數(shù)學(xué)趣題講解ppt課件.ppt

1、第五章 數(shù)學(xué)趣題,在現(xiàn)實的生活中有許許多多有趣的數(shù)學(xué)問題。經(jīng)常有意識地尋找并解決這些問題可以增強我們的邏輯思維能力，進而開發(fā)我們的大腦，提高我們的智力水平，同時使生活變得豐富多彩。計算機就是幫助我們解決這些問題的強有力的工具。經(jīng)常練習(xí)通過編寫程序解決數(shù)學(xué)難題，可以減少我們在解題時遇到的繁瑣而復(fù)雜的計算，把精力集中在解決具體問題的方法上，從而鍛煉我們的思考能力，邏輯思維水平，同時提高自身的編程水平和應(yīng)用計算機解決實際問題的能力。 本章將講解如何通過程序設(shè)計來解決一些有趣的數(shù)學(xué)問題。通過本章的學(xué)習(xí)，讀者不但可以了解一些有趣的數(shù)學(xué)問題的求解方法，而且可以通過舉一反三擴大知識面，提高應(yīng)用計算機編程解決

2、實際問題的能力。,5.1舍罕王的失算,題目要求： 舍罕是古印度的國王，據(jù)說他十分好玩，宰相達依爾為討好國王，發(fā)明了現(xiàn)今的國際象棋獻給國王。舍罕非常喜歡這項游戲，于是決定嘉獎達依爾，許諾可以滿足達依爾提出的任何要求。達依爾指著舍罕王前面的棋盤提出了要求：“陛下，請您按棋盤的格子賞賜我一點麥子吧，第1個小格賞我一粒麥子，第2個小格賞我兩粒，第3個小格賞四粒，以后每一小格都比前一個小格賞的麥粒數(shù)增加一倍，只要把棋盤上全部64個小格按這樣的方法得到的麥粒都賞賜給我，我就心滿意足了?！鄙岷蓖趼犃诉_依爾這個“小小”的要求，想都沒想就滿口答應(yīng)下來。 結(jié)果在給達依爾麥子時舍罕驚奇地發(fā)現(xiàn)它要給達依爾的麥子比自己

3、想象的要多得多，于是他進行了計算，結(jié)果令他大驚失色。問題是：舍罕王的計算結(jié)果是多少粒麥子？,5.2 求兩個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù),題目要求： 編寫一個程序計算兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。 題目分析： 所謂兩個數(shù)最大公約數(shù)就是指兩個數(shù)a,b的公共因數(shù)中最大的那一個。例如：4和8，兩個數(shù)的公共因數(shù)分別為1、2、4，其中4為4和8的最大公約數(shù)。 因此要計算出兩個數(shù)的最大公約數(shù)，最簡單的方法就是從兩個數(shù)中較小的那個開始依次遞減，得到的第一個這兩個數(shù)的公因子數(shù)即為這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。,5.3歌德巴赫猜想的近似證明,題目要求： 所謂歌德巴赫猜想是說任何一個大于2的偶數(shù)都能表示成為兩個素數(shù)之和

4、。應(yīng)用計算機工具可以很快地在一定范圍內(nèi)驗證歌德巴赫猜想的正確性。請編寫一個C程序，驗證指定范圍內(nèi)歌德巴赫猜想的正確性，也就是近似證明歌德巴赫猜想（因為不可能用計算機窮舉出所有正偶數(shù)）。 題目分析： 可以把問題歸結(jié)為在指定范圍內(nèi)（例如：12000內(nèi)）驗證其中每一個偶數(shù)是否滿足歌德巴赫猜想的論斷，即是否能表示為兩個素數(shù)之和。如果發(fā)現(xiàn)一個偶數(shù)不能表示為兩個素數(shù)之和，即不滿足歌德巴赫猜想的論斷，則意味著舉出了反例，從而可以否定歌德巴赫猜想。,5.4 三色球問題,題目要求： 由紅、黃、綠三種顏色的球，其中紅球3個，黃球3個，綠球6個?，F(xiàn)將這12個球混放在一個盒子中，從中任意摸出8個球，編程計算摸出球的各

