第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析法.ppt

1、1,第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析法,頻率特性法是經(jīng)典控制理論中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析與綜合的又一重要方法。 與時(shí)域分析法和根軌跡法不同。頻率特性法不是根據(jù)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)來(lái)分析系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)，而是根據(jù)系統(tǒng)對(duì)正弦信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，即系統(tǒng)的頻率特性來(lái)分析系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)。 因此，從某種意義上講，頻率特性法與時(shí)域分析法和根軌跡法有著本質(zhì)的不同。,頻率特性雖然是系統(tǒng)對(duì)正弦信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，但它不僅能反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，而且可以用來(lái)研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能。,2,頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)之間有著內(nèi)在的聯(lián)系。通過(guò)這種內(nèi)在聯(lián)系，可以由系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)求出時(shí)域性能指標(biāo)或反之。因此，頻率特性法與時(shí)域分析法和根

2、軌跡法又是統(tǒng)一的。,應(yīng)用時(shí)域分析法和根軌跡法分析系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)先知道系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，而頻率特性法既可以根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)采用解析的方法得到系統(tǒng)的頻率特性，也可以用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)出穩(wěn)定系統(tǒng)或元件的頻率特性。,3,本章將介紹頻率特性的基本概念，典型環(huán)節(jié)和系統(tǒng)的頻率特性的極坐標(biāo)圖和伯德圖，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)之間的關(guān)系等。,實(shí)驗(yàn)法對(duì)于那些不知道其內(nèi)部結(jié)構(gòu)和傳遞函數(shù)的系統(tǒng)，或難于用分析方法列寫動(dòng)態(tài)方程的系統(tǒng)或環(huán)節(jié)是很有用的。,4,第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析,5-1 頻率特性的基本概念 5-2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性 5-3 開環(huán)頻率特性分析 5-4 頻域穩(wěn)定性判據(jù) 5-5 控制系

3、統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 5-6 閉環(huán)頻率特性 5-7 頻域響應(yīng)和時(shí)域響應(yīng)之間的關(guān)系,5,5-1頻率特性的基本概念,討論線性定常系統(tǒng)（包括開環(huán)、閉環(huán)系統(tǒng)）在正弦輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出。設(shè)圖5-1所示的線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:,其輸入信號(hào)為:,6,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)通?？梢詫懗?,由此得到輸出信號(hào)的拉氏變換:,則輸入信號(hào)的拉氏變換是:,7,對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換得到系統(tǒng)的輸出為:,對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng),s1,s2,.sn都具有負(fù)實(shí)部，當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮大時(shí)，上式的暫態(tài)分量將衰減至零。因此系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為:,其中待定系數(shù)b和可按下式計(jì)算:,(5-6),(5-7),(5-8),(5-9),8,G(j)是一個(gè)復(fù)數(shù)，用模和幅角

4、可表示為:,同樣，G(-j)可以表示為:,將式(5-8)(5-9）以及式(5-10)(5-12)代入式(5-7)可得:,9,或:,稱為系統(tǒng)的頻率特性，它反映了在正弦輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入正弦信號(hào)的關(guān)系。,式中: 為穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)的幅值。,上式表明，線性定常系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然是與正弦輸入信號(hào)同頻率的正弦信號(hào)；,輸出信號(hào)的振幅是輸入信號(hào)振幅的|G(jw)|倍；,輸出信號(hào)相對(duì)輸入信號(hào)的相移為 ；,輸出信號(hào)的振幅及相移都是角頻率的函數(shù)。,10,其中:,稱為系統(tǒng)的幅頻特性，它反映系統(tǒng)在不同頻率正弦信號(hào)作用下，輸出穩(wěn)態(tài)幅值與輸入信號(hào)幅值的比值，即系統(tǒng)的放大（或衰減）特性。,稱為系

5、統(tǒng)的相頻特性，它反映系統(tǒng)在不同頻率正弦信號(hào)的作用下，輸出信號(hào)相對(duì)輸入信號(hào)的相移。系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性統(tǒng)稱為系統(tǒng)的頻率特性。,(5-16),(5-17),11,獲取系統(tǒng)頻率特性的途徑有兩個(gè):,一、解析法當(dāng)已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí)，用代入傳遞函數(shù)可得到系統(tǒng)的頻率特性G(j)。因此，頻率特性是特定情況下的傳遞函數(shù)。它和傳遞函數(shù)一樣，反映了系統(tǒng)的內(nèi)在聯(lián)系。這種通過(guò)傳遞函數(shù)確定頻率特性的方法是求取頻率特性的解析法。,二、實(shí)驗(yàn)法當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)建立，尚不知道其內(nèi)部結(jié)構(gòu)或傳遞函數(shù)時(shí)，在系統(tǒng)的輸入端輸入一正弦信號(hào)X(t)=XSint ，測(cè)出不同頻率時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的振幅Y和相移，便可得到它的幅頻特性 和相頻特性 。這

6、種通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定系統(tǒng)頻率特性的方法是求取頻率特性的實(shí)驗(yàn)法。,12,自動(dòng)控制系統(tǒng)通常由若干環(huán)節(jié)構(gòu)成，根據(jù)它們的基本特性，可劃分成幾種典型環(huán)節(jié)。本節(jié)將介紹典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制方法，主要介紹應(yīng)用較為廣泛的極坐標(biāo)圖和伯德圖。,一、典型環(huán)節(jié)的幅相特性曲線（極坐標(biāo)圖）,以角頻率為參變量，根據(jù)系統(tǒng)的幅頻特性 和相頻特性 在復(fù)平面 上繪制出的頻率特性叫做幅相特性曲線或頻率特性的極坐標(biāo)圖。它是當(dāng)角頻率從0到無(wú)窮變化時(shí)，矢量 的矢端GH 在平面上描繪出的曲線。曲線是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的。,5-2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性,13,放大環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為:,其對(duì)應(yīng)的頻率特性是:,其幅頻特性和相頻特性分別為:,頻率特性如圖5-2所示

7、。,由圖5-2可看出放大環(huán)節(jié)的幅頻特性為常數(shù)K，相頻特性等于零度，它們都與頻率無(wú)關(guān)。理想的放大環(huán)節(jié)能夠無(wú)失真和無(wú)滯后地復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)。,（一）放大環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)）,14,（二）積分環(huán)節(jié),積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為:,(5-22),其對(duì)應(yīng)的頻率特性是:,(5-23),幅頻特性和相頻特性分別為:,頻率特性如圖5-3所示。由圖可看出，積分環(huán)節(jié)的相頻特性等于-900 ，與角頻率無(wú)關(guān).,圖5-3 積分環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng),15,（三）慣性環(huán)節(jié),慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為:,其對(duì)應(yīng)的頻率特性是:,幅頻特性和相頻特性分別是:,表明積分環(huán)節(jié)對(duì)正弦輸入信號(hào)有900的滯后作用； 其幅頻特性等于1/，是的函數(shù)，當(dāng)由零變到無(wú)窮大時(shí)，輸出

8、幅值則由無(wú)窮大衰減至零。 在G(j)平面上，積分環(huán)節(jié)的頻率特性與負(fù)虛軸重合。,(5-29),16,(5-29),當(dāng)由零至無(wú)窮大變化時(shí)，慣性環(huán)節(jié)的頻率特性在G(j)平面上是正實(shí)軸下方的半個(gè)圓周，證明如下：,令:,(5-30),(5-31),17,天天臺(tái),在低頻范圍內(nèi)，對(duì)輸入信號(hào)的幅值衰減較小，滯后相移也小，在高頻范圍內(nèi)，幅值衰減較大，滯后相角也大，最大滯后相角為900。,慣性環(huán)節(jié)是一個(gè)低通濾波環(huán)節(jié)和相位滯后環(huán)節(jié)。,這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓方程，其圓心坐標(biāo)是 ，半徑為 。,且當(dāng)由 時(shí)， 由 ，說(shuō)明慣性環(huán)節(jié)的頻率特性 在平面上是實(shí)軸下方半個(gè)圓周，如圖5-4所示。,(5-32),(5-33),則有:,18,推廣

