高二數(shù)學(xué)正弦定理、余弦定理（續(xù)）蘇教版知識(shí)精講（通用）

1、高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué)正弦定理、余弦定理（續(xù)）正弦定理、余弦定理（續(xù)）蘇教版蘇教版 【本講教育信息本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 正弦定理、余弦定理（續(xù)） 二、教學(xué)目標(biāo)： 1. 能夠利用正、余弦定理證明三角形中的三角恒等式； 2. 會(huì)在各種應(yīng)用問(wèn)題中，抽象或構(gòu)造出三角形，標(biāo)出已知量、未知量，確定解三角形的 方法； 3. 搞清利用解斜三角形可解決的各類應(yīng)用問(wèn)題的基本圖形和基本等量關(guān)系； 4. 理解各種應(yīng)用問(wèn)題中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)，如：俯角、仰角、方位角等。 三、知識(shí)要點(diǎn)： 正弦定理：正弦定理：R C c B b A a 2 sinsinsin 余弦定理：余弦定理：,cos2 222 Abccba bc

2、 acb A 2 cos 222 ,cos2 222 Bcaacb ca bac B 2 cos 222 ，Cabbaccos2 222 ab cba C 2 cos 222 【典型例題典型例題】 1. 正、余弦定理的巧用 某些三角習(xí)題的化簡(jiǎn)和求值，若能巧用正、余弦定理，則可避免許多繁雜的運(yùn)算，從 而使問(wèn)題較輕松地獲得解決。 例例 1. 求 sin220cos280sin20cos80的值。3 解：解：原式sin220sin2102sin20sin10cos150 2010150180， 20、10、150可看作一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角。 設(shè)這三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊依次是 a、b、c，由余弦定理得：a2

3、b22abcos150 c2（） 而由正弦定理知：a2sin20，b2sin10，c2sin150，代入（）式得： sin220sin2102sin20sin10cos150sin2150 4 1 原式 4 1 例例 2. 在ABC 中，三邊長(zhǎng)為連續(xù)的自然數(shù)，且最大角是最小角的 2 倍，求此三角形的 三邊長(zhǎng)。 （）cossin22sin 分析：分析：由于題設(shè)條件中給出了三角形的兩角之間的關(guān)系，故需利用正弦定理建立邊角 關(guān)系。其中利用正弦二倍角展開后出現(xiàn)了，可繼續(xù)利用余弦cossin22sincos 定理建立關(guān)于邊長(zhǎng)的方程，從而達(dá)到求邊長(zhǎng)的目的。 解：解：設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為 x，x1，x2，

4、其中 x*，又設(shè)最小角為，則 ， cossin2 2 2sin 2 sin xxx x x 2 2 cos 又由余弦定理可得 x2（x1）2（x2）22（x1） （x2）cos 將代入整理得：x23x40 解之得 x14，x21（舍） 所以此三角形三邊長(zhǎng)為 4，5，6 評(píng)述：評(píng)述：此題所求為邊長(zhǎng)，故需利用正、余弦定理向邊轉(zhuǎn)化，從而建立關(guān)于邊長(zhǎng)的方程。 例例 3. 已知三角形的一個(gè)角為 60，面積為 10c2，周長(zhǎng)為 20c，求此三角形的各3 邊長(zhǎng)。 分析：分析：此題所給的題設(shè)條件除一個(gè)角外，面積、周長(zhǎng)都不是構(gòu)成三角形的基本元素， 但是都與三角形的邊長(zhǎng)有關(guān)系，故可以設(shè)出邊長(zhǎng)，利用所給條件建立方程

5、，這樣由于邊長(zhǎng) 為三個(gè)未知數(shù)，所以需尋求三個(gè)方程，其一可利用余弦定理由三邊表示已知 60角的余弦， 其二可用面積公式ABCabsinC 表示面積，其三是周長(zhǎng)條件應(yīng)用。 2 1 解：解：設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為 a、b、c，B60，則依題意得 20 31060sin 2 1 2 60cos 222 cba ac ac bca 40 20 222 ac accab cba 由式得：b220（ac） 2400a2c22ac40（ac） 將代入得 4003ac40（ac）0 再將代入得 ac13 由 b17，b27 5 8 8 5 40 13 2 2 1 1 c a c a ac ca 或解得 所以，此

6、三角形三邊長(zhǎng)分別為 5cm，7 cm，8 cm 評(píng)述：評(píng)述：（1）在方程建立的過(guò)程中，應(yīng)注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正 弦形式的面積公式的應(yīng)用。 （2）由條件得到的是一個(gè)三元二次方程組，要注意體會(huì)其求解的方法和思路，以提高 自己的解方程及運(yùn)算能力。 2. 正、余弦定理的應(yīng)用 解三角形的知識(shí)在測(cè)量、航海、幾何、物理學(xué)等方面都有非常廣泛的應(yīng)用，如果我們 抽去每個(gè)應(yīng)用題中與生產(chǎn)生活實(shí)際所聯(lián)系的外殼，就暴露出解三角形問(wèn)題的本質(zhì)，這就要 提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力及化實(shí)際問(wèn)題為抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。下面，我們將舉 例來(lái)說(shuō)明解斜三角形在實(shí)際中的一些應(yīng)用。 例例 4. 用同樣高度的兩個(gè)測(cè)角儀

