《導數(shù)與不等式》PPT課件.ppt

1、1.導數(shù)的概念及運算 (1)定義 (2)幾何意義 曲線y=f(x)在P（x0，f（x0）處的切線的斜率為 k=f(x0)(其中f(x0)為y=f(x)在x0處的導數(shù)). (3)求導數(shù)的方法 基本導數(shù)公式：c=0 (c為常數(shù))； (xm)=mxm-1 (mQ);(sin x)=cos x; (cos x)=-sin x;(ex)=ex;(ax)=axlna; (ln x)= (logax)=,第3講 導數(shù)與不等式,導數(shù)的四則運算：(uv)=uv; （uv)=uv+uv; (v0). 復合函數(shù)的導數(shù)：yx=yuux. 如求f(ax+b)的導數(shù)，令u=ax+b,則 (f(ax+b)=f(u)a. 2

2、.導數(shù)的應(yīng)用 （1）求曲線的切線方程 利用導數(shù)求曲線的切線方程：由于函數(shù)y=f(x)在 x=x0處的導數(shù)表示曲線在點P（x0，y0）處的斜率， 因此曲線y=f(x)在點P（x0，y0）處的切線方程為y- y0=f(x0)（x-x0).注意：如果曲線y=f(x)在點 P(x0，f（x0)處的切線平行于y軸（此時導數(shù)不存 在）時，由切線定義可知，切線方程為x=x0.,（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 利用求導方法討論函數(shù)的單調(diào)性要注意以下幾方 面： f(x)0是f(x)遞增的充分條件而非必要條件 （f(x)0（或f(x)0）解出在定義域內(nèi)相應(yīng)的 x的范圍； 在證明不等式時，首先要構(gòu)造函數(shù)和確定定義 域，其次

3、運用求導的方法來證明.,（3）求可導函數(shù)的極值與最值 求可導函數(shù)極值的步驟 求導數(shù)f(x)求方程f(x)=0的根檢驗f(x) 在方程根左右值的符號，求出極值（若左正右 負，則f(x)在這個根處取極大值；若左負右正，則 f(x)在這個根處取極小值). 求可導函數(shù)在a,b上的最值的步驟 求f(x)在（a,b）內(nèi)的極值求f(a)、f(b)的值比 較f(a)、f(b)的值和極值的大小.,3.不等式 （1）不等式的性質(zhì) 對不等式的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確理解和運用，要弄 清每一個性質(zhì)的條件和結(jié)論，注意條件的放寬和 加強，以及條件、結(jié)論之間的相互聯(lián)系，不等式 的性質(zhì)包括“單向性”和“雙向性”兩個方面.單 向性主要

4、用于證明不等式，雙向性是解不等式的 基礎(chǔ)，因此解不等式要求的是同解變形. （2）均值不等式 (其中a,b均為正實數(shù))，均值 不等式主要用于證明不等式和求二元函數(shù)的最 （極）值.解題時往往需要拆（添）項，其目的：,一是創(chuàng)設(shè)一個應(yīng)用基本不等式的情境；二是創(chuàng)設(shè) 使等號成立的條件.創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件， 合理拆分項或配湊因式是常見的解題技巧，而拆 與湊的成因在于使等號能夠成立.另外，在運用均 值不等式時，不能忽視“正數(shù)”和“和”或“積” 為定值這兩個條件. （3）一元二次不等式的解集（聯(lián)系圖象）.尤其會 正確表示當=0和0， x1,x2是方程ax2+bx+c=0的兩實根，且x1x2，則 其解集如下

5、表：,如關(guān)于x的不等式ax2-(a+1)x+10)在（k,+）上有兩根、 在（m,n）上有兩根、在（-,k）和（k,+）上,當a=0時，,x|x1 ；當a1或 當0a1時，,當a=1時，x;當a1時，,R,各有一根的充要條件分別是: 根的分布理論成立的前提是開區(qū)間，若在閉區(qū)間 m,n討論方程f(x)=0有實數(shù)解的情況，可先利 用在開區(qū)間（m,n）上實根分布的情況，得出結(jié) 果，再令x=n和x=m檢查端點的情況.如實系數(shù)方程 x2+ax+2b=0的一根大于0且小于1，另一根大于1且 小于2，則 的取值范圍是 .,1.（2009全國理，4）曲線 在點（1， 1）處的切線方程為 （ ） A.x-y-2

