高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.2.1 直接證明與間接證明教案 理 新人教A版選修

1、綜合法和分析法一、教學(xué)目標(biāo)：（一）知識與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。（二）過程與方法: 培養(yǎng)學(xué)生的辨析能力和分析問題和解決問題的能力；（三）情感、態(tài)度與價值觀：通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。二、教學(xué)重點：了解分析法和綜合法的思考過程、特點三、教學(xué)難點：分析法和綜合法的思考過程、特點四、教學(xué)過程:（一）導(dǎo)入新課：合情推理分歸納推理和類比推理，所得的結(jié)論的正確性是要證明的。數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須通過邏輯推理的方式加以證明。本節(jié)我們將學(xué)習(xí)兩類基本的證明方法：直接證明與間接證明。（二）推進新課：1. 綜合法 在數(shù)

2、學(xué)證明中，我們經(jīng)常從已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等出發(fā)，通過推理推導(dǎo)出所要的結(jié)論。例如：已知a,b0,求證教師活動：給出以上問題，讓學(xué)生思考應(yīng)該如何證明，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明。教師最后歸結(jié)證明方法。學(xué)生活動：充分討論，思考，找出以上問題的證明方法設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明以上問題，引出綜合法的定義證明:因為，所以。因為，所以。因此 。一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種方法叫做綜合法。用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結(jié)論，則綜合法可表示為：綜合法的特點是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利

3、用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法。例1、在ABC中,三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為,且A,B,C成等差數(shù)列, 成等比數(shù)列,求證ABC為等邊三角形.分析：將 A , B , C 成等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號語言就是2B =A + C; A , B , C為ABC的內(nèi)角，這是一個隱含條件，明確表示出來是A + B + C =； a , b，c成等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號語言就是此時，如果能把角和邊統(tǒng)一起來，那么就可以進一步尋找角和邊之間的關(guān)系，進而判斷三角形的形狀，余弦定理正好滿足要求于是，可以用余弦定理為工具進行證明證明：由 A, B, C成等差數(shù)列，有 2B=A + C 因為A,B,C

4、為ABC的內(nèi)角，所以 A + B + C= 由 ，得 B= 由a, b，c成等比數(shù)列，有 由余弦定理及，可得 再由，得 即 ， 因此 從而 A=C由，得A=B=C=所以ABC為等邊三角形注：解決數(shù)學(xué)問題時，往往要先作語言的轉(zhuǎn)換，如把文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言，或把符號語言轉(zhuǎn)換成圖形語言等還要通過細致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來例2、已知求證分析：本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進行。 證明：1) 差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于對稱，不妨設(shè)，從而原不等式得證。2）商值比較法：設(shè) 故原不等式得證。注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（

5、或作商）、變形、判斷符號。2. 分析法證明數(shù)學(xué)命題時，還經(jīng)常從要證的結(jié)論 Q 出發(fā)，反推回去，尋求保證 Q 成立的條件，即使Q成立的充分條件P1，為了證明P1成立，再去尋求P1成立的充分條件P2，為了證明P2成立，再去尋求P2成立的充分條件P3， 直到找到一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止。例如：基本不等式 （a0，b0）的證明就用了上述方法。要證，只需證 ，只需證 ，只需證 由于顯然成立，因此原不等式成立。一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止。這種方法叫做分析法。分

6、析法可表示為：分析法的特點是：執(zhí)果索因例3、求證。分析：從待證不等式不易發(fā)現(xiàn)證明的出發(fā)點，因此我們直接從待證不等式出發(fā)，分析其成立的充分條件。證明：因為都是正數(shù)，所以為了證明，只需明 ，展開得 ，只需證 ，因為成立，所以 成立。在本例中，如果我們從“2125”出發(fā)，逐步倒推回去，就可以用綜合法證出結(jié)論。但由于我們很難想到從“2125”入手，所以用綜合法比較困難。事實上，在解決問題時，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論 P若由P可以推出Q成立，就可以證明結(jié)論成立下面來看一個例子例4 、已知，且 求證：。分

