《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)課件：第三節(jié) 微分的概念與應(yīng)用

1、第三章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用,第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念 第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 第三節(jié) 微分的概念與應(yīng)用 第四節(jié) 微分中值定理 第五節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,2020年9月7日星期一,2,一、微分的概念,二、微分的基本公式和運(yùn)算法則,第三節(jié),微分的概念與應(yīng)用,三、微分的應(yīng)用,3,引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問(wèn)此薄片面積改變了多少?,設(shè)薄片邊長(zhǎng)為 x , 面積為 y , 則,面積的增量為,故,當(dāng) x 在,取,變到,邊長(zhǎng)由,其,4,的微分,定義1: 若函數(shù),在點(diǎn) 的增量可表示為,( A 為不依賴(lài)于x 的常數(shù)),則稱(chēng)函數(shù),而 稱(chēng)為,記作,即,在點(diǎn),可微,一、微分的概念,1. 微分的定義,5,定理

2、: 函數(shù),在點(diǎn) 可微的充要條件是,2.可微分與可導(dǎo)的關(guān)系,（證明略）,6,例1. 求函數(shù),時(shí)函數(shù)的微分,解：,7,通常把自變量,的增量,稱(chēng)為自變量的微分，記作,于是函數(shù),的微分又可記作,從而,導(dǎo)數(shù)也叫作微商,8,微分的幾何意義,切線(xiàn)縱坐標(biāo)的增量,3.微分的幾何意義,是曲線(xiàn),上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時(shí)，,就是曲線(xiàn)的切線(xiàn)上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量。,9,二、微分的基本公式和運(yùn)算法則,1.微分基本公式,10,設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 則,(C 為常數(shù)),2. 函數(shù)的和、差、積、商的微分法則,11,分別可微 ,的微分為,微分形式不變,則復(fù)合函數(shù),3. 復(fù)合函數(shù)的微分法則,12,例2.,求,解:,

3、13,三、 微分的應(yīng)用,當(dāng),很小時(shí),使用原則:,得近似等式:,1. 近似計(jì)算,14,特別當(dāng),很小時(shí),常用近似公式:,很小),證明:,令,得,15,的近似值 .,解: 設(shè),取,則,例3. 求,16,的近似值 .,解:,例4. 計(jì)算,17,2. 誤差估計(jì),第二章,在誤差估計(jì)中，通常把精確值與近似值 之差的絕對(duì)值稱(chēng)為絕對(duì)誤差（absolute error) 或誤差，而把誤差與近似值之比的百分?jǐn)?shù)稱(chēng)為 相對(duì)誤差（relative error),值的誤差為,故 y 的絕對(duì)誤差限約為,相對(duì)誤差限約為,18,計(jì)算正方形的面積，并做誤差估計(jì)。,解：,正方形的面積,，當(dāng),時(shí)，,已知測(cè)量誤差為,則面積的誤差為,相對(duì)誤差為,則正方形的面積為,，相對(duì)誤差小于0.14。,例5. 測(cè)量正方形的邊長(zhǎng)，測(cè)定值為,19,，求得的體積的相對(duì)誤差應(yīng)不超過(guò)0.14。,解：,依題意有,由此,即邊長(zhǎng)測(cè)量值的相對(duì)誤差應(yīng)不超過(guò)0.1。,由公式,其準(zhǔn)確度應(yīng)如何，才能使,例6. 測(cè)量立方體的邊長(zhǎng)x，,20,內(nèi)容小結(jié),1. 微分概念,微分的定義及幾何意義,可導(dǎo),可微,2. 微分運(yùn)算法則,微分形式不變性 :,( u 是自變量或中間變量 ),21,1. 已知,求,解：因