彎曲應(yīng)力劉鴻文.ppt

1、第五章 彎曲應(yīng)力,劉鴻文,工程實例,工程實例,工程實例,工程實例,工程實例,工程實例,工程實例,5-1 純彎曲,彎矩是垂直于橫截面的內(nèi)力系的合力偶矩；而剪力是切于橫截面的內(nèi)力系的合力； 彎矩M只與橫截面上的正應(yīng)力s相關(guān)，而剪力FS只與切應(yīng)力t相關(guān)。,AC、DB段為橫力彎曲,CD段為純彎曲,平面假設(shè)：變形前原為平面的橫截面變形后仍保持為平面，且仍然垂直于變形后的梁的軸線。,純彎曲實驗,設(shè)想梁由平行于軸線的眾多縱向纖維所組成。變形后，上側(cè)纖維縮短，下側(cè)纖維伸長，中間必有一層纖維的長度不變，稱為中性層。,5-2 純彎曲時的正應(yīng)力,在推導(dǎo)純彎曲梁橫截面上正應(yīng)力的計算公式時 ， 要綜合考慮 幾何 ，物理

2、 和 靜力學(xué) 三方面 。,當(dāng)梁上有橫向外力作用時，一般情況下，梁的橫截面上既有彎矩 M ， 又有剪力 FS 。,只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素 dFN = dA 才能合成彎矩,只有與切應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素 dFS = dA 才能合成剪力,所以，在梁的橫截面上一般既有 正應(yīng)力，又有 切應(yīng)力,I、純彎曲正應(yīng)力公式,推導(dǎo)過程演示,假設(shè),平截面假設(shè),單向受力假設(shè),中性層：構(gòu)件內(nèi)部既不伸長也不收縮的纖維層。 中性軸：橫截面與中性層的交線。,1.幾何條件,2.物理條件(胡克定律),3.靜力學(xué)條件,中性軸通過截面形心,梁的上下邊緣處，彎曲正應(yīng)力取得最大值，分別為：,抗彎截面模量。,4.純彎曲梁橫截面上的應(yīng)

3、力(彎曲正應(yīng)力)：,距中性層y處的應(yīng)力,y軸為對稱軸,5.橫截面上正應(yīng)力的畫法：,線彈性范圍正應(yīng)力小于比例極限sp； 精確適用于純彎曲梁； 對于橫力彎曲的細(xì)長梁(跨度與截面高度比L/h5)，上述公式的誤差不大，但公式中的M應(yīng)為所研究截面上的彎矩，即為截面位置的函數(shù)。,6.公式適用范圍：,1.矩形截面,三種典型截面對中性軸的慣性矩,2.實心圓截面,3.截面為外徑D、內(nèi)徑d(a=d/D)的空心圓:,彎曲正應(yīng)力分布,彈性力學(xué)精確分析表明，當(dāng)跨度 l 與橫截面高度 h 之比 l / h 5 （細(xì)長梁）時，純彎曲正應(yīng)力公式對于橫力彎曲近似成立。,橫力彎曲最大正應(yīng)力,5-3 橫力彎曲時的正應(yīng)力,例題51

4、螺栓壓板加緊裝置如圖所示。已知板長3a150mm，壓緊材料的彎曲許用應(yīng)力s=140MPa。試計算壓板傳給工件的最大容許壓緊力F。,解：繪制M圖，求出MmaxFa。,例題5-2 卷揚機卷筒心軸的材料45鋼，彎曲許用應(yīng)力s100MPa，軸的結(jié)構(gòu)和受力如圖所示，F(xiàn)25.3kN。試校核軸的強度。,解：繪制M圖,求出各截面上的最大應(yīng)力，進(jìn)行強度校核。,例題53 T形截面鑄鐵梁的荷載和截面尺寸如圖所示。鑄鐵的 抗拉許用應(yīng)力為 t = 30MPa ,抗壓許用應(yīng)力為C =160MPa 。已知截面對形心軸Z的慣性矩為 Iz =763cm4 , y1 =52mm, 校核梁的強度。,解：,最大正彎矩在截面C上,最大

