)學(xué)曲面，它抽象并過濾掉了一些局域隨機(jī)因素的影響，使地理要素的空間分布規(guī)律明顯化。,通常把實(shí)際的地理曲面分解為趨勢(shì)面和剩余面兩部分，前者

2、反映地理要素的宏觀分布規(guī)律，屬于確定性因素作用的結(jié)果；而后者則對(duì)應(yīng)于微觀局域，是隨機(jī)因素影響的結(jié)果。 趨勢(shì)面分析的一個(gè)基本要求，就是所選擇的趨勢(shì)面模型應(yīng)該是剩余值最小，而趨勢(shì)值最大，這樣擬合度精度才能達(dá)到足夠的準(zhǔn)確性。空間趨勢(shì)面分析，正是從地理要素分布的實(shí)際數(shù)據(jù)中分解出趨勢(shì)值和剩余值，從而揭示地理要素空間分布的趨勢(shì)與規(guī)律。,（一）建立趨勢(shì)面模型,設(shè)某地理要素的實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)為 ， 趨勢(shì)面擬合值為 ，則有 式中：i即為剩余值（殘差值）。 顯然，當(dāng)（xi，yi）在空間上變動(dòng)時(shí)，（3.6.1）式就刻畫了地理要素的實(shí)際分 布曲面、趨勢(shì)面和剩余面之間的互動(dòng)關(guān)系。,（3.6.1）,趨勢(shì)面分析的核心 從實(shí)際觀

3、測(cè)值出發(fā)推算趨勢(shì)面，一般采用回歸分析方法，使得殘差平方和趨于最小，即,這就是在最小二乘法意義下的趨勢(shì)面擬合。,用來計(jì)算趨勢(shì)面的數(shù)學(xué)方程式有多項(xiàng)式函數(shù)和傅立葉級(jí)數(shù)，其中最為常用的是多項(xiàng)式函數(shù)形式。因?yàn)槿魏我粋€(gè)函數(shù)都可以在一個(gè)適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)用多項(xiàng)式來逼近，而且調(diào)整多項(xiàng)式的次數(shù)，可使所求的回歸方程適合實(shí)際問題的需要。,多項(xiàng)式趨勢(shì)面的形式 一次趨勢(shì)面模型 二次趨勢(shì)面模型 三次趨勢(shì)面模型,（3.6.2）,（3.6.3）,（3.6.4）,（二） 估計(jì)趨勢(shì)面模型的參數(shù),實(shí)質(zhì) 根據(jù)觀測(cè)值z(mì)i，xi，yi（i=1,2,n）確定多項(xiàng)式的系數(shù)a0，a1，ap，使殘差平方和最小。 過程 將多項(xiàng)式回歸（非線性模型）模型轉(zhuǎn)

4、化為多元線性回歸模型。,令 則,其殘差平方和為,（3.6.5）,求Q對(duì)a0，a1，ap的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，得正規(guī)方程組(式中 為p+1個(gè)未知量）,（3.6.6）,用矩陣形式表示,則（3.6.6）式變?yōu)?（3.6.7）, 對(duì)于二元二次多項(xiàng)式有 其正規(guī)方程組為,由式（3.6.7）求解，可得,（3.6.8）,二、 趨勢(shì)面模型的適度檢驗(yàn),趨勢(shì)面擬合適度的R2檢驗(yàn) 趨勢(shì)面擬合適度的顯著性F檢驗(yàn) 趨勢(shì)面適度的逐次檢驗(yàn),趨勢(shì)面分析擬合程度與回歸模型的效果直接相關(guān)，因此，對(duì)趨勢(shì)面分析進(jìn)行適度性檢驗(yàn)是一個(gè)關(guān)系到趨勢(shì)面能否在實(shí)際研究中加以應(yīng)用的關(guān)鍵問題，也是趨勢(shì)面分析中不可缺少的重要環(huán)節(jié)。 這可以通過以下檢驗(yàn)

5、來完成：,（一）趨勢(shì)面擬合適度的R2檢驗(yàn),趨勢(shì)面與實(shí)際面的擬合度系數(shù)R2是測(cè)定回歸模型擬合優(yōu)度的重要指標(biāo)。 一般用變量z的總離差平方和中回歸平方和所占的比重表示回歸模型的擬合優(yōu)度。 總離差平方和等于回歸平方和與剩余平方和之和。即,越大（或 越?。┚捅硎疽蜃兞颗c自變量的關(guān)系越密切，回歸的規(guī)律性越強(qiáng)、效果越好。 記 越大，趨勢(shì)面的擬合度就越高。,（二）趨勢(shì)面擬合適度的顯著性F檢驗(yàn),趨勢(shì)面適度的F檢驗(yàn)，是對(duì)趨勢(shì)面回歸模型整體的顯著性檢驗(yàn)。 方法：是利用變量z的總離差平方和中剩余平方和與回歸平方和的比值，確定變量z與自變量x、y之間的回歸關(guān)系是否顯著。即 結(jié)果分析：在顯著性水平下，查F分布表得F，若計(jì)