9、：當(dāng)慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的分子是常數(shù)K時(shí)，即G(j)=k/(jT+1)時(shí)，其頻率特性是圓心為:k/2,0，半徑為k/2的實(shí)軸下方半個(gè)圓周。,(四）振蕩環(huán)節(jié),振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)是:,其頻率特性是:,幅頻特性和相頻特性分別為:,圖5-4 慣性環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng),(5-34),(5-35),19,振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性和相頻特性均與阻尼比有關(guān)，不同阻尼比的頻率特性曲線如圖所示。,當(dāng)阻尼比較小時(shí)，會(huì)產(chǎn)生諧振，諧振峰值Mr(Mr1)和諧振頻率r由幅頻特性的極值方程解出。,20,其中 稱為振蕩環(huán)節(jié)的無(wú)阻尼自然振蕩頻率，它是振蕩環(huán)節(jié)頻率特性曲線與虛軸的交點(diǎn)處的頻率。,圖5-5 振蕩環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng),將r代入|G(j)|

10、得到諧振峰值Mr為:,(5-40),將r代入G(j) 得到 諧振相移,為:,21,當(dāng)阻尼比 時(shí)，此時(shí)振蕩環(huán)節(jié)可等效成兩個(gè)不同時(shí)間常數(shù)的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，即:,T1,T2為一大一小兩個(gè)不同的時(shí)間常數(shù)，小時(shí)間常數(shù)對(duì)應(yīng)的負(fù)實(shí)極點(diǎn)離虛軸較遠(yuǎn)，對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)的影響較小。,圖5-6 振蕩環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng),振蕩環(huán)節(jié)的幅值特性曲線如圖5-6所示。,在 的范圍內(nèi)，隨著的增加， 緩慢增大;,當(dāng) 時(shí)，達(dá)到最大值；當(dāng) 時(shí)，輸出幅值衰減很快。,22,振蕩環(huán)節(jié)為相位滯后環(huán)節(jié)，最大滯后相角是 。,（五）一階微分環(huán)節(jié),典型一階微分環(huán)節(jié)的傳函數(shù)為:,其中為微分時(shí)間常數(shù)、1為比例項(xiàng)因子，嚴(yán)格地說(shuō)，由式（5-43）表示的是一階比例微分環(huán)節(jié)

11、的傳遞函數(shù)，由于實(shí)際的物理系統(tǒng)中理想微分環(huán)節(jié)或純微分環(huán)節(jié)（即不含比例項(xiàng)）是不存在的，因此用比例微分環(huán)節(jié)作為一階微分環(huán)節(jié)的典型形式。,23,頻率特性如圖5-7所示。它是一條過(guò)點(diǎn)(1,j0)與實(shí)軸垂直相交且位于實(shí)軸上方的直線。純微分環(huán)節(jié)的頻率特性與正虛軸重合。,圖5-7 一階微分環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng),(5-44),24,（六）二階微分環(huán)節(jié),二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為:,其對(duì)應(yīng)的頻率特性是:,幅頻特性和相頻特性分別為:,(5-47),(5-48),(5-49),(5-50),25,二階微分環(huán)節(jié)頻率特性曲線如圖5-8所示，它是一個(gè)相位超前環(huán)節(jié)，最大超前相角為 。,（七）不穩(wěn)定環(huán)節(jié),不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為:,不

12、穩(wěn)定環(huán)節(jié)有一個(gè)正實(shí)極點(diǎn)， 對(duì)應(yīng)的頻率特性是:,圖5-8 二階微分環(huán)節(jié)頻率特性圖,(5-51),(5-52),26,幅頻特性和相頻特性分別為:,不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的頻率特性如圖5-9。比較圖5-4可知，它與慣性環(huán)節(jié)的頻率特性相比，是以平面的虛軸為對(duì)稱的。,圖59不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的頻率特性,(5-53),(5-54),圖5-4 慣性環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng),27,（八）滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為:,其對(duì)應(yīng)的頻率特性是:,幅頻特性和相頻特性分別為:,如圖5-10所示，滯后環(huán)節(jié)的頻率特性在平面上是一個(gè)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的單位圓。,圖5-10 滯后環(huán)節(jié)頻率特性圖,28,總結(jié)：各環(huán)節(jié)的頻率特性,29,總結(jié)：各環(huán)節(jié)的極坐

13、標(biāo)圖,30,二、典型環(huán)節(jié)頻率特性的伯德圖,伯德（Bode）圖又叫對(duì)數(shù)頻率特性曲線，它是將幅頻特性和相頻特性分別繪制在兩個(gè)不同的坐標(biāo)平面上，前者叫對(duì)數(shù)幅頻特性，后者叫對(duì)數(shù)相頻特性。,兩個(gè)坐標(biāo)平面橫軸(軸)用對(duì)數(shù)分度，對(duì)數(shù)幅頻特性的縱軸用線性分度，它表示幅值的分貝數(shù)， 即L()=20lg|G(j)|(dB)；對(duì)數(shù)相頻特性的縱軸也是線性分度，它表示相角的度數(shù)，即()=G(j)(度)。,通常將這兩個(gè)圖形上下放置（幅頻特性在上，相頻特性在下），且將縱軸對(duì)齊，便于求出同一頻率的幅值和相角的大小，同時(shí)為求取系統(tǒng)相角裕度帶來(lái)方便。,31,幅頻特性,相頻特性,32,用伯德圖分析系統(tǒng)有如下優(yōu)點(diǎn)：,（1）將幅頻特性

14、和相頻特性分別作圖，使系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的幅值和相角與頻率之間的關(guān)系更加清晰；,(2）幅值用分貝數(shù)表示，可將串聯(lián)環(huán)節(jié)的幅值相乘變?yōu)橄嗉舆\(yùn)算，可簡(jiǎn)化計(jì)算；,（3）用漸近線表示幅頻特性，使作圖更為簡(jiǎn)單方便；,（4）橫軸（軸）用對(duì)數(shù)分度，擴(kuò)展了低頻段，同時(shí)也兼顧了中、高頻段，有利于系統(tǒng)的分析與綜合。,33,（一）放大環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)）,放大環(huán)節(jié)的頻率特性為:,其幅頻特性是:,對(duì)數(shù)幅頻特性為:,(5-59),(5-60),(5-61),34,放大環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性如圖5-11所示，它是一條與角頻率無(wú)關(guān)且平行于橫軸的直線，其縱坐標(biāo)為20lgK。,當(dāng)有n個(gè)放大環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，即:,幅值的總分貝數(shù)為:,放大環(huán)節(jié)的相頻

