數(shù)學(xué)分析課件第6章微分中值定理及其應(yīng)用

1、4 函數(shù)的極值與最大(小)值,二、最大值與最小值,極大(小)值是局部的最大(小)值,它,一、極值判別,們將逐一研究函數(shù)的這些幾何特征.,有著很明顯的幾何特征. 在本節(jié)中,我,返回,2,一、函數(shù)的極值及其求法,3,定義,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).,4,說明：,1.極值不一定存在；,2.極值必在定義區(qū)間的內(nèi)部取到；,3.極值是局部性的概念,極大值不一定比極小值大.,無極值.,設(shè)函數(shù) f 在點(diǎn) x0 的某鄰域內(nèi)有定義,且在點(diǎn) x0 可,定理 5.3 (費(fèi)馬定理),導(dǎo). 如果 x0 是 f 的極值點(diǎn)，則必有,上述定理的幾何意義：如果 f 在極值 x = x0,處可導(dǎo)

2、，則該點(diǎn)處的切線平行于 x 軸.,一、極值判別,費(fèi)馬定理的逆命題亦不真. 例如,6,此外, 不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn),但函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)也不一定是極值點(diǎn)，,7,這就是說,極值點(diǎn)要么是駐點(diǎn),要么是不可導(dǎo)點(diǎn), 兩者必居其一.,我們把駐點(diǎn)和孤立的不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為極值可疑點(diǎn).,下面給出三個(gè)充分條件,用來判別這些極值可疑點(diǎn)是否為極值點(diǎn).,定理6.10 (極值的第一充分條件) 設(shè)函數(shù) f (x) 在,例1,解,穩(wěn)定點(diǎn)為 x = 0 ，沒有不可導(dǎo)點(diǎn).,為了更好地加以判別，我們列表如下：,不存在,即,是極小值.,不存在,極小值,即,定理 6.11 (極值的第二充分條件) 設(shè) f (x) 在點(diǎn) x0,證 同樣我們僅證

3、(i). 因?yàn)?所以由保號(hào)性，,由極值判別的第一充分條件得知: x0 是極小值點(diǎn) .,由定理6.11, x = 6是極小值點(diǎn), f(6)=108是極小值.,試問這里為什么不考慮不可導(dǎo)點(diǎn) x = 0?,定理 6.12 ( 極值的第三充分條件 ) 設(shè) f 在點(diǎn) x0 的,某鄰域內(nèi)存在直到,對(duì)于 的情形, 可借助于更高,階的導(dǎo)數(shù)來判別.,(ii) n 為奇數(shù)時(shí), 不是極值點(diǎn) .,證 由泰勒公式, 有,其中 它在某鄰域,內(nèi)恒與 同號(hào).,這就說明,了 不是極值點(diǎn).,例 3,所以由第二判別法,解,求得極小值為,因此 x = 1 不是極值點(diǎn)( n = 3 是奇數(shù) ). 又因,由于,( n = 4是偶數(shù) ).

4、,注 第三充分條件并不是萬能的. 例如 x = 0 是,22,極值是局部性的,而最值是全局性的.,二、最大值與最小值,23,具體求法：,上的最大、最小值.,解,所以,在 x = 0 連續(xù)，由導(dǎo)數(shù)極限定理推知,故在 x = 0 不可導(dǎo).,所以,這樣就得到不可導(dǎo)點(diǎn)為 0, 穩(wěn)定點(diǎn)為 1, 2. 又因,27,在許多實(shí)際問題中，往往用到求函數(shù)最值的下述方法：,例 5 一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比.已知當(dāng)速度為10(km/h)，燃料費(fèi)為每小時(shí)6元，而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用為每小時(shí)96元.問輪船的速度為多少時(shí)，每航行1km所消耗的費(fèi)用最小？,例 6 如圖所示, 剪去正方形,時(shí), 盒子的容積最大.,去