高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何第五節(jié)直線平面垂直的判定與性質(zhì)課件文.ppt_第1頁
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文檔簡介

1、第五節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì),總綱目錄,教材研讀,1.直線與平面垂直,考點突破,2.直線與平面所成的角,3.二面角的有關(guān)概念,考點二面面垂直的判定與性質(zhì),考點一直線與平面垂直的判定與性質(zhì),4.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理,考點三平行與垂直的綜合問題,1.直線與平面垂直 (1)直線與平面垂直的定義 直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,就說直線l與平面互相垂直.,教材研讀,(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理,與“直線與平面垂直”有關(guān)的結(jié)論 (1)直線與平面垂直的定義常常逆用,即a,bab. (2)若兩條平行直線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于該平面. (3)垂直于同一條直線

2、的兩個平面平行. (4)過一點有且只有一條直線與已知平面垂直. (5)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.,2.直線與平面所成的角,(1)定義:平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角, 叫做這條直線和這個平面所成的角.一條直線垂直于平面,就說它們所成的角是直角;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),就說它們所成的角是0的角.如圖所示,PAO就是斜線AP與平面所成的角. (2)線面角的范圍:.,3.二面角的有關(guān)概念 (1)二面角:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二 面角. (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一點為端點,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫

3、做二面角的 平面角.,4.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理,1.給出下列四個命題: 垂直于同一直線的兩個平面互相平行; 垂直于同一平面的兩個平面互相平行; 若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面都平行,那么這兩個平面相互平行; 若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線,那么這條直線垂直于這個平面. 其中真命題的個數(shù)是() A.1B.2 C.3D.4,答案B正確.,B,2.(2015北京延慶期末)已知直線m,n是異面直線,則過直線n且與直線m垂直的平面() A.有且只有一個B.至多有一個 C.有一個或無數(shù)個D.不存在,答案B若mn,則過直線n存在一個平面與m垂直;若m不垂直于n,則不存在這樣的平

4、面,故選B.,B,3.(2016北京朝陽期末)已知m,n表示兩條不同的直線,表示兩個不同的平面,且m,n,則下列說法正確的是() A.若,則mnB.若m,則 C.若m,則D.若,則mn,答案B對于A,兩個平行平面內(nèi)的直線可能平行,可能異面;B正確;對于C,當(dāng)m平行于平面、的交線時,也有m,但平面與平面相交;對于D,m與n也可能平行、斜交或異面.,B,4.(2015北京豐臺期末)設(shè)a,b,c是三條不同的直線,是兩個不同的平面,則ab的一個充分條件為() A.ac,bcB.,a,b C.a,bD.a,b,答案C對于選項A,若ac,bc,則直線a與b可能異面,可能平行,也可能相交;對于選項B,若,a

5、,b,則直線a與b可能異面,可能平行,也可能相交;對于選項C,若a,b,則ab;對于選項D,若a,b,則根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知ab.故選C.,C,考點一直線與平面垂直的判定與性質(zhì),考點突破,典例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中點. (1)證明:CDAE; (2)證明:PD平面ABE.,方法技巧 (1)證明直線和平面垂直的常用方法:利用判定定理;利用面面垂直的性質(zhì). (2)證明線面垂直的核心是證明線線垂直,而證明線線垂直又可借助于線面垂直的性質(zhì).因此,判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.,1-

6、1(2016北京豐臺一模)已知在ABC中,B=90,D,E分別為邊BC,AC的中點,將CDE沿DE翻折后,使之成為四棱錐C-ABDE(如圖). (1)求證:DE平面BCD; (2)設(shè)平面CDE平面ABC=l,求證:ABl; (3)若CDBD,AB=2,BD=3,F為棱BC上一點,設(shè)=,當(dāng)為何值時,三 棱錐C-ADF的體積是1?,解析(1)證明:B=90,D,E分別為BC,AC的中點, DEAB. CDDE,BDDE,又CDBD=D, DE平面BCD. (2)證明:DEAB,DE平面CDE,AB平面CDE, AB平面CDE, 又AB平面ABC,平面ABC平面CDE=l, ABl. (3)CDBD

7、,CDDE,EDBD=D, CD平面BDE. =,SCDF=SBCD. 又BD=3,AB=2,VC-ADF=1, VC-ADF=VA-CDF=VA-CDB=VC-ADB=CDSADB=1. 解得=2.,典例2如圖,四棱錐P-ABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB=2CD,E,F,G,M,N分別為PB,AB,BC,PD,PC的中點. (1)求證:CE平面PAD; (2)求證:平面EFG平面EMN.,考點二面面垂直的判定與性質(zhì),又ABCD,CD=AB, 所以EHCD,EH=CD. 因此四邊形DCEH是平行四邊形. 所以CEDH. 又DH平面PAD,CE平面PAD, 因此,CE平面PAD.,

8、方法指導(dǎo) 證明面面垂直的思路 (1)利用面面垂直的定義(不常用); (2)可以考慮證線面垂直,即設(shè)法先找到其中一個平面的一條垂線,再證這條垂線在另一個平面內(nèi)或與另一個平面內(nèi)的一條直線平行.一般方法:先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若圖中存在這樣的直線,則可通過線面垂直來證明面面垂直;若圖中不存在這樣的直線,則可通過作輔助線來解決(常用方法).,2-1如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點,BE平面ABCD. (1)證明:平面AEC平面BED; (2)若ABC=120,AEEC,三棱錐E-ACD的體積為,求該三棱錐的側(cè) 面積.,解析(1)證明:因為四邊形ABCD為菱形,所以ACBD.