15、特性是:,如圖5-11所示，它是一條與角頻率無(wú)關(guān)且與軸重合的直線。,(5-62),(5-63),(5-64),35,（二）積分環(huán)節(jié),積分環(huán)節(jié)的頻率特性是:,其幅頻特性為:,對(duì)數(shù)幅頻特性是:,(5-65),(5-66),(5-67),36,設(shè) ，則有:,可見，其對(duì)數(shù)幅頻特性是一條在=1（弧度/秒）處穿過(guò)零分貝線（軸），且以每增加十倍頻率降低20分貝的速度（-20dB/dec）變化的直線。,積分環(huán)節(jié)的相頻特性是:,是一條與無(wú)關(guān)，值為-900 且平行于軸的直線。積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性如圖5-12所示。,(5-68),(5-69),37,其對(duì)數(shù)幅頻特性為:,是一條斜率為-n20dB/dec，

16、且在=1（弧度/秒）處過(guò)零分貝線（軸）的直線。,圖5-13 兩個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)的Bode圖,(5-71),(5-72),相頻特性是一條與無(wú)關(guān)，值為-n900 且與軸平行的直線。兩個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)的Bode圖如圖5-13所示。,38,（三）慣性環(huán)節(jié),慣性環(huán)節(jié)的頻率特性是:,其對(duì)數(shù)幅頻特性是:,兩條直線在 處相交， 稱為轉(zhuǎn)折頻率，由這兩條直線構(gòu)成的折線稱為對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線。如圖5-14所示。,(5-73),(5-74),39,很明顯，距離轉(zhuǎn)折頻率 愈遠(yuǎn) , 愈能滿足近似條件，用漸近線表示對(duì)數(shù)幅頻特性的精度就愈高；反之，距離轉(zhuǎn)折頻率愈近，漸近線的誤差愈大。 等于轉(zhuǎn)折頻率 時(shí)，誤差最大，最大誤差為:,

17、40,時(shí)的誤差是:,時(shí)的誤差是:,誤差曲線對(duì)稱于轉(zhuǎn)折頻率 ，如圖5-15所示。由圖5-15可知，慣性環(huán)節(jié)漸近線特性與精確特性的誤差主要在交接頻率 上下十倍頻程范圍內(nèi)。轉(zhuǎn)折頻率十倍頻以上的誤差極小，可忽略。經(jīng)過(guò)修正后的精確對(duì)數(shù)幅頻特性如圖5-14所示。,41,慣性環(huán)節(jié)的相頻特性為:,對(duì)應(yīng)的相頻特性曲線如圖5-14所示。它是一條由 至 范圍內(nèi)變化的反正切函數(shù)曲線，且以 和 的交點(diǎn)為斜對(duì)稱.,42,（四）一階微分環(huán)節(jié),一階微分環(huán)節(jié)頻率特性為:,其對(duì)數(shù)幅頻特性是:,一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性如圖5-16所示，漸近線的轉(zhuǎn)折頻率為 ，轉(zhuǎn)折頻率處漸近特性與精確特性的誤差為 ，其誤差均為正分貝數(shù)，誤差范圍與慣

18、性環(huán)節(jié)類似。,43,比較圖5-16和5-14，可知，一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性是以橫軸（軸）為對(duì)稱的。,圖5-16 一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖,一階微分環(huán)節(jié)的相頻特性如圖5-16 所示，相角變化范圍是00至900，轉(zhuǎn)折頻率1/T處的相角為450。,44,（五）振蕩環(huán)節(jié),振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性是:,其對(duì)數(shù)幅頻特性為:,漸近線的第一段折線與零分貝線（軸）重合，對(duì)應(yīng)的頻率范圍是0至 ；第二段折線的起點(diǎn)在 處，是一條斜率為-40（dB/dec）的直線，對(duì)應(yīng)的頻率范圍是 至。兩段折線構(gòu)成振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線，它們的轉(zhuǎn)折頻率為 。對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的漸近線如圖5-17所示。,(5-79

19、),(5-80),45,漸近線與精確對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的誤差分析如下：,當(dāng) 時(shí)， ，它是阻尼比的函數(shù)；當(dāng)=1時(shí)為-6（dB）; 當(dāng)=0.5時(shí)為0(dB); 當(dāng)=0.25時(shí)為+6(dB)；誤差曲線如圖5-18所示。,圖5-17 振蕩環(huán)節(jié)漸進(jìn)線對(duì)數(shù)幅頻特性,圖5-18 振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性誤差修正曲線,46,由圖知，振蕩環(huán)節(jié)的誤差可正可負(fù)，它們是阻尼比的函數(shù)，且以 的轉(zhuǎn)折頻率為對(duì)稱，距離轉(zhuǎn)折頻率愈遠(yuǎn)誤差愈小。通常大于（或小于）十倍轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，誤差可忽略不計(jì)。經(jīng)過(guò)修正后的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖5-19所示。,由圖5-19可看出，振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性在轉(zhuǎn)折頻率 附近產(chǎn)生諧振峰值，這是該環(huán)節(jié)固有振蕩性能在

20、頻率特性上的反映。前面已經(jīng)分析過(guò)，諧振頻率r和諧振峰Mr分別為:,圖5-19 振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻率特性圖,47,其中 稱為振蕩環(huán)節(jié)的無(wú)阻尼（=0）自然振蕩頻率，它也是漸近線的轉(zhuǎn)折頻率。由式（5-81）可知，當(dāng)阻尼比愈小諧振頻率r愈接近無(wú)阻尼自然振蕩頻率n，當(dāng)=0時(shí)，r=n,振蕩環(huán)節(jié)的相頻特性是:,(5-81),(5-82),(5-83),48,除上面三種特殊情況外，振蕩環(huán)節(jié)相頻特性還是阻尼比的函數(shù)，隨阻尼比變化，相頻特性在轉(zhuǎn)折頻率 附近的變化速率也發(fā)生變化，阻尼比越小，變化速率越大，反之愈小。但這種變化不影響整個(gè)相頻特性的大致形狀。不同阻尼比的相頻特性如圖5-20 所示。,圖5-20 振蕩環(huán)節(jié)對(duì)

21、數(shù)相頻特性圖,49,（六）二階微分環(huán)節(jié),二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性是：,其對(duì)數(shù)幅頻特性是：,相頻特性是：,二階微分環(huán)節(jié)與振蕩節(jié)的Bode圖關(guān)于軸對(duì)稱，如圖5-21。漸近線的轉(zhuǎn)折頻率為，相角變化范圍是00至+1800。,圖5-21 二階微分環(huán)節(jié)的Bode圖,50,（七）不穩(wěn)定環(huán)節(jié),不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的頻率特性是:,其對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為:,其對(duì)數(shù)幅頻特性與慣性環(huán)節(jié)相同；相頻特性與慣性環(huán)節(jié)相比是以 為對(duì)稱，相角的變化范圍是 至 。Bode如圖5-22所示,圖5-22 不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的Bode圖,51,(八）滯后環(huán)節(jié),滯后環(huán)節(jié)的頻率特性是:,滯后環(huán)節(jié)伯德圖如圖5-23所示。其對(duì)數(shù)幅頻特性與無(wú)關(guān)，是一條與

22、軸重合的零分貝線。滯后相角由式（5-92）計(jì)算，分別與滯后時(shí)間常數(shù)和角頻率成正比。,其對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為:,圖5-23 滯后環(huán)節(jié)的Bode圖,52,總結(jié)：各環(huán)節(jié)的頻率特性,L()=20lg|G(j)|(dB) 從0變化,()=G(j)(度) 從0變化,對(duì)數(shù)幅頻特性:,相頻特性:,53,總結(jié)：各環(huán)節(jié)的BOde圖,54,總結(jié)：各環(huán)節(jié)的BOde圖,55,5-3開環(huán)頻率特性分析,系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性在系統(tǒng)的分析與綜合中有很重要的意義，本節(jié)將通過(guò)一些示例介紹系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性（包括它的極坐標(biāo)和伯德圖）的繪制方法和步驟。,自動(dòng)控制系統(tǒng)通常由若干環(huán)節(jié)組成，根據(jù)它們的基本特性，可以把系統(tǒng)分解成一些典型