6、算的F值大于臨界值F，則認(rèn)為趨勢(shì)面方程顯著；反之則不顯著。,（3.6.10）,（三）趨勢(shì)面適度的逐次檢驗(yàn),方法 (1)求出較高次多項(xiàng)式方程的回歸平方和與較低次多項(xiàng)式方程的回歸平方和之差; (2)將此差除以回歸平方和的自由度之差，得出由于多項(xiàng)式次數(shù)增高所產(chǎn)生的回歸均方差; (3)將此均方差除以較高次多項(xiàng)式的剩余均方差，得出相繼兩個(gè)階次趨勢(shì)面模型的適度性比較檢驗(yàn)值F。 若所得的F值是顯著的，則較高次多項(xiàng)式對(duì)回歸作出了新貢獻(xiàn)，若F值不顯著，則較高次多項(xiàng)式對(duì)于回歸并無新貢獻(xiàn)。相應(yīng)的方差分析表見表3.6.1。,表3.6.1 多項(xiàng)式趨勢(shì)面由K次增高至（K+1）次 的回歸顯著性檢驗(yàn),需要注意的是，在實(shí)際應(yīng)用

7、中，往往用次數(shù)低的趨勢(shì)面逼近變化比較小的地理要素?cái)?shù)據(jù)，用次數(shù)高的趨勢(shì)面逼近起伏變化比較復(fù)雜的地理要素?cái)?shù)據(jù)。次數(shù)低的趨勢(shì)面使用起來比較方便，但具體到某點(diǎn)擬合較差；次數(shù)較高的趨勢(shì)面只在觀測(cè)點(diǎn)附近效果較好，而在外推和內(nèi)插時(shí)則效果較差。,三、趨勢(shì)面分析應(yīng)用實(shí)例,某流域1月份降水量與各觀測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)位置數(shù)據(jù)如表3.6.2所示。下面，我們以降水量為因變量z，地理位置的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為自變量x、y，進(jìn)行趨勢(shì)面分析，并對(duì)趨勢(shì)面方程進(jìn)行適度F檢驗(yàn)。,表3.6.2 流域降水量及觀測(cè)點(diǎn)的地理位置數(shù)據(jù),建立趨勢(shì)面模型 (1) 首先采用二次多項(xiàng)式進(jìn)行趨勢(shì)面擬合，用最小二乘法求得擬合方程為,解題步驟,圖3.6.1 某流

8、域降水量的二次多項(xiàng)式趨勢(shì)面,(2)再采用三次趨勢(shì)面進(jìn)行擬合，用最小二乘法求得擬合方程為,圖3.6.2 某流域降水量的三次多項(xiàng)式趨勢(shì)面,(1)趨勢(shì)面擬合適度的R2檢驗(yàn): 根據(jù)R2檢驗(yàn)方法計(jì)算，結(jié)果表明，二次趨勢(shì)面的判定系數(shù)為R22=0.839，三次趨勢(shì)面的判定系數(shù)為R32=0.965，可見二次趨勢(shì)面回歸模型和三次趨勢(shì)面回歸模型的顯著性都較高，而且三次趨勢(shì)面較二次趨勢(shì)面具有更高的擬合程度。,模型檢驗(yàn),(2) 趨勢(shì)面適度的顯著性F檢驗(yàn) : 根據(jù)F檢驗(yàn)方法計(jì)算，結(jié)果表明，二次趨勢(shì)面和三次趨勢(shì)面的F值分別為F2=6.236和F3=6.054。在置信水平=0.05下，查F分布表得 F3= 。顯然 ， ， 故二次趨勢(shì)面的回歸方程顯著而三次趨勢(shì)面不顯著。因此，F(xiàn)檢驗(yàn)的結(jié)果表明，用二次趨勢(shì)面進(jìn)行擬合比較合理。,。,趨勢(shì)面比較：在二次和三次趨勢(shì)面檢驗(yàn)中，對(duì)兩個(gè)階次趨勢(shì)面模型的適度進(jìn)行比較，相應(yīng)的方差分析計(jì)算結(jié)果見表3.6.3。,(3)趨勢(shì)面適度的逐次檢驗(yàn)：,表3.6.3 二次和三次趨勢(shì)面回歸模型的逐次檢驗(yàn)方差分析表,分析：從二次趨勢(shì)面增加到三次趨勢(shì)面，F(xiàn)32