7、AB 和 CD 同時(shí)望見氣球 E 在它們的正西方向的上空，分 別測(cè)得氣球的仰角是和，已知 B、D 間的距離為 a，測(cè)角儀的高度是 b，求氣球的高度。 解：解：在ACE 中，ACBDa，ACE，AEC，根據(jù)正弦定理，得a AE )sin( sin a 在 RtAEG 中，EGAEsin )sin( sinsin a EFEGbb )sin( sinsin a 答：答：氣球的高度是b )sin( sinsin a 評(píng)述：評(píng)述：此題雖為解三角形問(wèn)題的簡(jiǎn)單應(yīng)用，但關(guān)鍵是把未知邊所處的三角形找到，在 轉(zhuǎn)換過(guò)程中應(yīng)注意“仰角”這一概念的意義，并排除題目中非數(shù)學(xué)因素的干擾，將數(shù)量關(guān) 系從題目中準(zhǔn)確地提煉出來(lái)

8、。 例例 5. 某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，我海軍艦艇在 A 處獲悉后，立即測(cè)出 該漁船在方位角為 45、距離 A 為 10 海里的 C 處，并測(cè)得漁船正沿方位角為 105的方 向，以 9 海里的速度向某小島 B 靠攏，我海軍艦艇立即以 21 海里的速度前去營(yíng) 救，試問(wèn)艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進(jìn)?并求出靠近漁船所用的時(shí)間。 分析：分析：設(shè)艦艇從 A 處靠近漁船所用的時(shí)間為 xh，則利用余弦定理建立方程來(lái)解決較好， 因?yàn)槿鐖D中的1，2 可以求出，而 AC 已知，BC、AB 均可用 x 表示，故可看成是一個(gè) 已知兩邊夾角求第三邊的問(wèn)題。 解：解：設(shè)艦艇從 A 處靠近漁船所用的時(shí)間為 xh

9、則 AB21x 海里，BC9x 海里，AC10 海里 ACB1245（180105）120 根據(jù)余弦定理，可得 AB2AC2BC22ACBCcos120 得（21x）2102（9x）22109xcos120，即 36x29x2100 解得 x1，x2 （舍去） 3 2 12 5 AB21x14，BC9x6 再由余弦定理可得 cosBAC,9286 . 0 10142 61014 2 222222 ACAB BCACAB BAC2147，4521476647 所以艦艇方位角為 6647，小時(shí)即 40 分鐘。 3 2 答：艦艇應(yīng)以 6647的方位角方向航行，靠近漁船則需要 40 分鐘。 評(píng)述：評(píng)述

10、：解好本題需明確“方位角”這一概念，方位角是指由正北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目 標(biāo)方向線的水平角，其范圍是（0，360） 。 【模擬試題模擬試題】 （答題時(shí)間：20 分鐘） 1、如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸 A、B 兩點(diǎn)間的距離，在這一岸定一基線 CD，現(xiàn)已測(cè)出 CDa 和ACD，BCD，BDC，ADC，試求 AB 的長(zhǎng)。 2、如圖，是曲柄連桿機(jī)的示意圖。當(dāng)曲柄 CB0繞 C 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，通過(guò)連桿 AB 的傳遞，活 塞作直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)曲柄在 CB0位置時(shí)，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點(diǎn) A 在 A0處。 設(shè)連桿 AB 長(zhǎng)為 340mm，曲柄 CB 長(zhǎng)為 85mm，曲柄自 CB0按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 80，求活

11、塞移動(dòng)的距離（即連桿的端點(diǎn) A 移動(dòng)的距離 A0A） （精確到 1mm） 。 3、如圖，在海岸 A 處發(fā)現(xiàn)北偏東 45方向，距 A 處（1）海里的 B 處有一艘走私3 船。在 A 處北偏西 75方向，距 A 處 2 海里的 C 處的我方緝私船，奉命以 10海里3 時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以 10 海里時(shí)的速度，從 B 處向北偏東 30方向逃 竄。問(wèn)：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時(shí)間。 4、在ABC 中，AB5，AC3，D 為 BC 中點(diǎn)，且 AD4，求 BC 邊長(zhǎng)。 試題答案試題答案 1、解：在ACD 中，已知 CDa，ACD，ADC，由正弦定理得 AC )sin

12、( sin )(180sin sin aa 在BCD 中，由正弦定理得 BC )sin( sin )(180sin sin aa 在ABC 中，已經(jīng)求得 AC 和 BC，又因?yàn)锳CB，所以用余弦定理,就可以 求得 AB)cos(2 22 BCACBCAC 2、解：在ABC 中，由正弦定理可得 sinA.2462 . 0 340 80sin85sin AB CBC 因?yàn)?BCAB，所以 A 為銳角，得 A1415 B180（AC）180（141580）8545 由正弦定理，可得 AC. 3 . 344 9848 . 0 5485sin340 sin sin mm C BAB 因此，A0AA0CA

13、C（ABBC）AC（34085）344.380.781（） 答：活塞移動(dòng)的距離約為 81mm 3、解：設(shè)緝私船應(yīng)沿 CD 方向行駛 t 小時(shí)，才能最快截獲（在 D 點(diǎn)）走私船 則 CD10t 海里，BD10t 海里3 BC2AB2AC22ABACcosA （1）2222（1）2cos120633 BC6 2 2 6 120sin2sin sin sinsin BC AAC ABC ABC AC A BC ABC45，B 點(diǎn)在 C 點(diǎn)的正東方向上 CBD9030120 , 2 1 310 120sin10sin sin sinsin t t CD CBDBD BCD CBD CD BCD BD BCD30,DCE903060 由CBD120，BCD30 得D30 BDBC，即 10t6 t（小時(shí)）15（分鐘） 10 6 答：緝私船沿北偏東 60的方向行駛，才能最快截獲走私船，需時(shí)約 15 分鐘。 4、解：設(shè) BC 邊為 x，則由 D 為 BC 中點(diǎn)，可得