5、種顏色搭配。 題目分析： 這是一道排列組合的問題。從12個球中任意摸出8個球，求顏色搭配的種類。解決這類問題的一種比較簡單直觀的方法是應(yīng)用窮舉法，在可能的解空間中找出所有的搭配，然后再根據(jù)約束條件加以排除，最終篩選出正確的答案。,5.5 百錢買百雞問題,題目要求： 我國古代數(shù)學(xué)家張丘建在算經(jīng)一書中曾提出過著名的“百錢買百雞”問題。該問題敘述如下：雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一；百錢買百雞，則翁、母、雛各幾何？請編寫C程序，解決“百錢買百雞”問題。,5.6 判斷回文數(shù)字,題目要求： 有這樣一類數(shù)字，它們順著看和倒著看是相同的數(shù)，例如121，656，2332等，這樣的數(shù)字叫做回文數(shù)

6、字。編寫一個程序，判斷從鍵盤接收的數(shù)字是否為回文數(shù)字。 題目分析： 要想判斷一個數(shù)是否是回文數(shù)字，必須從回文數(shù)字的特點入手。因為回文數(shù)字順著看和倒著看是相同的數(shù)，所以可以通過這個特點來判斷一個數(shù)字是否是回文數(shù)字。 顯然可以通過將一個十進制數(shù)“倒置”的辦法來判斷它是否是回文數(shù)字。所謂倒置就是計算該十進制數(shù)倒過來后的結(jié)果。例如一個數(shù)是123，它的倒置結(jié)果為321，因為123不等于321，所以123不是回文數(shù)字。同理，一個數(shù)是121，它的倒置結(jié)果也為121，所以121是回文數(shù)字。,5.7 填數(shù)字游戲求解,題目要求： 有這樣一個算式： 其中ABCDE代表的數(shù)字各不相同。編寫一個程序，計算出ABCDE各

7、代表什么數(shù)字。 題目分析： 這道題的實質(zhì)就是求這樣一個4位數(shù)ABCD和1位數(shù)E，要求它們的乘積等于DCBA。同時A、B、C、D、E互不相等。也就是在4位的整數(shù)集合1000，9999和1位的整數(shù)集合1，9中找到符合上述算式條件的4位數(shù)ABCD和1位數(shù)E。因此不難想到應(yīng)用窮舉法可以方便地找到答案。,5.8 新郎和新娘,題目要求： 三對新婚夫婦參加婚禮，三個新郞為A、B、C，三個新娘為X、Y、Z。有人不知道誰和誰結(jié)婚，于是詢問了六位新人中的三位，但聽到的回答是這樣的：A說他將和X結(jié)婚；X說她的未婚夫是C；C說他將和Z結(jié)婚。這人聽后知道他們在開玩笑，全是假話。請編程找出誰將和誰結(jié)婚。 題目分析： 如果

8、“亂點鴛鴦譜”的話，三個新郎A、B、C和三個新娘X、Y、Z共有6種配對組合方式。這是因為不能出現(xiàn)兩個新郎（新娘）和一個新娘（新郎）結(jié)婚的狀況，所以只可能有3*2*1=6種配對方案。因此只要窮舉出這6種配對方案，再應(yīng)用問題中給出的約束條件就可以篩選出正確的答案來。,5.9 愛因斯坦的階梯問題,題目要求： 愛因斯坦曾出過這樣一道有趣的數(shù)學(xué)題：有一個長階梯，若每步上2階，最后剩1階；若每步上3階，最后剩2階；若每步上5階，最后剩4階；若每步上6階，最后剩5階；只有每步上7階，最后剛好一階也不剩。請問該階梯至少有多少階。編寫一個C程序解決該問題。,5.10 尋找水仙花數(shù),題目要求： 如果一個3位數(shù)等于

9、其各位數(shù)字的立方和，則稱這個數(shù)為水仙花數(shù)。例如：407=43+03+73，因此407就是一個水仙花數(shù)。編寫一個程序，找出全部的水仙花數(shù)。 題目分析： 水仙花數(shù)是三位數(shù)，只要應(yīng)用窮舉法窮舉出100999閉區(qū)間中的每一個數(shù)字（正整數(shù)），然后對每一個正整數(shù)進行判斷，看它是不是水仙花數(shù)，如果是水仙花數(shù)，則將該數(shù)輸出，如果不是水仙花數(shù)，則不輸出該數(shù)。,5.11 猴子吃桃問題,題目要求： 有一只猴子第一天摘下若干個桃子，當即吃掉了一半，又多吃了一個；第二天又將剩下的桃子吃掉一半，又多吃一個；按照這樣的吃法每天都吃前一天剩下的桃子的一半又一個。到了第十天，就只剩下一個桃子。問題：這只猴子第一天摘了多少個桃子