5、負(fù)彎矩在截面B上,B 截面,C截面,習(xí)題 如圖所示懸臂梁，自由端承受集中載荷F=15kN作用。試計算截面B-B的最大彎曲拉應(yīng)力與最大彎曲壓應(yīng)力。,解： 1確定截面形心位置 選參考坐標(biāo)系zoy如圖示，將截面分解為I和II兩部分，形心C的縱坐標(biāo)為:,2計算截面慣性矩,3 繪制彎矩圖 截面BB的彎矩為: 計算最大彎曲正應(yīng)力,在截面B的上、下邊緣，分別作用有最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，其值分別為：,習(xí)題 受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求： （1）11截面上1、2兩點的正應(yīng)力； （2）此截面上的最大正應(yīng)力； （3）全梁的最大正應(yīng)力； （4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半徑。,解：畫M圖求截面彎

6、矩,求應(yīng)力,求曲率半徑,梁的正應(yīng)力強度條件,1.彎矩最大的截面上,2.離中性軸最遠(yuǎn)處,4.脆性材料抗拉和抗壓性能不同，二方面都要考慮,3.變截面梁要綜合考慮 與,為充分發(fā)揮材料的強度，最合理的設(shè)計為,習(xí)題 跨長 l = 2m 的鑄鐵梁受力如圖所示。已知材料的拉，壓許用應(yīng)力分別為st30MPa， sc90MPa。試根據(jù)截面最為合理的要求，確定T字形截面梁橫截面的尺寸d，并校核梁的強度。,解： 要使截面最合理，必須使同一截面的,已知,以上邊緣為參考邊,(2) 校核梁的強度,習(xí)題 一槽形截面鑄鐵梁如圖所示。已知，b = 2 m ,IZ5493104mm4，鑄鐵的許用拉應(yīng)力st=30MPa，許用壓應(yīng)力

7、sc=90MPa。試求梁的許可荷載F。,解：彎矩圖如圖所示。,最大負(fù)彎矩在 B 截面上， 最大正彎矩在 C 上。,梁的截面圖如圖所示，中性軸 到上，下邊緣的距離分別為,C 截面,C截面的強度條件由最的拉應(yīng)力控制。,B 截面,取其中較小者，得該梁的 許可荷載為,習(xí)題 兩矩形截面梁，尺寸和材料的許用應(yīng)力均相等，但放置如圖(a)、(b)。按彎曲正應(yīng)力強度條件確定兩者許可載荷之比 F1F2？,解：,分析：該題的關(guān)鍵：兩種梁的最大彎曲正應(yīng)力相等且等于許用應(yīng)力。,由彎曲正應(yīng)力計算公式,解：由彎矩圖可見,該梁滿足強度條件，安全,習(xí)題 圖示外伸梁，受均布載荷作用，材料的許用應(yīng)力 =160MPa，校核該梁的強度

8、。,習(xí)題 簡支梁在跨中受集中載荷P=30kN，l=8m，120 MPa。試為梁選擇工字鋼型號。,解：,由強度條件，得,選擇工字鋼28a,習(xí)題 梁AC的截面為10工字鋼，B點用圓鋼桿BD懸掛，已知圓桿的直徑d=20mm，梁及桿的=160MPa，試求許用均布載荷q。,解：由平衡條件,FBFN,5-4 彎曲的切應(yīng)力,I、梁橫截面上的切應(yīng)力公式,1、公式推導(dǎo)：,一、矩形梁橫截面上的切應(yīng)力,橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)的各點處切應(yīng)力大小相等。,各點的切應(yīng)力方向均與截面?zhèn)冗吰叫小?FS橫截面上的剪力,IS橫截面對中性軸的慣性矩,b求應(yīng)力點處的寬度,S*Z橫截面上距中性軸為y的橫線以外部分的面積對中性軸的靜矩,ty

9、切應(yīng)力，方向與Fs相同,二、工字形梁橫截面上的切應(yīng)力,分母兩項查表。,其他截面的切應(yīng)力最大值，一般也在中性軸處。,計算腹板上距中性軸為y處的切應(yīng)力,工字鋼截面切應(yīng)力公式推導(dǎo),三、薄壁環(huán)形截面梁,橫截面上切應(yīng)力的大小沿 壁厚無變化。,切應(yīng)力的方向與圓周相切。,圖 5-7 為一段薄壁環(huán)形截面梁。環(huán)壁厚度為 ,環(huán)的平均半徑為r0，由于 r0 故可假設(shè),式中,A=2r0為環(huán)形截面的面積,橫截面上最大的切應(yīng)力發(fā)生 中性軸上，其值為,四、圓截面梁,式中,為圓截面的面積,最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上,假設(shè),各點處切應(yīng)力沿 y 方向的分量 沿寬度相等。,在截面邊緣上各點的切應(yīng)力 的方向與圓周相切。,五、等直梁橫截