6、=0B.x+y-2=0 C.x+4y-5=0D.x-4y-5=0 解析 yx=1=-1.又f(1)=1,函數(shù)y=f(x)在點 （1，1）處的切線方程為y-1=-(x-1),即y+x-2=0.,B,2.（2009江西理，5）設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線 y=g(x)在點（1,g(1)）處的切線方程為y=2x+1,則 曲線y=f(x)在點（1，f(1)）處切線的斜率為（ ） A.4 B. C.2D. 解析 由條件知g(1)=2,又f(x)= g(x)+x2 =g(x)+2x,f(1)=g(1)+2=2+2 =4.,A,3.（2009安徽理，9）已知函數(shù)f(x)在R上滿足 f(x)=2f(2

7、-x)-x2+8x-8，則曲線y=f(x)在點（1， f(1)）處的切線方程是 （ ） A.y=2x-1B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3 解析 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8, f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8. f(2-x)=2f(x)-x2+4x-4+16-8x-8. 將f(2-x)代入f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8 得f(x)=4f(x)-2x2-8x+8-x2+8x-8. f(x)=x2. y=f(x)在（1,f(1)）處的切線斜率為yx=1=2. 函數(shù)y=f(x)在（1，f(1)）處的切線方程為y- 1=2(x-1),即y=

8、2x-1.,A,4.點P在曲線y=x3-x+7上移動，設(shè)點P處切線的傾斜角 為 ，則角 的取值范圍是 （ ） A. B. C. D. 解析 y=3x2-1,由導數(shù)的幾何意義,tan -1, 即,B,5.若方程 有四個不同的實根，則 實數(shù)k的取值范圍為 ( ) A. B.(0,+) C. D. 解析 令h(x)= -ln(1+x2),y=k,則h(x)=x- 令h(x)=0，得 x=0,-1或1.,當x變化時，h(x)、h(x)的變化如下表： 據(jù)此可作出h(x)的簡圖， 由圖可知，當 =ln(1+x2)+k有四個不同的實根 時，k的取值范圍為（ ,0）.故選D. 答案 D,6.(2009全國文，

9、7)設(shè)a=lg e,b=(lg e)2,c=lg , 則 （ ） A.abcB.acb C.cabD.cba 解析 0cb.,B,7.（2009江西文，15）若不等式 的解集為區(qū)間a,b,且b-a=1,則k= . 解析 令y1= ,y2=k(x+1),作出兩函數(shù)圖象如圖， y1y2的解集為a,b, 且b-a=1,b=2,a=1. 直線過點A（1， ），k= .,8.（2009山東理，13）不等式|2x-1|-|x-2|0的 解集為 . 解析 方法一 原不等式等價于不等式組 由得 x1,由得-1x ，綜上得-1x1, 所以原不等式的解集為x|-1x1. 方法二 原不等式即為|2x-1|x-2|,

10、 4x2-4x+1x2-4x+4,3x23.-1x1.,不等式組無解，,x|-1x1,9.設(shè)f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2，其中x0且x1，試 比較f(x)與g(x)的大小. 解 f(x)-g(x)=(1+logx3)-2logx2=logx logx 0，即f(x)g(x).,即0x1或,10.已知函數(shù)f(x)=x5+ax3+bx+1,當且僅當x=-1,x=1 時，取得極值，且極大值比極小值大4， （1）求a,b的值； （2）求f(x)的極大值和極小值. 解 （1）f(x)=x5+ax3+bx+1的定義域為R, f(x)=5x4+3ax2+b, x1時有極值，5+3a+b=0,綜上所述，當,當0,時，f(x)g(x).,b=-3a-5. 將代入f(x),得 f(x)=5x4+3ax2-3a-5=5(x4-1)+3a(x2-1) =(x2-1)5(x2+1)+3a=(x+1)(x-1)5x2+(3a+5). f(x)僅在x=1時有極值， 5x2+(3a+5)0對任意x成立， 3a+50, 列出f(x)、f(x)隨x的變化情況表：,由此可知，當x=-1時取得極大值；當x=1時取得極 小值， f(-1)-f(1)=4,即(-1)5+a