23、環(huán)節(jié)的串聯(lián)，再按照串聯(lián)的規(guī)律將這些典型環(huán)節(jié)的頻率特性組合起來(lái)得到整個(gè)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。因此，將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分解成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式是繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的基本步驟。,56,一、繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖的步驟,1.將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)分解成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式；,2.典型環(huán)節(jié)幅頻特性相乘得到系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性;,3.典型環(huán)節(jié)相頻特性相加得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性；,4.如幅頻特性有漸近線，則根據(jù)開環(huán)頻率特性表達(dá)式的實(shí)部和虛部，求出漸近線；,5.最后在G(j)H(j)平面上繪制出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖。,57,二、繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性伯德圖的步驟,1.將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成典型環(huán)節(jié)乘

24、積（即串聯(lián)）的形式；,2.如果存在轉(zhuǎn)折頻率，在軸上標(biāo)出轉(zhuǎn)折頻率的坐標(biāo)位置；,3.由各串聯(lián)環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性疊加后得到系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線；,4.修正誤差，畫出比較精確的對(duì)數(shù)幅頻特性；,5.畫出各串聯(lián)典型環(huán)節(jié)相頻特性，將它們相加后得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性。,58,例5-1已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:,它由一個(gè)放大環(huán)節(jié)和兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，其對(duì)應(yīng)的頻率特性是:,幅頻特性和相頻特性分別為:,59,（1）極坐標(biāo)圖,60,（2)伯德圖,（a）對(duì)數(shù)幅頻特性,由開環(huán)傳遞函數(shù)知，對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線有兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率,在縱坐標(biāo)上找到20lgK的點(diǎn)A，過(guò)A點(diǎn)作平行于橫軸的直線AB，這條平行線對(duì)應(yīng)放大環(huán)節(jié)的幅頻特

25、性；,和 ，且 ，將它們?cè)谳S上標(biāo)出（圖5-25）；,在轉(zhuǎn)折頻率 處作軸的垂線（虛線）交平行線AB于B點(diǎn)，以B為起點(diǎn)作斜率為-20dB/dec的斜線BC，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)折頻率 ，折線ABC對(duì)應(yīng)放大環(huán)節(jié)K和慣性環(huán)節(jié)的 疊加；,圖5-25 開環(huán)系統(tǒng)Bode圖,61,以C為起點(diǎn)，作斜率為-40dB/dec的斜線CD，折線ABCD即為系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線。,（b）對(duì)數(shù)相頻特性,在圖5-25上分別畫出三個(gè)環(huán)節(jié)的相頻特性曲線，（1）為放大環(huán)節(jié)，（2）為慣性環(huán)節(jié)1和（3）為慣性環(huán)節(jié)2 ，然后將它們?cè)诳v軸方向上相加得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性曲線（4）。,例5-2試?yán)L制傳遞函數(shù)為:,的對(duì)數(shù)幅頻特性。,(5-93),

26、(5-94),62,解：有n個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)，對(duì)數(shù)幅頻特性應(yīng)是一條過(guò)橫軸上=1且斜率為-n20dB/dec的直線。 式(5-93）和（5-94 ）中分別含有一個(gè)和兩個(gè)積分環(huán)節(jié)（串聯(lián)），當(dāng)不考慮KV和Ka的影響時(shí)，它們的對(duì)數(shù)幅頻特性應(yīng)是過(guò)=1 且斜率分別為-0dB/dec和-40dB/dec的直線，如圖5-26和圖5-27中虛線所示。 考慮到KV和Ka的作用，上述兩條直線應(yīng)分別在縱軸方向上平移20lgKv和20lgKa分貝（如圖中實(shí)線所示），即=1所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值應(yīng)分別為20lgKv和20lgKa分貝。設(shè)對(duì)數(shù)幅頻特性與零分貝線（橫軸）的交點(diǎn)頻率值分別為v和a，則有:,和:,(5-93),(5-94)

27、,63,由上面兩式分別得到:,通過(guò)上面的分析，在繪制傳遞函數(shù)為式（5-93）和（5-94）的對(duì)數(shù)幅頻特性時(shí)，可用下述兩種方法之一進(jìn)行。,(5-93),(5-94),64,方法一：對(duì)于式（5-93），先過(guò)橫軸上=1點(diǎn)作橫軸的垂直線，過(guò)縱軸上20lgKv點(diǎn)作橫軸的平行線，這兩條直線交于A點(diǎn)，然后過(guò)A點(diǎn)作斜率為-20dB/dec的直線即為所求的對(duì)數(shù)幅頻特性（圖5-26）；對(duì)于式（5-94），過(guò)橫軸上=1點(diǎn)作橫軸的垂線過(guò)縱軸上20lgKa 點(diǎn)作橫軸的平行線，這兩條直線交于A點(diǎn)，然后過(guò)A點(diǎn)作斜率為-40dB/dec的直線即為所求的對(duì)數(shù)幅頻特性（圖5-27）。,方法二：對(duì)于式（5-93），先根據(jù)式（5-9

28、7）在橫軸上找到頻率為V點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作斜率為-20dB/dec的直線即為所求的對(duì)數(shù)幅頻特性（圖5-26）；對(duì)于式（5-94），根據(jù)式（5-98）在橫軸上找到頻率為a的點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作斜率為-40dB/dec的直線即為所求的對(duì)數(shù)幅頻特性（圖5-27）。,(5-93),(5-94),65,反之，通過(guò)對(duì)數(shù)幅頻特性，也可以用上述兩種方法的逆過(guò)程，求出式（5-93）和式（5-94）中的開環(huán)放大系數(shù)Kv和Ka。,對(duì)于含有一個(gè)或兩個(gè)積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)（含有兩個(gè)以上積分環(huán)節(jié)的實(shí)際系統(tǒng)很少見），由于頻率特性的低頻段形狀主要由積分環(huán)節(jié)決定，因此，在繪制其對(duì)數(shù)幅頻特性或通過(guò)對(duì)數(shù)幅頻特性求系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)時(shí)，可用上述兩種方法

29、中的一個(gè)進(jìn)行。這在下面的示例中將得到進(jìn)一步應(yīng)用。,66,例5-3 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試?yán)L制該系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖和伯德圖。,解:系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成:,它由一個(gè)放大環(huán)節(jié)、一個(gè)積分環(huán)節(jié)和一個(gè)振蕩環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，對(duì)應(yīng)的頻率特性表達(dá)式為:,67,（1）極坐標(biāo)圖,由于系統(tǒng)含有一積分環(huán)節(jié)，當(dāng)0時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性|G(j)H(j)|。為使頻率特性曲線比較精確，還須求出它的漸近線。由系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性可得:,當(dāng)0時(shí)有:,即漸近線是一條與實(shí)軸交點(diǎn)為2KvT且垂直于實(shí)軸的直線，圖5-28繪制出該系統(tǒng)在不同阻尼比的漸近線（虛線) 及對(duì)應(yīng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖。,68,圖528 例53極坐標(biāo)圖,