10、面上最大剪應(yīng)力的一般公式,對于 等直梁 ，其最大剪應(yīng)力tmax一定在最大剪力FSmax所在的橫截面上，而且一般說是位于該截面的中性軸上 。全梁各橫截面中最大剪應(yīng)力可統(tǒng)一表達(dá)為,b 橫截面在中性軸處的寬度, 全梁的最大剪力, 整個橫截面對中性軸的慣性矩, 中性軸一側(cè)的橫截面面積對中性軸的靜矩,II、梁的切應(yīng)力強度條件,梁的切應(yīng)力強度條件為,在選擇梁的截面時，通常先按正應(yīng)力選出截面，再按切應(yīng)力進(jìn)行強度校核。,在選擇梁的截面時，必須同時滿足正應(yīng)力和切應(yīng)力強度條件。 通常先按正應(yīng)力選出截面，再按切應(yīng)力進(jìn)行強度校核。 梁的強度大多由正應(yīng)力控制，按正應(yīng)力強度條件選好截面后，一般并不需要再按切應(yīng)力進(jìn)行強度校

11、核。 但在以下幾種特殊條件下，需校核梁的切應(yīng)力：,1、梁的最大彎矩較小，而最大剪力卻很大； 2、在焊接或鉚接的組合截面（如工字鋼）鋼梁中，當(dāng)其橫截面腹板部分的厚度與梁高之比小于型鋼截面的相應(yīng)比值； 3、由于木材在其順紋方向的剪切強度較差，木梁在橫力彎曲時可能因中性層上的切應(yīng)力過大而使梁沿中性層發(fā)生剪切破壞。,例題55 簡支梁AB如圖所示。l=2m，a=0.2m。梁上的載荷為q=10kN/m，F(xiàn)200kN。材料的許用應(yīng)力s160MPa，t100MPa。試選擇適用的工字鋼型號。,解：繪制FS、M圖，Mmax45kNm。,習(xí)題 簡支梁受均布荷載作用，其荷載集度q3.6kN/m梁的跨長 l=3m ,橫

12、截面為bh=120180mm2, 許用彎曲正應(yīng)力s=7MPa，許用切應(yīng)力t=0.9MPa, 校核梁的強度。,解：梁的正應(yīng)力強度校核,最大彎矩發(fā)生在跨中截面上，其值為,梁橫截面的的抗彎截面系數(shù)為,橫截面上的最大正應(yīng)力,梁的剪應(yīng)力強度校核,矩形截面的面積為,梁橫截面上的最大剪應(yīng)力,梁最大的剪力為,所以此木梁是安全的。,習(xí)題 懸臂梁由三塊木板粘接而成?？缍葹?m。膠合面的許可切應(yīng)力為0.34MPa，木材的= 10 MPa，=1MPa，求許可載荷。,1.畫梁的剪力圖和彎矩圖,2.按正應(yīng)力強度條件計算許可載荷,3.按切應(yīng)力強度條件計算許可載荷,解：,4.按膠合面強度條件計算許可載荷,5.梁的許可載荷為,

13、習(xí)題 T形梁尺寸及所受荷載如圖所示, 已知sy=100MPa，sL=50MPa，t=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2104mm4。求：1)C左側(cè)截面E點的正應(yīng)力、切應(yīng)力；2)校核梁的正應(yīng)力、切應(yīng)力強度條件。,該梁滿足強度要求,5-6 提高彎曲強度的措施,按強度要求設(shè)計梁時，主要是依據(jù)梁的正應(yīng)力強度條件,一、合理配置梁的荷載和支座,1、將荷載分散,2、合理設(shè)置支座位置,二、合理選取截面形狀,從彎曲強度考慮，比較合理的截面形狀，是使用較小的截面面積，卻能獲得較大抗彎截面系數(shù)的截面。在一般截面中，抗彎截面系數(shù)與截面高度的平方成正比。因此，當(dāng)截面面積一定時，宜將較多材料放置在遠(yuǎn)離中性軸的部位。,面積相同時：工字形優(yōu)于矩形，矩形優(yōu)于正方形；環(huán)形優(yōu)于圓形。,同時應(yīng)盡量使拉、壓應(yīng)力同時達(dá)到最大值。,一根鋼梁最大彎矩Mmax3.5kNm，許用應(yīng)力s140MPa，它所要求的抗彎截面系數(shù)為：Wz250000mm3。如果采用圓形、矩形和工字形截面，它們所需的尺寸及其相應(yīng)的比值Wz/A列