10、。,5.12 兔子產(chǎn)仔問題,題目要求： 13世紀意大利數(shù)學(xué)家斐波那契他的算盤書中提出這樣一個問題：有人想知道一年內(nèi)一對兔子可繁殖成多少對，便筑了一道圍墻把一對新生的兔子關(guān)在里面。已知一對兩個月大的兔子以后每一個月都可以生一對小兔子，而一對新生的兔子出生兩個月后才可以生小兔子（例如：1月份出生，3月份才可產(chǎn)仔）。假如一年內(nèi)沒有發(fā)生死亡，則一年內(nèi)共能繁殖成多少對？,5.13 分解質(zhì)因數(shù),題目要求： 根據(jù)數(shù)論的知識可知任何一個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式，這幾個質(zhì)數(shù)都叫做這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。例如24=2*2*2*3。把一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式表示，叫做分解質(zhì)因數(shù)。對于一個質(zhì)數(shù)，它的質(zhì)因數(shù)可定

11、義為它本身。編寫一個程序?qū)崿F(xiàn)分解質(zhì)因數(shù)。,5.14 常勝將軍,題目要求： 現(xiàn)有21根火柴，兩人輪流取，每人每次可以取走1至4根，不可多取，也不能不取，誰取最后一楰火柴誰輸。請編寫一個程序進行人機對弈，要求人先取，計算機后?。挥嬎銠C一方為“常勝將軍”。,5.15 求的近似值,題目要求： 編寫一個C程序，用來求出的近似值。 題目分析： 求的方法很多，這里兩種最為常用的求的方法。 方法1：利用“正多邊形逼近”法求。 “正多邊形逼近” 法求的核心思想是極限的思想。假設(shè)一個直徑d為1的圓，只要求出該圓的周長C，就可以通過=C/d的方法求出的值。所以關(guān)鍵是求出該圓的周長C。這里用“正多邊形逼近”的方法求圓

12、的周長。,5.16 魔幻方陣,題目要求： 有一種方陣被稱為“魔幻方陣”。所謂魔幻方陣是指在n*n的矩陣中填寫1n2這n2個數(shù)字，使得它的每一行、每一列以及兩個對角線之和均相等。例如三階魔幻方陣如下： 它的每一行、每一列以及兩個對角線之和均為15。編寫一個程序，打印出一種三階的魔幻方陣。,5.17 移數(shù)字游戲,題目要求： 有這樣一個包含9個圓圈的數(shù)陣，如圖5-22所示：,圖5-22 包含9個圓圈的數(shù)陣,圖5-23 數(shù)陣的最終狀態(tài),5.18 數(shù)字的全排列,題目要求： 輸入一個數(shù)字序列a1,a2,an，將該序列進行排列，并輸出每一種排列方式。,5.19 完全數(shù),題目要求： 如果一個數(shù)恰好等于它的因子

13、之和，那么這個數(shù)就被稱為完全數(shù)。例如6的因子為1，2，3，而6=1+2+3，因此6是一個完全數(shù)。求出1000以內(nèi)的完全數(shù)。 題目分析： 本題最為直接的解法就是利用窮舉法在11000以內(nèi)判斷每個數(shù)是否是完全數(shù)，如果是完全數(shù)就輸出之。問題的關(guān)鍵就是如何判斷一個數(shù)a是否是完全數(shù)。它要分為兩個步驟完成： （1）求出a的所有因子a1,a2an的和sum； （2）判斷a1+a2+an的和sum是否等于a，如果sum等于a則a是完全數(shù)，否則a不是完全數(shù)。,5.20 親密數(shù),題目要求： 如果整數(shù)A的全部因子（包括1，不包括A本身）之和等于B，并且整數(shù)B的全部因子（包括1，不包括B本身）之和等于A，則稱整數(shù)A和B為親密數(shù)。求解3000以內(nèi)的全部親密數(shù)。,5.21 數(shù)字翻譯器,題目要求： 輸入一個正整數(shù)N，輸出它的英文表達。例如：輸入1，輸出one；輸入12，輸出twelve；輸入135，輸出one hundred thirty five。編寫程序?qū)崿F(xiàn)之。 題目分析： 解決這道題的關(guān)鍵是弄清阿拉伯數(shù)字與英文表達的對應(yīng)關(guān)系。 首先數(shù)字119中每個數(shù)都對應(yīng)一個英文的單詞；,5.22 遞歸實現(xiàn)數(shù)制轉(zhuǎn)換,題目要求： 應(yīng)用遞歸的方法實現(xiàn)一個數(shù)制轉(zhuǎn)換器，它可