30、69,（2）伯德圖,（a）對(duì)數(shù)幅頻特性,由開環(huán)頻率特性表達(dá)式知，對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線有一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率（對(duì)應(yīng)振蕩環(huán)節(jié)），將它在圖5-29的橫軸上標(biāo)出。,圖5-29 例5-3 Bode圖,該系統(tǒng)還含有一個(gè)積分節(jié)和放大環(huán)節(jié)，參照例5-2，對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻段主要由積分環(huán)節(jié)和放大環(huán)節(jié)決定。,當(dāng)轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性如圖5-29所示，斜率為-20dB/dec的折線段在頻率為處穿過(guò)零分貝線直到振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處轉(zhuǎn)折為斜率為-60dB/dec的線段。當(dāng)轉(zhuǎn)折頻率為時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性如圖5-30所示.,70,(b) 對(duì)數(shù)相頻特性,在圖5-29上分別畫出 積分環(huán)節(jié)相頻特性（1）; 振蕩環(huán)節(jié)相頻特性（2）; 然后將

31、它們?cè)诳v軸方向上相加便得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性曲線（3）。,圖5-30 例5-3對(duì)數(shù)幅頻特性,斜率為-20dB/dec的折線段的延長(zhǎng)線(圖中虛線)與橫軸交點(diǎn)頻率應(yīng)為v，從轉(zhuǎn)折頻率 開始，對(duì)數(shù)頻特性轉(zhuǎn)折成斜率為-60dB/dec的直線。,71,作業(yè)：,P210 5-3 5-4,72,第三章已經(jīng)介紹，閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性由系統(tǒng)特征方程根的性質(zhì)唯一確定。 對(duì)于三階以下系統(tǒng)，解出特征根就能判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。三階以上的高階系統(tǒng)，求解特征根通常都很困難，前面介紹了兩種判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，基于特征方程的根與系數(shù)關(guān)系的勞斯判據(jù)和根軌跡法。,奈奎斯特（Nyquist）穩(wěn)定判據(jù)（簡(jiǎn)稱奈氏判據(jù)）是判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的又一

32、重要方法。它是將系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性 與復(fù)變函數(shù) 位于S平面右半部的零、極點(diǎn)數(shù)目聯(lián)系起來(lái)的一種判據(jù)。奈氏判據(jù)是一種圖解法，它依據(jù)的是系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。由于系統(tǒng)的開環(huán)特性可用解析法或?qū)嶒?yàn)法獲得，因此，應(yīng)用奈氏判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性兼有方便和實(shí)用的優(yōu)點(diǎn)。奈氏判據(jù)還有助于建立相對(duì)穩(wěn)定性的概念。,5-4頻域穩(wěn)定性判據(jù),73,幅角定理又稱映射定理，它是建立在復(fù)變函數(shù)理論基礎(chǔ)上的。由于奈氏判據(jù)是以幅角定理為依據(jù)的，因此有必要先簡(jiǎn)要地介紹幅角定理。,設(shè)有一復(fù)變函數(shù):,稱之為輔助函數(shù)，其中 是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞 函數(shù)通常可寫成如下形式:,式中是系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)，將式（5-106）代入式（5-105）得,（5-106）

33、,比較式（5-107）和式（5-106）可知，,輔助函數(shù) 的零點(diǎn)即閉環(huán)傳遞函數(shù) 的極點(diǎn)，即系統(tǒng)特征方程 的根。因此，如果輔助函數(shù) 的零點(diǎn)都具有負(fù)的實(shí)部，即都位于S平面左半部，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)便不穩(wěn)定。,(5-105),(5-107),一、幅角定理,74,(一)平面與(S)平面的映射關(guān)系,例如，當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:,則其輔助函數(shù)是:,則:,除奇點(diǎn) 和 外，在S平面上任取一點(diǎn)，如,75,如圖537所示，在F(s)平面上有點(diǎn)F(s1)=0.95-j0.15 與S平面上的點(diǎn)s1對(duì)應(yīng),F(s1)就叫做s1=1+j2在F(s)平面上的映射點(diǎn)。,圖5-37 S平面上的點(diǎn)在F(s)平面上的映射,7

34、6,如圖538所示，如果解析點(diǎn)s1在S平面上沿封閉曲線 （ 不經(jīng)過(guò)F(s)的奇點(diǎn)）按順時(shí)針?lè)较蜻B續(xù)變化一周，那么輔助函數(shù)F(s)在平面F(s)上的映射也是一條封閉曲線 ,但其變化方向可以是順時(shí)針的，也可以是逆時(shí)針的，這要依據(jù)輔助函數(shù)F(s)的性質(zhì)而定。,圖5-38 S平面到F(s)平面的映射,77,設(shè)F(s)在S平面上，除有限個(gè)奇點(diǎn)外，為單值的連續(xù)正則函數(shù)s ，若在S平面上任選一封閉曲線s，并使s不通過(guò)F(s)的奇點(diǎn)，則S平面上的封閉曲線s 映射到F(s)平面上也是一條封閉曲線F。當(dāng)解析點(diǎn)s按順時(shí)針?lè)较蜓豷 變化一周時(shí)，則F(s)在平面上，F(xiàn)曲線按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的周數(shù)N（每旋轉(zhuǎn)2弧度為一周），

35、或F按逆時(shí)針?lè)较虬鼑鶩(s)平面原點(diǎn)的次數(shù)，等于封閉曲線s內(nèi)包含F(xiàn)(s)的極點(diǎn)數(shù)P與零點(diǎn)數(shù)Z之差。即,式中，若N0，則F按逆時(shí)針?lè)较蚶@F(s)平面坐標(biāo)原點(diǎn)N周；若N0，則F按順時(shí)針繞F(s)平面坐標(biāo)原點(diǎn)N周；且若N=0，則F不包圍F(s)平面坐標(biāo)原點(diǎn)。,在圖5-38中,在S平面上有三個(gè)極點(diǎn)P1、P2 、P3和三個(gè)零點(diǎn)Z1、Z2、Z3。被s 曲線包圍的零點(diǎn)有Z1、Z2兩個(gè)，即Z=2，包圍的極點(diǎn)只有P2，即P=1，由式（5-108）得,說(shuō)明s 映射到F(s)平面上的封閉曲線F順時(shí)針繞F(s)平面原點(diǎn)一周。,由幅角定理，我們可以確定輔助函數(shù)F(s)被封閉曲線s 所包圍的極點(diǎn)數(shù)P與零點(diǎn)數(shù)Z的差值P-Z

36、。,（二）幅角定理（映射定理）,78,前面已經(jīng)指出，F(xiàn)(s)的極點(diǎn)數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的極點(diǎn)數(shù)，因此當(dāng)F(s)從平面上確定了封閉曲線F的旋轉(zhuǎn)周數(shù)N以后，則在S 平面上封閉曲線s 包含的零點(diǎn)數(shù)Z（即系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)）便可簡(jiǎn)單地由下式計(jì)算出來(lái):,Z=P-N （5-109）,封閉曲線s和F的形狀是無(wú)關(guān)緊要的，因?yàn)樗挥绊懮鲜鼋Y(jié)論。,(關(guān)于幅角定理的數(shù)學(xué)證明請(qǐng)讀者參考有關(guān)書籍，這里僅從幾何圖形上簡(jiǎn)單說(shuō)明。),設(shè)有輔助函數(shù)為:,其零、極點(diǎn)在S平面上的分布如圖5-39 所示，在S平面上作一封閉曲線s, s不通過(guò)上述零、極點(diǎn)，在封閉曲線s上任取一點(diǎn)s1, 其對(duì)應(yīng)的輔助函數(shù)F(S1)的幅角應(yīng)為:

37、,(5-110),(5-111),79,當(dāng)解析點(diǎn)s1沿封閉曲線s按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周后再回到s1點(diǎn)，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，所有位于封閉曲線s 外面的輔助函數(shù)的零、極點(diǎn) 指向s1的向量轉(zhuǎn)過(guò)的角度都為0，而位于封閉曲線s 內(nèi)的輔助函數(shù)的零、極點(diǎn)指向s1的向量都按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò)2 弧度（一周）。,由此得到幅角定理表達(dá)式為:,(5-113),這樣，對(duì)圖5-39（a），Z=1，P=0，即N=1，F(xiàn)(S1)繞F(S)平面原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周； 對(duì)圖5-39（b），Z=0，P=1，即N=1，F(xiàn)(S1)繞F(S)平面原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周；,80,對(duì)圖5-39（b），Z=0，P=1，即N=1，F(xiàn)(S1)繞F(S)平面原點(diǎn)

38、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周；,81,對(duì)圖5-39（c），Z=1，P=1，即N=0，F(xiàn)(S1)不包圍F(S)平面原點(diǎn)。將上述分析推廣到一般情況則有:,(5-112),82,83,為了分析反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，只須判斷是否存在S平面右半部的閉環(huán)極點(diǎn)。為此，在S平面上作一條完整的封閉曲線s，使它包圍S平面右半部且按順時(shí)針環(huán)繞。如圖5-40所示，該曲線包括S平面的整個(gè)虛軸（由 到 及右半平面上以原點(diǎn)為圓心，半徑為無(wú)窮大的半圓弧組成的封閉軌跡。這一封閉無(wú)窮大半圓稱作奈氏軌跡。顯然，由奈氏軌跡包圍的極點(diǎn)數(shù)P和零點(diǎn)數(shù)Z，就是F(s)位于S平面右半部的極點(diǎn)數(shù)和零點(diǎn)數(shù)。,二、基于輔助函數(shù)F(s)的奈氏判據(jù),84,前面已經(jīng)指

39、出，輔助函數(shù)的極點(diǎn)等于系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)，零點(diǎn)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。因此，如果奈氏軌跡中包圍的零點(diǎn)數(shù)Z=0，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，此時(shí)由映射到平面上的封閉曲線F逆時(shí)針繞坐標(biāo)原點(diǎn)的周數(shù)應(yīng)為:,圖5-40 Nyquist軌跡,85,若輔助函數(shù)F(s)的解析點(diǎn)s沿奈氏軌跡s 按順時(shí)針連續(xù)環(huán)繞一周，它在F(s)平面上的映射F按逆時(shí)針?lè)较颦h(huán)繞其原點(diǎn)P周，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。,通常情況下，開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即S平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P=0。此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件是不包圍F(s)平面坐標(biāo)原點(diǎn)，即N=0。,由此得到應(yīng)用幅角定理分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)如下：,86,圖541,上式意味著將F(s)平面的縱軸向右平移一個(gè)

40、單位后構(gòu)成的平面即為GH平面（如圖5-41）。平面的坐標(biāo)原點(diǎn)是GH 平面的 點(diǎn)。因此，F(xiàn)繞F(s)平面原點(diǎn)的周數(shù)等效于 繞GH平面 點(diǎn)的周數(shù)。,(5-115),三、基于開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的奈氏判據(jù),87,由分析，得到基于開環(huán)傳遞函數(shù) 的奈氏判 據(jù)如下：,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是奈氏軌跡映射在GH平面上的封閉曲線 逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)P周，其中P為開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在S平面右半部的極點(diǎn)數(shù)。,當(dāng)G(s)H(s)在S平面右半部沒(méi)有極點(diǎn)時(shí)，即P=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是 在GH平面上不包圍(-1,j0)點(diǎn)。,88,圖5-42 Nyquist軌跡,（1）當(dāng)s在S平面

41、負(fù)虛軸上變化時(shí)，,在GH平面上的映射如圖5-43中曲線（1）。,下面分兩種情況來(lái)研究與之間的關(guān)系。,1、當(dāng)(s)H(s)在S平面虛軸上（包括原點(diǎn)）無(wú)極點(diǎn)時(shí)，奈氏軌跡可分成三個(gè)部分如圖5-42所示， （1） ，s沿負(fù)虛軸變化； （2） ，s沿正虛軸變化； （3） ，s沿以原點(diǎn)為圓心，半徑為無(wú)窮大 的右半圓弧變化，其中 ， 對(duì)應(yīng) 由順時(shí)針繞。,四、基于開環(huán)頻率特性G(j)H(j)的奈氏判據(jù),89,圖5-43 s在GH平面上的映射,（2）當(dāng)s在S平面正虛軸上變化時(shí)，,如圖5-43中的曲線(2)，這正是系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。由于正負(fù)虛軸在S平面上以實(shí)軸為對(duì)稱，它們?cè)贕H平面上的映射曲線(1),(2)兩部

42、分也對(duì)稱于實(shí)軸。,90,當(dāng)s過(guò)平面原點(diǎn)時(shí)，s=j0，它在GH平面上的映射為:,（3）當(dāng)s在s的第三部分上的變化時(shí)，,即S平面的原點(diǎn)在GH平面上的映射為常數(shù)K（K為系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)）。,（5-118）,當(dāng)n=m時(shí):,（5-119）,（5-120）,91,奈氏軌跡的第三部分（無(wú)窮大半圓?。┰贕H平面上的映射為常數(shù)K，如圖543（a）所示。,當(dāng)nm時(shí),奈氏軌跡s 在GH平面上的映射稱為奈奎斯特曲線或奈氏曲線。,s的第三部分在GH平面上的映射是它的坐標(biāo)原點(diǎn)（圖543（b）。,（5-121）,92,第（4）部分的定義是：,2、當(dāng) 在S平面的虛軸上（包括原點(diǎn)）有極點(diǎn)時(shí)，由于奈氏軌跡不能經(jīng)過(guò)開環(huán)極點(diǎn)，s必須

43、避開虛軸上的所有開環(huán)極點(diǎn)。增加第4部分曲線，如圖5-44所示。其中(1)(2)和(3)部分的定義與圖5-44相同.,表明s沿以原點(diǎn)為圓心，半徑為無(wú)窮小的右半圓弧上逆時(shí)針變化（ ）。這樣，s 既繞過(guò)了原點(diǎn)上的極點(diǎn)，又包圍了整個(gè)右半S平面，如果在虛軸上還有其它極點(diǎn)，亦可采用同樣的方法，將s 繞過(guò)這些虛軸上的極點(diǎn)。,其中v稱為無(wú)差度，即系統(tǒng)中含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)或位于原點(diǎn)的開環(huán)點(diǎn)數(shù)。當(dāng)時(shí) ，,93,式(5-123)表明，s的第（4）部分無(wú)窮小半圓弧在GH平面上的映射為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無(wú)窮大圓弧，旋轉(zhuǎn)的弧度為 弧度。圖5-45(a),(b)分別表示當(dāng)v=1和v=2時(shí)系統(tǒng)的奈氏曲線，其中虛線部分是s的無(wú)窮小半圓

44、弧在GH平面上的映射。,圖5-44 虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)時(shí)的奈氏軌跡,圖5-45 時(shí)的奈氏曲線,94,從上面的分析可知，奈氏曲線 實(shí)際上是系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖的擴(kuò)展。當(dāng)已知系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(j)H(j)后，根據(jù)它的極坐標(biāo)圖和系統(tǒng)的性質(zhì)（是否含有積分環(huán)節(jié)、開環(huán)傳遞函數(shù)中分子分母的最高階次等）便可方便地在GH平面上繪制出奈氏曲線 。由此我們得到基于開環(huán)頻率特性的奈氏判據(jù)如下：,奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù):,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是,GH平面上的開環(huán)頻率特性,當(dāng) 由 變換到時(shí)，按逆時(shí)針?lè)较虬鼑?-1,j0)點(diǎn)周。,當(dāng)位于S平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P=0時(shí)，即當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)均位于S平面左半部（包

