桿類構(gòu)件的應(yīng)力分析與強(qiáng)度計(jì)算.ppt

1、,工程力學(xué),第七章 桿類構(gòu)件的應(yīng)力分析與強(qiáng)度計(jì)算,第七章 桿類構(gòu)件的應(yīng)力分析與強(qiáng)度計(jì)算,7-4 應(yīng)力集中的概念,7-1 應(yīng)力的概念,一、應(yīng)力的概念,構(gòu)件截面上的內(nèi)力分布集度，稱為應(yīng)力。,若想求受力構(gòu)件某一截面m-m上的M點(diǎn)處的應(yīng)力，可在M點(diǎn)周圍取微小面積A,A上分布內(nèi)力的合力為F ，于是在A上內(nèi)力的平均應(yīng)力為：,總應(yīng)力 p,法向分量,正應(yīng)力s,背離截面的正應(yīng)力為正，指向截面的正應(yīng)力為負(fù)。,切向分量,切應(yīng)力t,對(duì)截面內(nèi)的一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針?lè)较蛄氐那袘?yīng)力為正，反之為負(fù)。,應(yīng)力量綱：ML-1T-2 應(yīng)力單位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。,該截面上M點(diǎn)處分布內(nèi)力的集

2、度為 ，其方向一般既不與截面垂直，也不與截面相切，稱為總應(yīng)力。,7-2 軸向拉伸與壓縮時(shí)桿件 的應(yīng)力強(qiáng)度條件,一、拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力,1、變形現(xiàn)象,(1) 橫向線ab和cd仍為直線，且仍然垂直于軸線;即 通常所說(shuō)的平面假設(shè)。,(2) ab和cd分別平行移至ab和cd , 且伸長(zhǎng)量相等.,結(jié)論：每條縱向纖維的力學(xué)性能相同，其受力也應(yīng)相 同，因此橫截面上的正應(yīng)力是均勻分布的 .,2、等截面拉(壓)桿橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式,式中， FN 為軸力，A 為桿的橫截面面積, 的符號(hào)與軸力FN 的符號(hào)相同.,當(dāng)軸力為正號(hào)時(shí)（拉伸），正應(yīng)力也為正號(hào)， 稱為拉應(yīng)力 ;,當(dāng)軸力為負(fù)號(hào)時(shí)（壓縮），正應(yīng)力也為

3、負(fù)號(hào)， 稱為壓應(yīng)力 .,例7.1 已知一等截面直桿，橫截面A=500mm2，所受軸向力作用如圖所示，F(xiàn)=10KN， F=20KN ， F=20KN 。試求直桿各段的正應(yīng)力。,解：(1) 作軸力圖,(2) 應(yīng)力計(jì)算：,式中，負(fù)號(hào)表示為壓應(yīng)力；正號(hào)表示為為拉應(yīng)力。,二、拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力,1、斜截面上的應(yīng)力,以 p表示斜截面 k - k上的應(yīng)力，于是有:,沿截面法線方向的正應(yīng)力 ,沿截面切線方向的剪應(yīng)力 ,將應(yīng)力 p分解為兩個(gè)分量：,2、符號(hào)的規(guī)定,從x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)到a截面的外法線n時(shí),a為正值， 反之為負(fù)值。,(1)當(dāng) = 00 時(shí)，,(2) = 450 時(shí)，,討 論,三、強(qiáng)度計(jì)算,拉壓桿正

4、常工作時(shí)的強(qiáng)度條件可表示為：,其中：smax拉(壓)桿的最大工作應(yīng)力，s材料拉伸(壓縮)時(shí)的許用應(yīng)力。,根據(jù)強(qiáng)度條件可以解決工程中的三類強(qiáng)度問(wèn)題, 強(qiáng)度校核, 設(shè)計(jì)截面, 確定許可載荷,解：桿件橫截面上的正應(yīng)力為:,因?yàn)?所以滿足強(qiáng)度校核。,解： （1）分析受力，受力圖如圖所示。,解得：,（2）計(jì)算各桿的許可載荷。,對(duì)BC桿，根據(jù)強(qiáng)度條件,解得：,所以，該結(jié)構(gòu)的兩桿都要滿足強(qiáng)度條件的許可載荷應(yīng)?。?對(duì)AC桿，根據(jù)強(qiáng)度條件,解得：,7-3 材料的力學(xué)性能,一、材料在拉伸時(shí)的力學(xué)性能,常溫: 室內(nèi)溫度,靜載: 以緩慢平穩(wěn)的方式加載,標(biāo)準(zhǔn)試件：采用國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一規(guī)定的試件, 試驗(yàn)條件,試驗(yàn)設(shè)備及工具,

