高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.5 二項(xiàng)式定理 淺談楊輝三角的奧秘及應(yīng)用素材 蘇教版選修2-3（通用）

1、淺談楊輝三角的奧秘及應(yīng)用摘要 文中闡述了楊輝三角中蘊(yùn)涵的一些優(yōu)美的規(guī)律及利用楊輝三角在以其為背景的一些現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題中的應(yīng)用來(lái)培養(yǎng)解決問(wèn)題的思維能力。關(guān)鍵詞 楊輝三角，最短路徑 ，錯(cuò)位 ，冪0 引言楊輝是我國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家。在他著的詳解九章算法一書中，畫了一張表示二項(xiàng)式展開(kāi)后的系數(shù)構(gòu)成的三角圖形，稱做“開(kāi)方做法本源”，現(xiàn)在簡(jiǎn)稱為“楊輝三角”，它是楊輝的一大重要研究成果。隨著素質(zhì)教育的提倡，新課程標(biāo)準(zhǔn)的頒布，生活中很多問(wèn)題都與楊輝三角有著或多或少的聯(lián)系，那如何解決這些以“楊輝三角”為背景的問(wèn)題呢？這就需要我們對(duì)楊輝三角本身蘊(yùn)涵著許多優(yōu)美的規(guī)律進(jìn)行探討和研究。1 楊輝三角與數(shù)字11的冪的

2、關(guān)系我們知道初中時(shí)老師要求我們背11的冪，11的1次冪、2次冪、3次冪還好背，后面就難起來(lái)了。后來(lái)我受到一位老師的啟發(fā)，并且查看了這方面有關(guān)資料，發(fā)現(xiàn)楊輝三角與11的n次冪的關(guān)系非常密切。假設(shè)y=11n當(dāng)n=0時(shí)： y=1；當(dāng)n=1時(shí)： y=11；當(dāng)n=2時(shí)： y=121；當(dāng)n=3時(shí)： y=1331；當(dāng)n=4時(shí)： y=14641；以上是當(dāng)n4時(shí)與揚(yáng)輝三角的前5行多一致，接下來(lái)我們?cè)賮?lái)看一下當(dāng)n5時(shí)的情況，如下：當(dāng)n=5時(shí)： 1 4 6 4 1 1 1 1 4 6 4 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1 當(dāng)n=6時(shí)： 1 5 10 10 5 1 1 11 5 10 10 5 1 1

3、5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1由上可知：11的n次冪的各位數(shù)字（不含進(jìn)位）與楊輝三角中的各數(shù)字完全相等（證明還有待證明）即楊輝三角是11的冪按錯(cuò)位相加不進(jìn)位的方法依次從小到大排列而成的圖形。如下圖： 1 (110)1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116) 其實(shí)這個(gè)關(guān)系我們?cè)缇蛯W(xué)習(xí)過(guò)了，只是用另一種方式表達(dá)而已。我們知道初中時(shí)老師教我們記11的冪時(shí)，有一句口訣：頭尾不變(即為1)，左右相加放中間。其實(shí)是錯(cuò)位相加，而揚(yáng)輝三角中頭尾為1，

4、中間的數(shù)是其肩上的兩數(shù)之和，也是錯(cuò)位相加得到的。2 楊輝三角與2的冪的關(guān)系首先我們把楊輝三角的每一行分別相加，如下： 1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )我們知道相加得到的數(shù)是1，2，4，8，16，32，64，剛好是2的0，1，2，3，4，5，6，次冪，即楊輝三角第n行中n個(gè)數(shù)之和等于2的n-1次冪。剛好與高中時(shí)學(xué)的楊輝三角的性

5、質(zhì)相符合，歸納如下：1與二項(xiàng)式定理的關(guān)系：楊輝三角的第n行就是二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)列。2對(duì)稱性：楊輝三角中的數(shù)字左、右對(duì)稱，對(duì)稱軸是楊輝三角形底邊上的“高”，即。3結(jié)構(gòu)特征：楊輝三角除斜邊上1以外的各數(shù)，都等于它“肩上”的兩數(shù)之和，即。利用以上的性質(zhì)我們可以預(yù)測(cè)楊輝三角中任意一行的數(shù)字的情況。3 楊輝三角中斜行和水平行之間的關(guān)系為了講解方便我們先討論楊輝三角中n為前7行時(shí)的情況。分別為每一斜行標(biāo)號(hào)，如圖所示： (1)1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=6 1 6 15 2