9、因為BE平面ABCD,所以ACBE. 又BDBE=B,故AC平面BED. 又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED. (2)設(shè)AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120, 可得AG=GC=x,GB=GD= . 因為AEEC,所以在RtAEC中,可得EG=x. 由BE平面ABCD,知EBG為直角三角形,可得BE=x. 由已知得,三棱錐E-ACD的體積VE-ACD=ACGDBE=x3=,解得x=2.,從而可得AE=EC=ED=. 所以EAC的面積為3, EAD的面積與ECD的面積均為. 故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3+2.,典例3(2017北京海淀一模)已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為

10、正方形,PA平面ABCD,PA=AB=2,E,F分別是PB,PD的中點. (1)求證:PB平面FAC; (2)求三棱錐P-EAD的體積; (3)求證:平面EAD平面FAC.,考點三平行與垂直的綜合問題 命題角度一平行與垂直關(guān)系的證明,解析(1)證明:連接BD,與AC交于點O,連接OF, 在PBD中,O,F分別是BD,PD的中點,所以O(shè)FPB, 又因為OF平面FAC,PB平面FAC,所以PB平面FAC. (2)因為PA平面ABCD,AB、AD平面ABCD,所以PAAB,PAAD, 又因為ABAD,PAAB=A,所以AD平面PAB, 在直角PAB中,PA=AB=2,E為PB的中點, 所以SPAE=

11、1, 所以VP-EAD=VD-PAE=SPAEAD=. (3)證明:因為AD平面PAB,PB平面PAB, 所以ADPB,在等腰直角PAB中,AEPB, 又AEAD=A,AE、AD平面EAD, 所以PB平面EAD,又OFPB, 所以O(shè)F平面EAD,又OF平面FAC, 所以平面EAD平面FAC. 命題角度二平行與垂直關(guān)系中的探索性問題,典例4(2018北京東城期末)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PAD是等邊三角形,E為AD中點,四邊形ABCD為直角梯形,ABCD,ABAD,ABAP,CD=AD=2AB=2. (1)求證:平面PAB平面PAD; (2)求四棱錐P-ABCD的體積; (3)在棱PB上是

12、否存在點M,使得EM平面PCD?說明理由.,解析(1)證明:因為ABAD,ABAP,ADAP=A, 所以AB平面PAD.因為AB平面PAB, 所以平面PAB平面PAD. (2)連接PE. 因為PAD為等邊三角形,E為AD中點,所以PEAD. 因為AB平面PAD,所以ABPE. 因為ABAD=A,所以PE平面ABCD. 在等邊PAD中,PE=PAsin 60=, S梯形ABCD=3, 所以VP-ABCD=S梯形ABCDPE=3=.,(3)棱PB上存在點M,使得EM平面PCD,此時點M為PB中點. 取BC中點F,連接MF,ME,EF. 因為E為AD中點,所以EFCD. 因為EF平面PCD,所以EF

13、平面PCD. 因為M為PB中點,所以MFPC.,因為MF平面PCD,所以MF平面PCD. 因為MFEF=F,所以平面MEF平面PCD. 因為ME平面MEF,所以ME平面PCD.,命題角度三平行與垂直關(guān)系中的折疊問題 典例5(2016北京海淀二模)已知長方形ABCD中,AD=,AB=2,E為AB 的中點,將ADE沿DE折起到PDE,所得四棱錐P-BCDE如圖所示. (1)若點M為PC的中點,求證:BM平面PDE; (2)當(dāng)平面PDE平面BCDE時,求四棱錐P-BCDE的體積; (3)求證:DEPC.,解析(1)證明:取DP的中點F,連接EF,FM. 因為在PDC中,點F,M分別是DP,PC的中點

14、, 所以FMDC,且FM=DC. 又EBDC,所以FMEB, 所以四邊形FEBM是平行四邊形,所以BMEF, 又EF平面PDE,BM平面PDE,所以BM平面PDE. (2)在PDE中,作PODE于O, 因為平面PDE平面EBCD,平面PDE平面EBCD=DE, 所以PO平面EBCD. 在PDE中,DPPE,PD=,PE=1, 則DE=,所以PO=. 所以VP-BCDE=(1+2)=. (3)證明:在矩形ABCD中,連接AC交DE于I, 因為tanDEA=,tanCAB=, 所以DEA+CAB=,所以DEAC, 所以在四棱錐P-EBCD中,PIDE,CIDE, 又PICI=I,所以DE平面PIC

15、. 因為PC平面PIC,所以DEPC.,方法技巧 平行與垂直的綜合應(yīng)用問題的處理策略 (1)探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明,探索點存在問題,點多為中點或三等分點中的某一個,也可以根據(jù)相似知識建點. (2)解決此類問題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形,弄清折疊前后變與不變的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系.,3-1(2017北京豐臺一模)如圖1,平行四邊形ABCD中,ACBC,BC=AC=1,現(xiàn)將DAC沿AC折起,得到三棱錐D-ABC(如圖2),且DABC,點E為側(cè)棱DC的中點. (1)求證:平面ABE平面DBC; (2)求三棱錐E-ABC的體積; (3)在ACB的平分線上是否存在點F,使得DF平面ABE?若存在,求DF的長;若不存在,請說明理由.,解析(1)證明:在平行四邊形ABCD中,AD=BC=AC,ADBC,因為ACBC,所以DAC=90.因為E為側(cè)棱DC的中點,所以AECD. 又因為ACBC,ADBC,且ACAD=A,所以BC平面ACD. 又因為AE平面ACD,所以AEBC. 因為BCCD=C,所以AE平面BCD, 又因為AE平面ABE,所以平面ABE平面BCD. (2)因為VE-ABC=VB-ACE,BC平面ACD,所以BC是三棱錐B-ACE的高, 故VB-ACE=BCSACE. 因為BC=1,C

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