江蘇省高考數學復習知識點按難度與題型歸納(應試筆記)

1、江蘇省高考數學復習知識點一.集合性質與運算：不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況，補集思想二.復數運算1.運算律：； ； .【提示】注意復數、向量、導數、三角等運算率的適用范圍.2.模的性質：； ； .3.重要結論：； ； ，；性質：T=4；.【拓展】：或.A4.冪函數的的性質及圖像變化規(guī)律：(1)所有的冪函數在都有定義，并且圖像都過點；(2)當時，冪函數的圖像通過原點，并且在區(qū)間上是增函數特別地， 當時，冪函數的圖像下凸； 當時，冪函數的圖像上凸；(3)時，冪函數的圖像在區(qū)間上是減函數在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖像在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖像在軸上方無限地逼近軸正半軸【

2、說明】：對于冪函數我們只要求掌握的這5類，它們的圖像都經過一個定點(0,0)和(0,1)，并且時圖像都經過(1,1)，把握好冪函數在第一象限內的圖像就可以了.A5.統(tǒng)計1.抽樣方法：2.總體分布的估計就是用總體中樣本的頻率作為總體的概率.頻率=.小長方形面積=組距=頻率. 所有小長方形面積的和=各組頻率和=1.【提醒】：直方圖的縱軸(小矩形的高)一般是頻率除以組距的商(而不是頻率)，橫軸一般是數據的大小，小矩形的面積表示頻率.3.用樣本的算術平均數作為對總體期望值的估計；樣本平均數： 4.用樣本方差的大小估計總體數據波動性的好差(方差大波動差).(1)一組數據樣本方差 ；樣本標準差= (2)兩

3、組數據與,其中,.則,它們的方差為,標準差為若的平均數為，方差為，則的平均數為，方差為.樣本數據做如此變換：，則，.B1.線性規(guī)劃1、二元一次不等式表示的平面區(qū)域：（1）當時，若表示直線的右邊，若則表示直線的左邊.（2）當時，若表示直線的上方，若則表示直線的下方.2、設曲線（），則或所表示的平面區(qū)域：兩直線和所成的對頂角區(qū)域（上下或左右兩部分）.3、點與曲線的位置關系：若曲線為封閉曲線（圓、橢圓、曲線等），則，稱點在曲線外部；若為開放曲線（拋物線、雙曲線等），則，稱點亦在曲線“外部”.4、已知直線，目標函數.當時，將直線向上平移，則的值越來越大；直線向下平移，則的值越來越?。划敃r，將直線向上平

4、移，則的值越來越??；直線向下平移，則的值越來越大；5、明確線性規(guī)劃中的幾個目標函數（方程）的幾何意義：（1），若，直線在y軸上的截距越大，z越大，若，直線在y軸上的截距越大，z越小.（2）表示過兩點的直線的斜率，特別表示過原點和的直線的斜率.（3）表示圓心固定，半徑變化的動圓，也可以認為是二元方程的覆蓋問題.（4）表示到點的距離.（5）；（6）；（7）；【點撥】：通過構造距離函數、斜率函數、截距函數、單位圓x2+y2=1上的點及余弦定理進行轉化達到解題目的。B 2.三角變換：（1）角的“配”與“湊”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，還應注意一些配湊變形技巧，如下：，； ，；，；等

5、.（2）“降冪”與“升冪”（次的變化），（3）切割化弦（名的變化） 利用同角三角函數的基本關系經常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.（4）常值變換常值可作特殊角的三角函數值來代換.此外，對常值 “1”可作如下代換：等.（5）引入輔助角 一般的， 期中. 特別的，;，等.（6）特殊結構的構造構造對偶式，化繁為簡.舉例：，可以通過兩式和，作進一步化簡.（7）整體代換舉例： ，可求出整體值，作為代換之用.B 3.三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應用公式和變換方法外，還要注意三角形自身的特點(1)角的變換因為在中，（三內角和定理），所以任意兩角和：與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半

