計(jì)算機(jī)視覺中的多視圖幾何第二章3D射影幾何和變換.ppt

1、3D射影幾何和變換,Page 2,點(diǎn)與直線,直線的齊次表示：ax+by+c=0 (a,b,c)看做矢量，(ka,kb,kc)也是矢量； 上述兩個(gè)矢量是等價(jià)的，因?yàn)橹徊钜粋€(gè)全局縮放因子，卻都表示相同的直線； 這種等價(jià)關(guān)系下的等價(jià)類叫做齊次矢量； 在IR中的矢量等價(jià)類的集合組成射影空間IP，(0,0,0)；,Page 3,點(diǎn)的齊次表示,表示：點(diǎn)，x=(x,y)；直線I=(a,b,c)； ax+by+c=0; 方法：把“1”作為增加在點(diǎn)中的最后一個(gè)坐 標(biāo)使IR變成一個(gè)齊次矢量； 充要條件：(x,y,1)與(a,b,c)的內(nèi)積是 ax+by+c=0； 通式：點(diǎn)的齊次表示為x=(x1,x2,x3) x=

2、(x1/x3,x2/x3)；,Page 4,理想點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)線,兩條平行線L1：ax+by+c=0 L2：ax+by+c=0 可以求得兩條直線的交點(diǎn)為（bc-bc,0,0） 這是點(diǎn)的齊次表示，當(dāng)我們用非其次點(diǎn)來表示時(shí)會(huì)出現(xiàn)bc-bc/0的問題，這就是說兩條線的交點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處,Page 5,理想點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)點(diǎn),IR是包含了那些在坐標(biāo)齊次表示下x3!=0的點(diǎn)，當(dāng)我們把x3=0的點(diǎn)與IR集合起來，形成IP，我們稱IP為射影空間。 X3=0的點(diǎn)叫理想點(diǎn),或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的集合是一條直線，即無窮遠(yuǎn)線。 I=（0,0,1）表示無窮遠(yuǎn)線 任意直線與無窮遠(yuǎn)線的交點(diǎn)都是(b,-a,0)，所以無窮遠(yuǎn)線可以看作是平

3、面上所有直線方向的集合,Page 6,點(diǎn)和射影變換 2D射影幾何中點(diǎn)的非齊次表示(X,Y)，齊次表示(X,Y,1).ax+by+c=0,矢量(a,b,c). 3D射影幾何中點(diǎn)X用齊次表示時(shí)需要一個(gè)4維矢量，齊次矢量X=(x1,x2,x3,x4),對(duì)應(yīng)非齊次坐標(biāo)(X,Y,Z),當(dāng)X=x1/x4, Y=x2/x4, Z=x3/x4。在x4=0時(shí)，齊次點(diǎn)X表示無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。,Page 7,平面、直線和二次曲面的表示和變換 直線公式：ax+by+c=0,矢量(a,b,c). 平面公式：1X+2Y+3Z+4=0,矢量(1,2,3,4). 齊次化, X=x1/x4, Y=x2/x4, Z=x3/x4. 得到1

4、x1+2x2+3x3+4x4=0 或簡記為X=0.表示點(diǎn)X在上.,Page 8,聯(lián)合與關(guān)聯(lián)關(guān)系 (1)平面可由一般位置的三個(gè)點(diǎn)或一條直線與一個(gè)點(diǎn)的聯(lián)合來唯一確定 (2)兩張不同的平面交于唯一的直線 (3)三張不同的平面相較于一點(diǎn),Page 9,三點(diǎn)確定一張平面 (1)設(shè)三點(diǎn)Xi在平面上,那么每點(diǎn)滿足X=0 x1 1 x2 =0 2 x=0 x3 3 因?yàn)橐话阄恢?，所以它們線性無關(guān) (2)矩陣M=X,X1,X2,X3,它由一般位置的點(diǎn)X和確定平面的三點(diǎn)Xi組成.當(dāng)X在上時(shí)，IMI=0 因?yàn)槿c(diǎn)確定一個(gè)平面，再多一點(diǎn)，肯定可以用X1,X2,X3線性表示，所以不是滿秩的。 IMI=X1D234-X2

5、D134+X3D124-X4D123 =(D234,D134,D124,D123)是(1)的解矢量,零空間,Page 10,射影變換 在點(diǎn)變換X=HX下，平面變換為=H 平面上的點(diǎn)的參數(shù)表示 在平面上的點(diǎn)X可以寫成X=Mx 其中M是4*3矩陣，設(shè)平面=(a,b,c,d) 且a非零，那么M可以寫成M=PII3*3，其中p=(-b/a,-c/a,-d/a),Page 11,直線的表示 兩點(diǎn)的連線或兩平面的相交定義一條直線，每個(gè)交點(diǎn)由兩個(gè)參數(shù)確定，兩個(gè)交點(diǎn)有四個(gè)參數(shù)，故有四個(gè)自由度.問題，4個(gè)自由度得5個(gè)變量表示。 (1)零空間與生成子空間表示,Page 12,(2)Plucker矩陣 將一條直線由