6、0 15 6 1把斜行(1)中第7行之前的數(shù)字相加得1+1+1+1+1+1+1=6 把斜行(2)中第7行之前的數(shù)字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的數(shù)字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的數(shù)字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的數(shù)字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的數(shù)字相加得1將上面得到的數(shù)字與楊輝三角中的第7行中的數(shù)字對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)它們是完全相同的。 11 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 由上面可猜想得到：楊輝三角中n行中的第i個(gè)數(shù)是斜行i-1中前n

7、-1個(gè)數(shù)之和，即第n行的數(shù)分別為1、斜行(1)中第n行之前的數(shù)字之和、斜行(2)中第n行之前的數(shù)字之和、斜行(3)中第n行之前的數(shù)字之和、斜行(4)中第n行之前的數(shù)字之和、斜行(n-3)中第n行之前的數(shù)字之和、1。證明結(jié)論：假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即第k行的數(shù)分別為1、斜行(1)中第k行之前的數(shù)字之和、斜行(2)中第k行之前的數(shù)字之和、斜行(3)中第k行之前的數(shù)字之和、斜行(4)中第k行之前的數(shù)字之和、斜行(k-3)中第k行之前的數(shù)字之和、1。則n=k+1時(shí)因?yàn)闂钶x三角中的每一個(gè)數(shù)是它肩上的兩數(shù)之和所以第k+1行的第一個(gè)數(shù)為：1第k+1行的第二個(gè)數(shù)為：第k行的第一個(gè)數(shù)1與第二個(gè)數(shù)之和因?yàn)榈趉行的二

8、個(gè)數(shù)等于斜行(1)中第k行之前的數(shù)字之和所以第k行的第一個(gè)數(shù)1與二個(gè)數(shù)之和就等于斜行(1)中第k+1行之前的數(shù)字之和。同理可得到第k+1行的第三個(gè)數(shù)為：斜行(2)中第k+1行之前的數(shù)字之和。第四個(gè)數(shù)為：斜行(3)第k+1行之前的數(shù)字之和、綜上所述結(jié)論成立。假如我們將楊輝三角由等腰三角形改變?yōu)榈妊苯侨切危瑒澬甭蕿?1 的直線，再來(lái)考慮，斜率為1的直線上的字?jǐn)?shù)之和又有什么規(guī)律？可以發(fā)現(xiàn)這些數(shù)字為1，1，2，3，5，8，13，21，從第3項(xiàng)起每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和。這就是著名的菲波那契數(shù)列。菲波那契在1902年提出了一個(gè)有趣的問(wèn)題：“假定每對(duì)大兔每月生產(chǎn)一對(duì)小兔，而每對(duì)小兔過(guò)一個(gè)月能完全長(zhǎng)成大兔，

9、問(wèn)一年里面由一對(duì)大兔能繁殖出多少對(duì)大兔來(lái)?！蔽覀兏信d趣的是大兔的對(duì)數(shù)組成的數(shù)列，原來(lái)有大兔一對(duì)，設(shè)為 =1，一個(gè)月后一對(duì)小兔出生，但是大兔還是一對(duì)，=1 ， 2個(gè)月后小兔長(zhǎng)大，而大兔又生了一對(duì)小兔， =2 這樣下去， =3 ， =5 而假設(shè)第n個(gè)月后大兔對(duì)，n+1個(gè)后大兔為對(duì)，那么第n+1個(gè)月時(shí)，原來(lái)的對(duì)大兔又生出了對(duì)小兔，所以第n+2個(gè)月大兔有=+ ，所以具有這樣的規(guī)律。4 以楊輝三角為背景的問(wèn)題分析由上可知，在古老的楊輝三角中存在著很多奧秘，如果把他的這種性質(zhì)合理的應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中或者是教學(xué)中，將會(huì)讓我們更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)到楊輝三角的美妙及楊輝三角這一偉大的發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)實(shí)意義。4.1楊輝三角在彈球