45、括原點(diǎn)和虛軸）時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是奈氏曲線 不包圍GH平面的(-1,j0)點(diǎn)。,（二）基于G(j)H(j)的奈氏判據(jù),95,應(yīng)用奈氏判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí),可能會(huì)遇到下列三種情況：,(iii) 如果系統(tǒng)的奈氏曲線 順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)（N0），則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定（Z=P-N0）。,(i)當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的全部極點(diǎn)都位于S平面左半部 時(shí)(P=0),如果系統(tǒng)的奈氏曲線 不包圍GH平面的(-1,j0)點(diǎn)(N=0)，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的（z=p-N=0），否則是不穩(wěn)定的；,(ii)當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 有p個(gè)位于S平面右半部的極點(diǎn)時(shí)，如果系統(tǒng)的奈氏曲線 逆時(shí)針包圍(-1,j

46、0)點(diǎn)的周數(shù)等于位于S平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)（N=P），則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的（Z=P-N=0），否則是不穩(wěn)定的；,綜上，奈氏曲線 是否包圍GH平面的（-1,j0)點(diǎn)是判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定的重要依據(jù)當(dāng)然還須考慮是否存在S平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)和曲線 包圍點(diǎn)(-1,j0)的方向。當(dāng)曲線 恰好通過(guò)GH平面的(-1,j0)點(diǎn)（注意不是包圍），此時(shí)如果系統(tǒng)無(wú)位于S平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,96,例5-6 試用奈氏判據(jù)分析例5-1系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解: 該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:,其對(duì)應(yīng)的頻率特性是:,五、奈氏判據(jù)的應(yīng)用,97,上述結(jié)論可從圖5-47所示的根軌跡圖得到證明，從圖5-47可知，無(wú)論

47、K為何值根軌跡都在S平面左半部，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。,圖5-46 例5-6奈氏曲線,圖5-47 例5-6根軌跡圖,98,例5-7 試用奈氏判據(jù)分析例5-3系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解: 該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:,其對(duì)應(yīng)的頻率特性是:,系統(tǒng)的奈氏曲線如圖5-48所示。 由于系統(tǒng)含有一個(gè)積分環(huán)節(jié)（v=1），當(dāng)對(duì)應(yīng)奈氏曲線為順時(shí)針環(huán)繞坐標(biāo)原點(diǎn)的無(wú)窮大半圓（圖5-48中虛線所示）。,99,開環(huán)傳遞函數(shù)無(wú)右半S平面的極點(diǎn)，即P=0，系統(tǒng)是否穩(wěn)定取決于奈氏曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)值 的大小，當(dāng) 時(shí)， 不包圍 點(diǎn)，即N=0圖5-48(a)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng) 時(shí),奈氏曲線 順時(shí)針包圍點(diǎn) 兩周，即 ,圖5-48（b），系統(tǒng)不穩(wěn)

48、定。,圖5-48 例5-7奈氏曲線,100,已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試用奈氏判據(jù)分析當(dāng)時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解:系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性是:,其幅頻特性和相頻特性分別是:,例5-8:,101,當(dāng) 時(shí)， ,當(dāng)由0變至+時(shí)， 由變至0，由 在第III象限內(nèi)變化為 ，其對(duì)應(yīng)的奈氏曲線 如 圖5-50（a）所示，圖中虛線表示的順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無(wú)窮大圓弧是開環(huán)零重極點(diǎn)在GH 平面上的映射。由于奈氏曲線左端無(wú)窮遠(yuǎn)處是開口的，它沒(méi)有包圍(-1,j0)點(diǎn)(N=0),系統(tǒng)無(wú)S平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)（P=0），由奈氏判據(jù)知，當(dāng) 時(shí)，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,102,(b)當(dāng) 時(shí)， ，系統(tǒng)的相頻特性 與角頻率 無(wú)關(guān)，幅頻特性 ，

49、 , 當(dāng) 由變至 時(shí)，由 變至0 。如圖5-50（b）所示，除無(wú)窮大圓弧外，奈氏曲線是穿過(guò)(-1,j0)點(diǎn)且與負(fù)實(shí)軸重合的，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)的根軌跡如圖5-51（b）所示。由于兩條根軌跡位于S平面的虛軸上，系統(tǒng)是等幅振蕩的臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,103,（c）當(dāng) 時(shí)， ,當(dāng)由0變至 時(shí)， 由由變至0， 由 在第II象限內(nèi)變化后再次變?yōu)?，其對(duì)應(yīng)的奈氏曲線如圖5-50（c）所示。由于奈氏曲線左端是封口的，它順時(shí)針包圍了(-1,j0) 點(diǎn)兩周(N=2)，由奈氏判據(jù)知，當(dāng) 時(shí)，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)的根軌跡如圖5-51（c）所示。由于有兩條根軌跡全部位于S平面右半部，無(wú)論K為何值，

50、該系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的。,104,圖5-50 例5-8系統(tǒng)的奈氏曲線,圖5-51 例5-8系統(tǒng)的根軌跡圖,105,根據(jù)對(duì)數(shù)頻率特性圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,考慮s平面上單位圓與對(duì)數(shù)坐標(biāo)平面的關(guān)系：,s平面上的單位圓,單位圓內(nèi),單位圓外,負(fù)實(shí)軸,順時(shí)針繞(-1,j0)點(diǎn),逆時(shí)針繞(-1,j0)點(diǎn),利用對(duì)數(shù)頻率特性圖判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的奈氏判據(jù)為:,0dB線,0dB線以下,0dB線以上,線,由上至下穿越線（負(fù)穿越）,由下至上穿越線（正穿越）,在對(duì)數(shù)幅頻特性大于零的頻段內(nèi)，相頻特性曲線穿越 線的次數(shù) ，滿足 ，則系統(tǒng)穩(wěn)定。,106,穩(wěn)定性判斷,一、極坐標(biāo)判斷穩(wěn)定性： 1、曲線穿越單位圓時(shí)，相角大于- 系統(tǒng)穩(wěn)定；

51、2、曲線穿越單位圓時(shí)，相角等于- 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定； 3、曲線穿越單位圓時(shí)，相角小于- 系統(tǒng)不穩(wěn)定。 二、Bode圖判斷穩(wěn)定性： 1、L()=0db時(shí),相位()-系統(tǒng)穩(wěn)定； 2、L()=0db時(shí),相位()=-系統(tǒng)臨界穩(wěn)定； 3、()=-時(shí),幅值L()0db系統(tǒng)不穩(wěn)定。,107,利用對(duì)數(shù)頻率特性圖判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的奈氏判據(jù)為:,在對(duì)數(shù)幅頻特性大于零的頻段內(nèi)，相頻特性曲線穿越 線的次數(shù) ，滿足 ，則系統(tǒng)穩(wěn)定。,108,一、相對(duì)穩(wěn)定性,在工程應(yīng)用中，由于環(huán)境溫度的變化、元件的老化以及元件的更換等，會(huì)引起系統(tǒng)參數(shù)的改變，從而有可能破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此在選擇元件和確定系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，不僅要考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還要