6、4*4的反對(duì)稱齊次矩陣表示，連接兩點(diǎn)A,B的直線L的矢量表示：L=AB-BA L有若干如下性質(zhì)： 1、L的秩為2 2、該表示具有描述一條直線所需要的4個(gè)自由度，6-2 3、矩陣L與用來確定它的點(diǎn)A,B無關(guān),C=A+aB代替時(shí),那么得到的矩陣是 L=AC-CA=A(A+aB)-(A+aB)A= AB-BA=L,Page 13,設(shè)A,B分別是原點(diǎn)和X-方向的理想點(diǎn) L=(0,0,0,1)(1,0,0,0)-(1,0,0,0)(0,0,0,1) =4行4列的矩陣反對(duì)稱矩陣，左下角1 由兩平面P,Q的交線確定的直線的對(duì)偶Plucker表示為L*=PQ-QP并與L有相似的性質(zhì)。在點(diǎn)變換下，L*=HL*H

7、,矩陣L*可由L通過簡單的重寫規(guī)則得到： l12:l13:l14:l23:l42:l34=l*34:l*42:l*23:l*14:l*13:l*12 對(duì)偶的原則是1234的集合,Page 14,Plucker直線坐標(biāo) (1)是Plucker反對(duì)乘矩陣的六個(gè)非零元素的集合，即l=l12,l13,l14,l23,l42,l34 l的行列式值為0，故有l(wèi)12*l34+l13*l42+l14*l23=0 (2)假定兩條直線l1和l2分別由連接A,B和連接A1，B1所產(chǎn)生的，這些直線相交的充要條件是四點(diǎn)共面，所以行列式值為零,即IA,B,A1,B1I=0.,Page 15,二次曲面與對(duì)偶二次曲面 XQX

8、=0，X是點(diǎn)，Q是4*4的對(duì)稱矩陣。 二次曲面的分類 二次曲面的矩陣Q是對(duì)稱的，它可以分解為 Q=UDU,U是正交矩陣，D是實(shí)對(duì)角矩陣，通過 對(duì)U的縮放，可以得到Q=HDH,則D等價(jià)于矩陣 H進(jìn)行了射影變換。令對(duì)角矩陣符號(hào)差(D),定義 為D中+1與-1個(gè)數(shù)的差值。如表,Page 16,秩 對(duì)角線 方程 實(shí)現(xiàn) 4 4 (1,1,1,1) X+Y+Z+1=0 無實(shí)點(diǎn) 2 (1,1,1,-1) X+Y+Z=1 球面 0 (1,1,-1,-1) X+Y=Z+1 單葉雙曲面 3 3 (1,1,1,0) X+Y+Z=0 點(diǎn)(0,0,0,1) 1 (1,1,-1,0) X+Y=Z 過原點(diǎn)的圓錐 2 2 (

9、1,1,0,0) X+Y=0 單條直線(Z軸) 0 (1,-1,0,0) X=Y 兩平面X=+-Y 1 1 (1,0,0,0) X=0 平面X=0 三次繞線,Page 17,變換的層次 群 矩陣 失真 變換性質(zhì) 射影 h11 h12 h13 仿射變換的推廣 h21 h22 h23 h31 h32 h33 仿射 a11 a12 tx 平移+旋轉(zhuǎn) a21 a22 ty 非均勻縮放 0 0 1 相似 sr11 sr12 tx 平移+旋轉(zhuǎn) sr21 sr22 ty 均勻縮放 0 0 1 歐式 r11 r12 tx 平移+旋轉(zhuǎn) r21 r22 ty 0 0 1,Page 18,變換的層次 群 矩陣 失真

10、 不變性質(zhì) 射影 A t 接觸表面 15dof v v 的相交和相切 仿射 A t 平面的平行 12dof 0 1 體積比，形心 相似 sR t 絕對(duì)二次曲線 7dof 0 1 歐式 R t 體積 6dof 0 1 A是3*3的可逆矩陣，R是3D旋轉(zhuǎn)，t是平移,Page 19,移動(dòng)分解 結(jié)論2.6 任何具體的平移加旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)都等價(jià)于繞一根轉(zhuǎn)動(dòng)軸的旋轉(zhuǎn)加沿該轉(zhuǎn)動(dòng)軸的平移,0,0,x,y,y,x,s,Page 20,3D歐式運(yùn)動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)分解,轉(zhuǎn)動(dòng)軸,a,o,o,s,t,o,o,s,s,轉(zhuǎn)動(dòng)軸,o垂直,t平行,Page 21,無窮遠(yuǎn)平面 (1)在平面射影幾何中，辨認(rèn)無窮遠(yuǎn)線就能測量平面的仿射性質(zhì)，辨認(rèn)其虛原點(diǎn)就能測量其度量性質(zhì)： 兩張平面相平行的充要條件是他們的交線在上 如果一條直線與另一條直線或一張平面相交在上，則他們平行 (2)在射影變換H下，無窮遠(yuǎn)平面是不動(dòng)平面的充要條件是H是一個(gè)仿射變換（類似于P20無窮遠(yuǎn)線的推導(dǎo)） 在放射變換下平面是整個(gè)集合不動(dòng)，而不是點(diǎn)點(diǎn)不動(dòng) 在某個(gè)具體的放射變換中，可能還存在除外的某些平面保持不動(dòng)，但僅有在任何仿射變換下保持不變,Page 22,絕對(duì)二次曲線 (1)絕對(duì)二次曲線是在上的一條二次曲線，滿足 X1+X2+