6、角總互余.銳角三角形：三內角都是銳角；三內角的余弦值為正值；任兩角和都是鈍角；任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.即，；. (2)三角形邊、角關系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理 面積公式：.其中為三角形內切圓半徑，為周長之半 (3)對任意，；在非直角中，(4)在中，熟記并會證明：*1.成等差數列的充分必要條件是*2.是正三角形的充分必要條件是成等差數列且成等比數列*3.三邊成等差數列；.*4.三邊成等比數列,. (5)銳角中, ，；.(6)兩內角與其正弦值：在中，(7) 若，則.B 4.三角恒等與不等式組一組二組三 常見三角不等式(1)若，則；(2) 若，則；(3) ；(4)在上是減函數；B

7、5.概率的計算公式：古典概型：；等可能事件的概率計算公式：；互斥事件的概率計算公式：P(A+B)P(A)+P(B)；對立事件的概率計算公式是：P()=1P(A)；幾何概型：若記事件A=任取一個樣本點，它落在區(qū)域，則A的概率定義為B6.最值定理，若積，則當時和有最小值；，若和，則當是積有最大值.【推廣】：已知，則有.（1） 若積是定值，則當最大時，最大；當最小時，最小.（2） 若和是定值，則當最大時，最?。划斪钚r，最大.已知，若，則有：，若則有：B7.求函數值域的常用方法：配方法：逆求法：通過反解，用來表示，再由的取值范圍，通過解不等式，得出的取值范圍，型如的函數值域；換元法：三角有界法：如轉

8、化為只含正弦、余弦的函數，再運用其有界性來求值域；不等式法：利用基本不等式求函數的最值，有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧；單調性法：數形結合法：分離常數法：【說明】：對分式函數一般先考慮分子分母次數，齊次的話則先分離出常數，若次數不一樣且兩倍的化則將次數低的整體換元：1.型，可直接用不等式性質；2.型，先化簡，再用均值不等式；3. 型，可先換元轉化為類似于2型4. 型，通常先分離出常數再轉換為3型導數法：一般適用于高次多項式函數求值域.B8.函數值域的題型(一) 常規(guī)函數求值域：畫圖像，定區(qū)間，截段.(二) 非常規(guī)函數求值域：想法設法變形成常規(guī)函數求值域.解題步驟：(1)換元變形；(2)

9、求變形完的常規(guī)函數的自變量取值范圍；(3)畫圖像，定區(qū)間，截段。(三) 分式函數求值域 ：四種題型(1) ：則且.(2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范圍解不等式求y的范圍.(3)： ，則且.(4)求的值域，當時，用判別式法求值域。，值域.(四) 不可變形的雜函數求值域： (五) 原函數反函數對應求值域：原函數的定義域等于反函數值域，原函數值域等于反函數定義域.(六) 已知值域求系數：利用求值域的前五種方法寫求值域的過程，將求出的以字母形式表示的值域與已知值域對照求字母取值或范圍.B9.應用基本不等式求最值的“八種變形技巧”：湊系數（乘、除變量系數）.例1.當 時，求函的數最大值.

10、湊項（加、減常數項）：例2.已知 ，求函數的最大值.調整分子：例3.求函數的值域；變用公式：基本不等式有幾個常用變形： , ， ，. 前兩個變形很直接，后兩個變形則不易想到，應重視； 例4.求函數的最大值；連用公式：例5.已知，求的最小值；對數變換：例6.已知，且，求的最大值；三角變換：例7.已知，且，求的最大值；常數代換（逆用條件）：例8.已知，且，求的最小值.B10.“單調性”補了“基本不等式”的漏洞：平方和為定值若（為定值，），可設，其中.在上是增函數，在上是減函數；在上是增函數，在上是減函數；. 令，其中. 由，得， 從而在上是減函數.和為定值若（為定值，），則在上是增函數，在上是減函