5、萬(wàn)能材料試驗(yàn)機(jī),游標(biāo)卡尺,低碳鋼在拉伸時(shí)的力學(xué)性能,低碳鋼拉伸時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線圖:,Ob 段:彈性階段,當(dāng)外力撤消以后產(chǎn)生的變形能夠完全恢復(fù)。,比例極限,彈性極限,Oa 段:比例階段,應(yīng)力應(yīng)變完全成正比,滿 足胡克定律。,bc 段:屈服階段,載荷在小范圍內(nèi)波動(dòng),基本不變,而變形明顯增加材料暫時(shí)失去了抵抗變形的能力,開(kāi)始產(chǎn)生塑性變形。,光滑試件表面出現(xiàn)與軸線大致成450的條紋線。,c點(diǎn):上屈服點(diǎn),d點(diǎn):下屈服點(diǎn),yield,Slide-line,de 段:強(qiáng)化階段,試件恢復(fù)了抵抗變形的能力,產(chǎn)生的變形絕大多數(shù)為塑性變形。,強(qiáng)度極限,ef 段:局部變形,試件某一局部突然向里收縮,出現(xiàn)頸縮現(xiàn)象。,

6、延伸率:,截面收縮率:,5,5,塑性,脆性,低碳鋼是典型的塑性材料,冷作硬化,退火可以消除,卸載定律：在卸載過(guò)程中，應(yīng)力和應(yīng)變按直線變化。,2.其他塑性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能,對(duì)于在拉伸過(guò)程中沒(méi)有明顯屈服階段的材料，通常規(guī)定以產(chǎn)生0.2的塑性應(yīng)變所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力作為屈服極限，并稱為名義屈服極限，用0.2來(lái)表示。,3.鑄鐵在拉伸時(shí)的力學(xué)性能,在較小的力作用下就被突然拉斷,產(chǎn)生的變形很小可以忽略。,沒(méi)有屈服和頸縮現(xiàn)象,只能測(cè)出,鑄鐵是典型的脆性材料,二、材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性能, 試驗(yàn)試件,短圓柱,低碳鋼壓縮時(shí)的-曲線,低碳鋼壓縮時(shí)的彈性模量E屈服極限s都與拉伸時(shí)大致相同。屈服階段后，試件越壓越扁，橫截面

7、面積不斷增大，試件不可能被壓斷，因此得不到壓縮時(shí)的強(qiáng)度極限。,鑄鐵壓縮時(shí)的-曲線,鑄鐵壓縮時(shí)破壞端面與橫截面大致成450 550傾角，表明這類試件主要因剪切而破壞。鑄鐵的抗壓強(qiáng)度極限是抗拉強(qiáng)度極限的45倍。,7-4 應(yīng)力集中的概念,由于構(gòu)件形狀尺寸的突變，引起局部應(yīng)力急劇增大的現(xiàn)象，稱為應(yīng)力集中。,K是應(yīng)力的比值，與材料無(wú)關(guān)，它反映了桿件在靜載荷下 應(yīng)力集中的程度，是一個(gè)大于1的因數(shù)。,7-5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度條件,一、切應(yīng)力互等定理,1、變形現(xiàn)象,2、平面假設(shè),圓軸扭轉(zhuǎn)前為平面的橫截面，變形后仍保持為平面， 就象剛性圓盤一樣繞軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，形狀和大小不變， 半徑仍保持為直線，此假設(shè)稱為

8、平面假設(shè)。,3、推論,（1）因兩任意圓周線間的距離不變，故圓軸橫截面上 沒(méi)有正應(yīng)力存在；,（2）因垂直于半徑的小方格發(fā)生了相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，故圓軸 橫截面上必然存在切應(yīng)力，且其方向垂直于半徑。,4、切應(yīng)力互等定理,假設(shè)在圓軸的表面處用橫截面、 徑向截面以及與表面平行的面截取 一微小的正六面體,根據(jù)平衡條件，有,由此得：,單元體在其兩對(duì)互相垂直的平面上只有切應(yīng)力而無(wú) 正應(yīng)力的這種狀態(tài)，稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。,單元體兩個(gè)相互垂直平面上的 切應(yīng)力同時(shí)存在，且大小相等，都 指相（或背離）該兩平面的交線。,二、剪切胡克定律,對(duì)于純剪切應(yīng)力狀態(tài)的單元體， 在切應(yīng)力 的作用下，單元體的直 角要發(fā)生微小改變，這個(gè)直角的