52、求系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定程度，這就是所謂自動(dòng)控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性問(wèn)題。,5-5 控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性,109,假定系統(tǒng)的開環(huán)放大系統(tǒng)由于系統(tǒng)參數(shù)的改變比原來(lái)增加了百分之五十，則圖5-52（a）中的A點(diǎn)移動(dòng)到A點(diǎn)，仍在點(diǎn)(-1,j0)右側(cè)，系統(tǒng)還是穩(wěn)定的；而圖5-52(b)中的B點(diǎn)則移到(-1,j0)點(diǎn)的左側(cè)（B點(diǎn)），系統(tǒng)便不穩(wěn)定了?？梢姡罢咻^能適應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)的變化，即它的相對(duì)穩(wěn)定性比后者好。,例如，圖5-52（a）和（b）所示的兩個(gè)最小相位系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線（實(shí)線）沒(méi)有包圍(-1,j0)點(diǎn)，由奈氏判據(jù)知它們都是穩(wěn)定的系統(tǒng)，但圖5-52（a ）所示系統(tǒng)的頻率特性曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)A 距離(-1,j

53、0)點(diǎn)較遠(yuǎn)，圖5-52（b）所示系統(tǒng)的頻率特性曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)B 距離點(diǎn)(-1,j0)較近。,110,圖5-52 系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性,111,通常用穩(wěn)定裕度來(lái)衡量系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性或系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，其中包括系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。,圖5-53 最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度,二、穩(wěn)定裕度,112,如圖5-53所示，把GH平面上的單位圓與系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線的交點(diǎn)頻率 稱為幅值穿越頻率或剪切頻率，它滿足:,(5-124),所謂相角裕度是指幅值穿越頻率所對(duì)應(yīng)的相移 與 角的差值，即:,(5-125),對(duì)于最小相位系統(tǒng)，如果相角裕度 ，系統(tǒng)是穩(wěn)定的 (圖5-53(a)，,且 值愈大，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性愈好。如

54、果相角裕度 ，系統(tǒng)則不穩(wěn)定(圖5-53(b)。當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線穿過(guò)(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,相角裕度的含義:,使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)開環(huán)頻率特性,的相角 減?。▽?duì)應(yīng)穩(wěn)定系統(tǒng)）或增加（對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定系統(tǒng)）的數(shù)值。,（一）相角裕度,113,如圖5-53所示，我們把系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線與GH平面負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)頻率稱為相位穿越頻率 ,顯然它應(yīng)滿足,(5-126),所謂幅值裕度Kg是指相位穿越頻率所對(duì)應(yīng)的開環(huán)幅頻特性的倒數(shù)值，即:,(5-127),對(duì)于最小相位系統(tǒng)，當(dāng)幅值裕度Kg1( ），系統(tǒng)是穩(wěn)定的(圖5-53(a)，且Kg值愈大,系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定 性愈好。如果幅值裕度 ，(

55、 ),系統(tǒng)則不穩(wěn)定( 圖5-53(b)。當(dāng)Kg=1時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線穿過(guò)點(diǎn)(-1,j0)。是臨界穩(wěn)定狀態(tài)。可見，求出系統(tǒng)的幅值裕度Kg 后，便可根據(jù)Kg值的大小來(lái)分析最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定程度。,（二）幅值裕度,114,幅值裕度也可以用分貝數(shù)來(lái)表示，,分貝,(5-128),因此，可根據(jù)系統(tǒng)的幅值裕度大于、等于或小于零分貝來(lái)判斷最小相位系統(tǒng)是穩(wěn)定、臨界穩(wěn)定或不穩(wěn)定。,必須指出，系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的好壞不能僅從相角裕度或幅角裕度的大小來(lái)判斷，必須同時(shí)考慮相角裕度和幅角裕度。這從圖5-54（a）和（b）所示的兩個(gè)系統(tǒng)可以得到直觀的說(shuō)明，對(duì)于一般系統(tǒng)，通常要求相角裕度 ，幅值裕度 （6分貝）。

56、,115,圖5-54 穩(wěn)定裕度的比較,圖5-54（a）所示系統(tǒng)的幅值裕度大，但相角裕度小,圖5-54（b）所示系統(tǒng)的相角裕度大，但幅值裕度小,116,通常有三種求解系統(tǒng)相角裕度和幅值裕度的方法，即解析法、極坐標(biāo)圖法和伯德圖法。下面通過(guò)實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明。,（一）解析法,根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率的開環(huán)頻率特性，由式(5-124)和式(5-125)求出相角裕度；由式(5-126)和式(5-127)求出幅值裕度，如果幅值裕度用分貝數(shù)表示，則由式(5-128)求出,例5-9 已知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:,試求出該系統(tǒng)的幅值裕度和相角裕度。,解:系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為:,其幅頻特性和相頻特性分別是:,三、相角裕

57、度和幅值裕度的求解方法,117,由式（5-124）令得:,由式（5-125）得:,由式（5126）得，令得:,由式（5127）,118,（二）極坐標(biāo)圖法,在GH平面上作出系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖，并作一單位圓，由單位圓與開環(huán)頻率特性的交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線與負(fù)實(shí)軸的夾角求出相角裕度；由開環(huán)頻率特性與負(fù)軸交點(diǎn)處的幅值的倒數(shù)得到幅值裕度Kg。,圖5-55 例5-9極坐標(biāo)圖,在上例中，先作出系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線如圖5-55所示，作單位圓交開環(huán)頻率特性曲線于A點(diǎn)，連接OA，射線OA與負(fù)實(shí)軸的夾角即為系統(tǒng)的相角裕度 。開環(huán)頻率特性曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0.8,j0),由此得到系統(tǒng)的幅值裕度:,1

58、19,（三）伯德圖法,零分貝線的差值，即為幅值裕度Kg的分貝數(shù)。當(dāng) 對(duì)應(yīng)的幅頻特性位于零分貝線下方時(shí)， ，反之，當(dāng) 對(duì)應(yīng)的幅頻特性位于零分貝線上方時(shí)， 。,例5-9的伯德圖如圖5-56所示。從圖中，可直接得到幅值穿越頻率 , 相角穿越頻率 ，相角裕度 ，幅值裕度,圖5-56 例5-9題Bode圖,120,比較上述三種解法可知：,解析法:比較精確，但計(jì)算步驟復(fù)雜，而且對(duì)于三階以上的高階系統(tǒng)，用解析法是很困難的。,圖解法:以極坐標(biāo)圖和伯德圖為基礎(chǔ)的圖解法，避免了繁鎖的計(jì)算，具有簡(jiǎn)便、直觀的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)于高階系統(tǒng)尤為方便。不過(guò)圖解法是一種近似方法，所得結(jié)果有一定誤差，誤差的大小視作圖的準(zhǔn)確性而定。伯德圖

59、法和極坐標(biāo)法雖然都是圖解法，但前者不僅可直接從伯德圖上獲得相角裕度 和幅值裕度 ，而且還可直接得到相應(yīng)的幅值穿越頻率 和相位穿越頻率 。同時(shí)伯德圖較極坐標(biāo)圖方便，因此在工程實(shí)踐中得到更為廣泛的應(yīng)用。,121,前面已經(jīng)介紹，求出系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度可以定量分析系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。下面通過(guò)示例進(jìn)一步說(shuō)明。,例5-10 已知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試分析穩(wěn)定裕度與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系。,解: 該系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖分別如圖5-57(a) （當(dāng) 時(shí)）和圖5-57(b)(當(dāng) 時(shí))所示.由圖5-57(a)可知，當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)的相角裕度 ，由圖5-57(b)可知，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的相角裕度 。系統(tǒng)的幅值裕度 用解析法求解如下：,系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性分別為:,四、穩(wěn)定裕度與系統(tǒng)的