11、數；.當時，在上是減函數，在上是增函數；當時，在上是減函數，在上是增函數.在上是減函數，在上是增函數；積為定值若（為定值，），則.當時，在上是減函數，在上是增函數；當時，在上是增函數；.當時，在上是減函數，在上是增函數；當時，在上是減函數；在上是減函數，在上是增函數.倒數和為定值若（為定值，），則成等差數列且均不為零，可設公差為，其中，則得.當時，在上是減函數，在上是增函數；當時，在上是增函數，在上減函數；.當時，在上是減函數，在上是增函數；當時，在上是減函數，在上是增函數；.令，其中且，從而在上是增函數，在上是減函數.注意：不要忘記最基本的方法：減元轉化為函數，多個變量盡量減少B11.理解幾

12、組概念*1. 廣義判別式設是關于實數的一個解析式， 都是與有關或無關的實數且，則是方程有實根的必要條件，稱“”為廣義判別式. *2. 解決數學問題的兩類方法：一是從具體條件入手,運用有關性質,數據,進行計算推導,從而使數學問題得以解決；二是從整體上考查命題結構,找出某些本質屬性,進行恰當的核算,從而使問題容易解決,這一方法稱為定性核算法.*3. 二元函數設有兩個獨立的變量與在其給定的變域中中，任取一組數值時，第三個變量就以某一確定的法則有唯一確定的值與其對應，那末變量稱為變量與的二元函數.記作：. 其中與稱為自變量，函數也叫做因變量，自變量與的變域稱為函數的定義域. 把自變量、及因變量當作空間

13、點的直角坐標，先在平面內作出函數的定義域；再過域中得任一點作垂直于平面的有向線段，使其值為與對應的函數值； 當點在中變動時，對應的點的軌跡就是函數的幾何圖形.它通常是一張曲面，其定義域就是此曲面在平面上的投影.*4. 格點在直角坐標系中，各個坐標都是整數的點叫做格點（又稱整數點）.在數論中，有所謂格點估計問題.在直角坐標系中，如果一個多邊形的所有頂點都在格點上，這樣的多邊形叫做格點多邊形.特別是凸的格點多邊形，它是運籌學中的一個基本概念.*5. 間斷點我們通常把間斷點分成兩類：如果是函數的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把稱為函數的第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點

14、.*6. 拐點連續(xù)函數上，上凹弧與下凹弧的分界點稱為此曲線上的拐點.如果在區(qū)間內具有二階導數，我們可按下列步驟來判定的拐點.(1)求； (2)令，解出此方程在區(qū)間內實根；(3)對于(2)中解出的每一個實根，檢查在左、右兩側鄰近的符號，若符號相反，則此點是拐點，若相同，則不是拐點.*7.駐點曲線在它的極值點處的切線都平行于軸，即.這說明，可導函數的極值點一定是它的駐點(又稱穩(wěn)定點、臨界點)；但是，反之，可導函數的駐點，卻不一定是它的極值點.*8. 凹凸性定義在上的函數，如果滿足：對任意的都有，則稱是上的凸函數.定義在上的函數如果滿足：對任意的都有，則稱上的凹函數.【注】：一次函數的圖像（直線）既

15、是凸的又是凹的（上面不等式中的等號成立）.若曲線弧上每一點的切線都位于曲線的下方，則稱這段弧是凹的；若曲線弧上每一點的切線都位于曲線的上方，則稱這段弧是凸的.連續(xù)曲線凹與凸部分的分界點稱為曲線的拐點.B12. 了解幾個定理*1. 零點定理：設函數在閉區(qū)間上連續(xù)，且那么在開區(qū)間內至少有函數的一個零點，即至少有一點（）使*2. 介值定理：設函數在閉區(qū)間上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同函數值，那么對于之間任意的一個數，在開區(qū)間內至少有一點，使得（）*3. 夾逼定理：設當時，有，且，則必有 【注】：表示以為的極限，則就無限趨近于零（為最小整數）C、1012，思維拓展題，稍有難度，要在方法切入上著力C1.