10、游戲中的應(yīng)用如圖1的彈球游戲，小球向容器內(nèi)跌落，碰到第一層擋物后向兩側(cè)跌落碰到第二層阻擋物，再向兩側(cè)跌落第三層阻擋物，如此一直下跌最終小球落入底層。根據(jù)具體地區(qū)獲的相應(yīng)的獎(jiǎng)品（AG區(qū)獎(jiǎng)品最好，BF區(qū)獎(jiǎng)品次之，CE區(qū)獎(jiǎng)品第三，D 區(qū)獎(jiǎng)品最差）。 A B C D E F G圖1我們來(lái)分析一下為什么小球落到不同區(qū)域獎(jiǎng)品會(huì)有如此大的差別？A區(qū)的獎(jiǎng)品價(jià)值高于D區(qū)，說(shuō)明小球落入A區(qū)的可能性要比落入D區(qū)的可能性小，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題就是小球落入A區(qū)和D區(qū)的概率。小球要落入D區(qū)的情況有兩種，有概率知識(shí)得：D1 D2 D 就是說(shuō)，小球落入D區(qū)的概率是等于它肩上兩區(qū)域概率之和的，據(jù)此小球落入各區(qū)的概率為可以按以上方法

11、類推，如下： A B C D E F G 圖2觀察上圖，小球落到AD兩區(qū)的概率要比其它區(qū)域小的多，當(dāng)然獎(jiǎng)品就要多一些。從該圖中不難發(fā)現(xiàn)各區(qū)域的概率分子與楊輝三角形完全一致，我們可以利用楊輝三角的性質(zhì)直接得出小球落到AD兩區(qū)的概率要比其它區(qū)域小的多。該題是一道將楊輝三角的性質(zhì)與概率的性質(zhì)結(jié)合在一起而設(shè)置的一種游戲?？上攵夹g(shù)人員在設(shè)置這個(gè)游戲時(shí)利用楊輝三角和概率的某些性質(zhì)而制成的。這是個(gè)令人驚喜的游戲，它為課堂教學(xué)提供了一個(gè)生動(dòng)的實(shí)例。4.2路徑中的楊輝三角小紅家到學(xué)校之間有很多的交叉路口，每一個(gè)交叉路口都有兩條路可以走如圖3，一天小紅有事需要盡快回家，可是小紅卻不知該走那條路好，請(qǐng)幫小紅找

12、出一條最近的路。解：如圖4（為了討論方便我們把家看成甲地，學(xué)?？闯梢业?。）從甲地到乙1地有2種走的方法。 甲 圖4 乙1如圖5，從甲地到乙2地有3種走的方法，等于到乙1的走法加上1。 甲 圖5 乙2如圖6，從甲地到乙3地有3種走的方法，剛好是到乙2的走法加上1。 甲 112圖6 乙3 如圖7，從甲地到乙4地有6種走的方法，剛好是到乙2的走法加上到乙3的走法。 甲 圖7 乙4 隨著甲乙兩地之間距離的增大，從甲地到每一個(gè)交叉點(diǎn)的走法如圖8所示： 甲 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3 6 10 15 21 28 36 1 4 10 20 35 56

13、84 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 1261 7 28 841 8 361 91 圖8上圖所示從甲到每一個(gè)交叉點(diǎn)的走法與楊輝三角很相似，由此當(dāng)我們遇到如上所示的路徑的問(wèn)題我們可以根據(jù)楊輝三角來(lái)確定它到另一端的走法。其實(shí)這個(gè)圖形在西方數(shù)學(xué)史上已有記載，它就是法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡發(fā)現(xiàn)的被世人稱為“帕斯卡三角形”。從該圖中我們很容易得到二項(xiàng)式任意正整次冪的系數(shù)展開(kāi)。記得華東師大的霍益萍教授講過(guò)：“時(shí)間的開(kāi)放，形式的開(kāi)放，都是次要的，重要的是思維的開(kāi)放，思想的開(kāi)放?！?夸美紐斯也有一句名言：“教一個(gè)活動(dòng)的最好辦法是演示?！毖菔臼侵庇^教學(xué)的一種，而直觀的東西一般容易被人接受。我們常說(shuō)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題往往比解決問(wèn)題更重要，而“發(fā)現(xiàn)”靠的并不都是邏輯思維，直觀性的思維有時(shí)能出奇制勝。在數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)化直觀教學(xué)，也許可以使沉悶的課堂教學(xué)活