八年級數(shù)學下冊第一章三角形的證明1.4.2角平分線教案新版北師大版

1、角平分線教學目標：1知識目標：（1）證明與角的平分線的性質(zhì)定理和判定定理相關(guān)的結(jié)論（2）角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的靈活運用2能力目標：（1）進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力（2）培養(yǎng)學生將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言、圖形語言的能力（3）提高綜合運用數(shù)學知識和方法解決問題的能力3情感與價值觀要求能積極參與數(shù)學學習活動，對數(shù)學有好奇心和求知欲在數(shù)學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心4教學重點、難點重點三角形三個內(nèi)角的平分線的性質(zhì)綜合運用角平分線的判定和性質(zhì)定理，解決幾何中的問題難點角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的綜合應用二、教學過程分析本節(jié)課設(shè)計了五個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：復習回顧

2、，設(shè)置情境問題，搭建探究平臺；第二環(huán)節(jié)：展示思維過程，構(gòu)建探究平臺；第三環(huán)節(jié)：例題講解；第四環(huán)節(jié)：課時小結(jié);第五環(huán)節(jié)：課后作業(yè)。第一環(huán)節(jié)：復習鞏固，創(chuàng)設(shè)情境問題，搭建探究平臺1、 提問 ：角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理文字語言？根據(jù)圖形用幾何語言表述？2、生活中的數(shù)學問題：如圖，黃島區(qū)海青鎮(zhèn)要在S 區(qū)建一個海青茶館P，讓更多的人品嘗海青茶，要求：使它到 兩條高速公路的距離相等，離兩條公路交叉處500 m，請你幫忙設(shè)計一下，這個茶館P 應建于何處（在圖上 標出它的位置，比例尺為1：20 000）？ 問題1：在問題1中，在S 區(qū)建茶館P，使它到兩條公路的距離相等（1） 這個茶館P 應建于何處？這樣的

3、茶館可建多少個？（2） 若茶館P 離兩條公路交叉處500 m（在圖上標出它的位置，比例尺為1：20 000），這個茶館應建于何處？教師引領(lǐng)學生進入實際問題情景中，利用生活中的數(shù)學問題既生動展示問題，同時又通過圖片讓學生身臨其境般感受生活。學生動手畫圖，猜測并說出觀察到的結(jié)論。引導學生了解角的平分線有很多未知的性質(zhì)需我們來解開，并板書課題。第二環(huán)節(jié)：放開手腳，折一折請同學們拿出準備好一個三角形紙片，分別折出每個角的角平分線，觀察這三條角平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？小組內(nèi)交流你們的發(fā)現(xiàn)。猜想：“三角形的三個內(nèi)角的角平分線交于一點” 第三環(huán)節(jié)：展示思維過程，構(gòu)建探究平臺已知：如圖，設(shè)ABC的角平分線BM、

4、CN相交于點P，證明：P點在BAC的角平分線上證明：過P點作PDAB，PFAC，PEBC，其中D、E、F是垂足BM是ABC的角平分線，點P在BM上，PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等)同理：PE=PFPD=PF點P在BAC的平分線上(在一個角的內(nèi)部，且到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上)ABC的三條角平分線相交于點P在證明過程中，我們除證明了三角形的三條角平分線相交于一點外，還有什么“附帶”的成果呢?（PD=PE=PF，即這個交點到三角形三邊的距離相等）于是我們得出了有關(guān)三角形的三條角平分線的結(jié)論，即定理三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等下面我通

5、過列表來比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質(zhì)定理三邊垂直平分線三條角平分線三角形銳角三角形交于三角形內(nèi)一點交于三角形內(nèi)一點鈍角三角形交于三角形外一點直角三角形交于斜邊的中點交點性質(zhì)到三角形三個頂點的距離相等到三角形三邊的距離相等問題2如圖：直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處？你如何發(fā)現(xiàn)的?要求學生思考、交流。實況如下：生有一處在三條公路的交點A、B、C組成的ABC三條角平分線的交點處因為三角形三條角平分線交于一點，且這一點到三邊的距離相等而現(xiàn)在要建的貨物中轉(zhuǎn)站要求它到三條公路的距離相等這一點剛好符合生我找

6、到四處(同學們很吃驚)除了剛才同學找到的三角形ABC內(nèi)部的一點外，我認為在三角形外部還有三點作ACB、ABC外角的平分線交于點P1(如下圖所示)，我們利用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，可知點P1在CAB的角平分線上，且到l1、l2、l3的距離相等同理還有BAC、BCA的外角的角平分線的交點P3；因此滿足條件共4個，分別是P、P1、P2、P3教師講評。第三環(huán)節(jié)：例題講解 例1如圖，在ABC中AC=BC，C=90，AD是ABC的角平分線，DEAB，垂足為E(1)已知CD=4 cm，求AC的長；(2)求證：AB=AC+CD分析：本例需要運用前面所學的多個定理，而且將計算和證明融合在一起，目的是使學生

7、進一步理解、掌握這些知識和方法，并能綜合運用它們解決問題第(1)問中，求AC的長，需求出BC的長，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，DE=CD=4cm，再根據(jù)勾股定理便可求出DB的長第(2)問中，求證AB=AC+CD這是我們第一次遇到這種形式的證明，利用轉(zhuǎn)化的思想AB=AE+BE，所以需證AC=AE，CD=BE(1)解：AD是ABC的角平分線，C=90，DEABDE=CD=4cm(角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等)AC=BC B=BAC(等邊對等角)C=90，B=90=45BDE=904545BE=DE(等角對等邊)在等腰直角三角形B

8、DE中BD=2DE2.=4 2 cm(勾股定理)，AC=BC=CD+BD=(4+42)cm(2)證明：由(1)的求解過程可知，RtACDRtAED(HL定理)AC=AEBE=DE=CD，AB=AE+BE=AC+CD例2已知：如圖，P是么AOB平分線上的一點，PCOA，PDOB，垂足分別為C、D求證：(1)OC=OD；(2)OP是CD的垂直平分線證明：(1)P是AOB角平分線上的一點，PCOA，PDOB，PC=PD(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)在RtOPC和RtOPD中，OP=OP，PC=PD，RtOPCRtOPD(HL定理)OC=OD(全等三角形對應邊相等)(2)又OP是AOB的角平分線，OP是CD的垂直平分線(等腰三角形“三線合一”定理)思考：圖中還有哪些相等的線段和角呢?第四環(huán)節(jié)：課時小結(jié)（1）本節(jié)課學習了哪些內(nèi)容？（2）應用角的平分線時解決問題時，常作