16、線段的定比分點公式C 2. 抽象函數C 3.函數圖像的對稱性C4.幾個函數方程的周期(約定)C5.對稱性與周期性的關系C6.函數圖象的對稱軸和對稱中心舉例C7.函數周期性、對稱性與奇偶性的關系C8.關于奇偶性與單調性的關系.C 9.幾何體中數量運算導出結論數量運算結論涉及到幾何體的棱、側面、對角面、截面等數量關系及幾何性質.1.在長方體中：體對角線長為，外接球直徑；棱長總和為；全(表)面積為，體積；體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為則有cos2+cos2+cos2=1，sin2+sin2+sin2=2.體對角線與過同一頂點的三側面所成的角分別為則有cos2+cos2+cos2=2，si

17、n2+sin2+sin2=1.2. 在正三棱錐中：側棱長相等(側棱與底面所成角相等)頂點在底上射影為底面外心；側棱兩兩垂直(兩對對棱垂直)頂點在底上射影為底面垂心；斜高長相等(側面與底面所成角相等)且頂點在底上在底面內頂點在底上射影為底面內心.3.在正四面體中：設棱長為，則正四面體中的一些數量關系：全面積；體積；對棱間的距離；相鄰面所成二面角；外接球半徑；內切球半徑；正四面體內任一點到各面距離之和為定值.4.在立方體中：設正方體的棱長為，則體對角線長為，全面積為，體積，內切球半徑為,外接球半徑為,與十二條棱均相切的球半徑為,則,且C10.圓錐曲線幾何性質橢圓方程的第一定義：雙曲線的第一定義：圓

18、錐曲線的焦半徑公式如下圖：特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點弦的最值及其“頂點、焦點、準線等相互之間與坐標系無關的幾何性質”，尤其是雙曲線中焦半徑最值、焦點弦最值的特點.C11.函數圖像變換（主要有平移變換、翻折變換、對稱變換和伸縮變換等）.C 12. 借助圖象比較大小C 13.大小比較常用方法：作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果； 作商（常用于分數指數冪的代數式）；分析法；平方法；分子（或分母）有理化；利用函數的單調性；尋找中間量與“0”比，與“1”比或放縮法；圖像法.其中比較法（作差、作商）是最基本的方法.C 14.不定項填空題易誤知識點拾遺：(1)情況存在的“個數”

19、問題空間中到四面體的四個頂點距離都相等的平面?zhèn)€.（7個）；過直線外一點有個平面與該直線平行（無數個）；一直線與一平面斜交，則平面內有條直線與該直線平行.（0）；3條兩兩相交的直線可以確定個平面（1個或3個）；經過空間外一點，與兩條異面直線都平行的平面有條（0或1）；3個平面可以把空間分個部分.（4或6或7或8）；兩兩相交的4條直線最多可以確定個平面（6個）；兩異面直線成60，經過空間外一點與它們都成30（45，60，80）的直線有條.（1；2；3；4）；(2)平面與空間的“區(qū)分”問題1.錯誤的命題垂直于同一條直線的兩直線平行；平行于同一直線的兩平面平行；平行于同一平面的兩直線平行；過直線外一點

20、只有一條直線與已知直線垂直；兩個不同平面內的兩條直線叫做異面直線；一直線與一平面內無數條直線垂直，則該直線與這個平面垂直2.正確的命題平行于同一條直線的兩條直線平行；垂直于同一條直線的兩個平面平行；兩平面平行，若第三個平面與它們相交且有兩條交線，則兩直線平行；兩相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線垂直于第三個平面(3)易誤提點：是為鈍角的必要非充分條件.截距不一定大于零，可為負數，可為零；常常會是等式不成立的原因，模為0，方向和任意向量平行，卻不垂直；在導數不存在的點，函數也可能取得極值；導數為0的點不一定是極值點，一定要既考慮，又要考慮檢驗“左正右負”或“左負右正”；直線在坐標軸上的截