7、析：比較已知條件和結(jié)論，發(fā)現(xiàn)結(jié)論中沒有出現(xiàn)角，因此第一步工作可以從已知條件中消去。觀察已知條件的結(jié)構(gòu)特點，發(fā)現(xiàn)其中蘊含數(shù)量關(guān)系，于是，由 2一2 得把與結(jié)論相比較，發(fā)現(xiàn)角相同，但函數(shù)名稱不同，于是嘗試轉(zhuǎn)化結(jié)論：統(tǒng)一函數(shù)名稱，即把正切函數(shù)化為正（余）弦函數(shù)把結(jié)論轉(zhuǎn)化為,再與比較，發(fā)現(xiàn)只要把中的角的余弦轉(zhuǎn)化為正弦，就能達到目的證明：因為，所以將 代入，可得. 另一方面，要證 ，即證 ， 即證 ，即證 ，即證 。由于上式與相同，于是問題得證。（三）課堂練習(xí)：1、課本P89頁 練習(xí)1、2、32、補充練習(xí)：（四）課堂小結(jié)： 綜合法和分析法的特點。（五）布置作業(yè)：課本P91頁 1、2、32.2.2反證法一

8、、教學(xué)目標(biāo)：1、知識與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程、特點。2、過程與方法:培養(yǎng)學(xué)生的辨析能力和分析問題、解決問題的能力；3、情感、態(tài)度與價值觀：通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。二、教學(xué)重點：了解反證法的思考過程、特點三、教學(xué)難點：反證法的思考過程、特點四、教學(xué)過程:（一）導(dǎo)入新課：1、復(fù)習(xí)綜合法和分析法的思考過程和特點。2、反證法 反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達到肯定原命題正確的一種方法。 在解決某些數(shù)學(xué)問題時，我們會不自覺地使用反

9、證法。 3、思考：桌面上有3枚正面朝上的硬幣，每次用雙手同時翻轉(zhuǎn)2枚硬幣，那么無論怎么翻轉(zhuǎn)，都不能使硬幣全部反面朝上。你能解釋這種現(xiàn)象嗎？學(xué)生嘗試用直接證明的方法解釋。采用反正法證明：假設(shè)經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)可以使硬幣全部反面向上，由于每枚硬幣從正面朝上變?yōu)榉疵娉隙夹枰D(zhuǎn)奇數(shù)次，所以 3 枚硬幣全部反面朝上時，需要翻轉(zhuǎn) 3 個奇數(shù)之和次，即要翻轉(zhuǎn)奇數(shù)次但由于每次用雙手同時翻轉(zhuǎn) 2 枚硬幣， 3 枚硬幣被翻轉(zhuǎn)的次數(shù)只能是 2 的倍數(shù)，即偶數(shù)次這個矛盾說明假設(shè)錯誤，原結(jié)論正確，即無論怎樣翻轉(zhuǎn)都不能使 3 枚硬幣全部反面朝上（二）推進新課1、反證法的特點：一般地，假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下，

10、結(jié)論不成立），經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。 2、例題講解：例1、已知直線和平面，如果，且，求證。證明：因為, 所以經(jīng)過直線a , b 確定一個平面。因為，而，所以 與是兩個不同的平面因為，且，所以. 下面用反證法證明直線a與平面沒有公共點假設(shè)直線a 與平面有公共點，則，即點是直線 a 與b的公共點，這與矛盾所以 . 例2、求證：不是有理數(shù)分析：直接證明一個數(shù)是無理數(shù)比較困難，我們采用反證法假設(shè)不是無理數(shù)，那么它就是有理數(shù)我們知道，任一有理數(shù)都可以寫成形如（互質(zhì)， ”的形式下面我們看看能否由此推出矛盾證明：假設(shè)不是無理數(shù)，那么它就是有理數(shù)于是，存在互質(zhì)的正整數(shù)，使得，從而有, 因此，所以 m 為偶數(shù)于是可設(shè) ( k 是正整數(shù)），從而有，即所以n也為偶數(shù)這與 m , n 互質(zhì)矛盾！由上述矛盾可知假設(shè)錯誤，從而是無理數(shù)注：正是的發(fā)現(xiàn)，使人們認(rèn)識到在有理數(shù)之外，還有一類數(shù)