9、 改變量 稱為切應(yīng)變。,大量的試驗(yàn)結(jié)果表明：若應(yīng)力不超過(guò)一定的限度， 對(duì)于只承受純剪切的單元體，切應(yīng)力與切應(yīng)變之間 存在正比關(guān)系:,G為材料的切變(剪切)模量，單位為帕（Pa） 。,三、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力,1、變形幾何關(guān)系,可以求得距圓心為處的切應(yīng)變?yōu)椋?2、物理關(guān)系,由剪切胡克定律,同一圓周上各點(diǎn)剪應(yīng)力 均相同 ， 且其值與 成正比， 與半徑垂直。,3、靜力學(xué)關(guān)系,令：,IP 為橫截面對(duì)形心的 極慣性矩,則：,或：,從而得等直圓桿在線彈性范圍內(nèi)扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上任一點(diǎn)處切應(yīng)力計(jì)算公式:,橫截面周邊上各點(diǎn)處( = R)的最大切應(yīng)力為:,引入:,式中Wp稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，其單位為m3。,4、

10、圓截面的極慣性矩Ip和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wp,實(shí)心圓截面：,空心圓截面：,四、強(qiáng)度條件,此處t為材料的許用切應(yīng)力。對(duì)于等直圓軸亦即：,同拉伸和壓縮類似，利用強(qiáng)度條件可以進(jìn)行三類強(qiáng)度計(jì)算。,例題7.4 圖示階梯狀圓軸，AB段直徑d1=120 mm，BC段直徑d2=100 mm。扭轉(zhuǎn)力偶矩MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的許用切應(yīng)力t =80 MPa。試校核該軸的強(qiáng)度。,BC段內(nèi),AB段內(nèi),解：1. 繪扭矩圖,2. 求每段軸的橫截面上的最大切應(yīng)力,3. 校核強(qiáng)度,需要指出的是，階梯狀圓軸在兩段的連接處仍有應(yīng)力集中現(xiàn)象，在以上計(jì)算中對(duì)此并未考核。,t2,max t1,

11、max，但有t2,maxt = 80MPa，故該軸滿足強(qiáng)度條件。,7-6 梁的彎曲應(yīng)力強(qiáng)度條件,一、純彎曲,在AC和DB段，梁的橫截面既有彎矩，又有剪力，這種情況稱 為橫力彎曲（剪切彎曲） 。,在CD段內(nèi)，梁的橫截面上 剪力為零，而彎矩為常量，這 種情況稱為純彎曲。,梁在純彎曲變形時(shí)，橫截面 上只有與彎矩有關(guān)的正應(yīng)力。,二、梁在純彎曲時(shí)的正應(yīng)力,1、變形幾何關(guān)系,作如下假設(shè)： 梁的橫截面變形后仍保持為平面，且垂直于變形后 的軸線，即彎曲變形的平面假設(shè)。 (2) 縱向纖維間無(wú)擠壓作用，各縱向纖維均處于單向受拉 或受壓狀態(tài)。, 中性層,中性層：構(gòu)件內(nèi)部既不伸長(zhǎng)也不收縮的纖維層。,中性軸：橫截面與中

12、性層的交線。,縱向線bb變形后的長(zhǎng)度為:,bb 變形前的長(zhǎng)度等于中性層,縱向線bb的應(yīng)變?yōu)?即：純彎曲時(shí)橫截面上各點(diǎn)的縱向線應(yīng)變沿截面 高度呈線性分布。,中性層長(zhǎng)度不變, 所以,2、物理關(guān)系,因?yàn)榭v向纖維只受拉或壓，當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時(shí)，由胡克定律有:,即：純彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的 正應(yīng)力與它到中性軸的距離y成正比。 也即，正應(yīng)力沿截面高度呈線性分布。,3、靜力學(xué)關(guān)系,對(duì)橫截面上的內(nèi)力系，有:,根據(jù)靜力平衡條件，純彎曲梁的左側(cè)只有對(duì)z軸的力偶矩M,，,即：,由:,z 軸通過(guò)形心,即：中性軸通過(guò)形心。,由:,因?yàn)閥軸是對(duì)稱軸，上式自然滿足。,EIz 梁的抗彎剛度,將上式代入,由:,將彎矩M和坐標(biāo)