21、距可正、可負、也可為0.C15關于空間問題與平面問題的類比，通?？勺プ缀我氐娜缦聦P系作對比： 多面體 多邊形； 面 邊 體 積 面 積 ； 二面角 平面角 面 積 線段長； .D、1314，把關題，考點靈活/題型新穎/方法隱蔽D1.熟知幾個重要函數1.(1) 時，為“雙鉤函數”： 定義域：；值域為； 奇偶性：奇函數（有對稱中心）； 單調性：在區(qū)間上單調遞增；在區(qū)間上單調遞減. 極值：時取到極大值，時取到極小值. 記住的圖像的草圖. 不等式性質：時，；時， .(2) 時，在區(qū)間上為增函數.【思考】：圖像大致如何分布.(3)常用地，當時，的特殊性質略.【探究】：函數的圖像變化趨勢怎樣？的有

22、關性質.2.化簡為，定義域：；值域為的一切實數；奇偶性：不作討論；單調性：當時，在區(qū)間上單調遞增；當時，在區(qū)間上單調遞減.對稱中心是點； 兩漸近線：直線和直線；【注意】：兩條漸近線分別由分母為零和分子、分母中的系數確定.平移變換：可由反比例函數圖像經過平移得到； 反函數為；【說明】：分式函數與反比例函數，離心率均為，同源于雙曲線.3.三次函數圖像與性質初步*1.定義：形如的函數叫做三次函數. 定義域為,值域為.*2.解析式：一般式：；零點式：*3.單調性：【探究】：要嘗試研究一個陌生函數的一些性質，以往在研究二次函數問題時，我們需要考慮的因素：開口方向；對稱軸；端點值；與坐標軸交點；判別式；兩

23、根符號.在研究三角函數問題時，又采用過“五點”作圖法.那三次函數的圖像及性質，要從那里入手呢？再結合探究工具“導數”，我們不妨從函數圖像幾何特征角度，如零點、極值點、拐點、凹凸性、極值點區(qū)間等，確定研究的方向，把握三次函數的一些粗淺性質. 所以，導函數對稱軸.【注意】：拐點橫坐標所在處，也有可能是駐點所在處.（“極值判別式”，當判別式小于等于零時，無極值點）（一）若 令，由根與系數關系知：， 兩極值點：（1）當，約定，則拐點在軸左邊，極值點分布在軸左邊.根據零點的個數，嘗試做出如下圖像：（2）當，時，拐點在軸左邊，極值點分布在軸兩邊，且左極值點絕對值大于右極值點絕對值；（3）當，時，拐點在軸右

24、邊，極值點分布在軸右邊，且左極值點絕對值大于右極值點絕對值.圖略（4）當，時，拐點在軸右邊，極值點分布在軸兩邊，且左極值點絕對值小于右極值點絕對值.圖略（二）若由知：無極值點，拐點橫坐標仍為，所以圖像如右圖所示.（三）若 即時，在 R上恒成立， 即在為增函數. (-，)（，+)的符號 + 0 +的單調性 *4.極值： 函數在某點取得極值的充要條件是什么？等價表述，和單調性的聯(lián)系 (1)若，則在R上無極值； (2) 若，則在R上有兩個極值；且在處取得極大值，在處取得極小值.*5.零點個數(根的性質)函數的圖像與軸有幾個交點？和函數的哪些性質相聯(lián)系？（聯(lián)系函數的極值，進行等價轉化）一個交點：極大值

25、小于0，或者是極小值大于0.也可以表述為“極大值與極小值同號”；兩個交點：極大值等于零，或者極小值等于零；三個交點：極大值大于零，極小值小于零.D2.幾個重要圖像 1.（） 2.（） 3.（） 4.（）5. 6.D3.函數的零點處理：（1）的零點（不是點而是數）的根與軸的交點的橫坐標的交點問題.（2）注意討論周期函數（特別是三角函數）在某區(qū)間內零點個數問題.（3）零點存在定理：單調且端點值異號使.【說明】：1.方程在上有且只有一個實根，與不等價，前者是后者的一個必要而不是充分條件.特別地，方程有且只有一個實根在內，等價于，或且，或且.2.在上連續(xù)，且，則在上至少有一個零點（奇數個零點），可能有無數個零點.，在上可能無零點也可能有無數個零點.3.兩個相同