13、y按規(guī)定的正負(fù)號(hào)代入，所得到的正 應(yīng)力若為正值，即為拉應(yīng)力，若為負(fù)值，即為壓應(yīng)力。 在具體計(jì)算中，可根據(jù)梁變形的情況來(lái)判斷，即以中性 層為界，梁變形后凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力，而凹入邊的 應(yīng)力為壓應(yīng)力，此時(shí),M和y可以直接代入絕對(duì)值。,在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處，正應(yīng)力最大。,令:,式中Wz稱為扭彎截面系數(shù)，其單位為m3。,若截面是高為h寬為b的矩形，則：,若截面是直徑為d的實(shí)心圓截面，則：,若截面是外徑為D,內(nèi)徑是d的空心圓截面，則：,當(dāng)梁上有橫向力作用時(shí),橫截面上既又 彎矩又有剪力.梁在此種情況下的彎曲稱為橫力彎曲。,橫力彎曲時(shí),梁的橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力.切應(yīng)力使橫截面發(fā)生翹曲,橫

14、向力引起與中性層平行的縱截面的擠壓應(yīng)力,純彎曲時(shí)所作的平面假設(shè)和單向受力假設(shè)都不成立。,雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異,但進(jìn)一步的分析表明, 工程中常用的梁,純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式,可以精確的計(jì)算 橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力。,等直梁橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力公式為,三、梁在橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力,四、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件,等直梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩所在的 橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處，因此建立梁 的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：,即梁的最大彎曲正應(yīng)力不超過(guò)材料的許用彎曲正應(yīng)力,上式僅適用于許用拉應(yīng)力與許用壓應(yīng)力相同的梁， 如低碳鋼。但對(duì)于鑄鐵等脆性材料，它們的許用拉應(yīng) 力低于許用壓應(yīng)力 ，則應(yīng)按許用

15、拉應(yīng)力與許用壓應(yīng) 力分別進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。,例7.5 鋼制等截面簡(jiǎn)支梁受均布載荷q作用，梁的橫截面 為h=2b的矩形,求梁的截面尺寸。,已知材料的許用應(yīng)力,，,解：作彎矩圖,危險(xiǎn)截面在梁的中點(diǎn)，其值為,根據(jù)強(qiáng)度計(jì)算公式對(duì)梁進(jìn)行正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算：,例7.6 T形截面鑄鐵梁的荷載和截面尺寸如圖所示.鑄鐵的抗拉許用應(yīng)力為 t = 30MPa ,抗壓許用應(yīng)力為c =160MPa 。已知截面對(duì)形心軸z的慣性矩為 Iz =763cm4 , y1 =52mm,校核梁的強(qiáng)度。,F1=9kN,F2=4kN,A,C,B,D,1m,1m,1m,F2=4kN,B截面,C截面,解:,7-7 提高構(gòu)件強(qiáng)度的措施,彎曲正應(yīng)力是控

16、制梁的強(qiáng)度的主要因素。 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度為：,從上式可知，要提高梁的彎曲強(qiáng)度，應(yīng)減小最大彎矩Mmax 和提高抗彎截面系數(shù)Wz。,一、合理配置梁的支座和載荷,1、合理安排梁的支座,若將支座向中間移動(dòng)0.2l, 最大的彎矩為原來(lái)的1/5,2、合理布置載荷,當(dāng)集中載荷位置不受限制時(shí)，可盡量地靠近支座， 這時(shí)梁的最大彎矩將比載荷作用在梁中間位置小得多。,將載荷分解成幾個(gè)大小相等，方向相同的集中 載荷或均布載荷，梁內(nèi)的彎矩也將顯著減小。,二、選擇合理的截面形狀,根據(jù)強(qiáng)度條件可知，要想提高梁的強(qiáng)度, Wz越大越好， 但是，另一方面，截面面積A越小，越經(jīng)濟(jì)，越輕巧，因 而合理的截面形狀應(yīng)該是用Wz/A的比值來(lái)衡量截面形狀 的合理性和經(jīng)濟(jì)性。比值Wz/A越大，則截面的形狀比較 經(jīng)濟(jì)合理。,幾種截面的Wz/A比值,從表中可以看出，工字鋼或槽鋼比矩形截面經(jīng)濟(jì)合理， 矩形截面比圓形截面合理。工程中，橋式起重機(jī)的大梁， 以及其他鋼結(jié)構(gòu)