四、 材料力學(xué)正應(yīng)力分析

1、彈性桿件橫截面上的 正應(yīng)力分析,第4章,1、與應(yīng)力分析相關(guān)的截面圖形幾何性質(zhì),2、平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力,3、斜彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力,4、彎矩與軸力同時(shí)作用時(shí)桿件橫截面上的正應(yīng)力,第4章 彈性桿件橫截面上的正應(yīng)力分析,5、基于最大正應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算,與應(yīng)力分析相關(guān)的截面圖形幾何性質(zhì),1、橫截面面積 常見的橫截面有： 矩形 A = hb ; 圓形 A = R ;,b,h,R,2、靜矩、形心 截面面積對(duì)軸的矩稱為靜矩： 圖形幾何形狀的中心稱形心：,3、慣性矩、極慣性矩、慣性半徑 慣性矩- 慣性半徑- 極慣性矩-,與應(yīng)力分析相關(guān)的截面圖形幾何性質(zhì),4、常見形體的慣性矩、極慣性矩 a、矩形截面

2、的慣性矩 b、圓形截面的慣性矩 C、圓環(huán)截面的慣性矩,與應(yīng)力分析相關(guān)的截面圖形幾何性質(zhì),b,h,d,y,z,y,z,d,y,z,D,d,d、圓形截面的極慣性矩 e、圓環(huán)截面的極慣性矩 4、形心主慣性矩 圖形對(duì)形心主軸的慣性矩稱形心主慣性矩，,與應(yīng)力分析相關(guān)的截面圖形幾何性質(zhì),例4-1、求圖中剖面線部分的慣性矩慣性矩 Iy ;Iz ; 解：由負(fù)面積法, Iz=H b / 12 h b / 12 = b( H - h) / 12; Iy = b H / 12 b h / 12 = b( H - h) /12;,與應(yīng)力分析相關(guān)的截面圖形幾何性質(zhì),b,h,z,y,H,小鳥,與應(yīng)力分析相關(guān)的截面圖形幾何

3、性質(zhì),與應(yīng)力分析相關(guān)的截面圖形幾何性質(zhì),1、平面彎曲的概念 梁的對(duì)稱面：梁的橫截面具有 對(duì)稱軸，所有相 同的對(duì)稱軸組成 的平面。 形心主軸平面：所有相同的形 心主軸組成的平 面。 平面彎曲：所有外力都作用在梁 的同一主軸平面內(nèi)， 梁的軸線在該平面中 彎曲成曲線。,平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力,純彎曲：梁的橫截面上只有彎矩作用的情況，如梁的BC段。截面上只有正應(yīng)力。 橫向彎曲：梁的橫截面上既有剪力也有彎矩，如梁的AB段。因而其上既有正應(yīng)力也有切應(yīng)力。,平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力,C,B,l/5,F,A,l/5,M,F,F,Fl/5,F,D,3l/5,FQ,FAy,FDy,+,+,-,x,x,2

4、、純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力分析 純彎曲梁的正應(yīng)力分析需要三個(gè)步驟：,平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力,應(yīng)力分布,應(yīng)力公式,變 形,應(yīng)變分布,平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力,M,M,中性軸,a、應(yīng)用平面假設(shè)確定應(yīng)變分布 1） 彎曲梁變形后，梁表面的縱向線彎曲，截面上面縮短、下面伸長(zhǎng)、中間長(zhǎng)度未變化。根據(jù)外表面線條可以確定橫截面上面受到壓應(yīng)力；下面受到拉應(yīng)力；而中間沒有應(yīng)力。我們把中間未伸長(zhǎng)的一層稱為中性層，中性層與橫截面的交線稱為中性軸。,2）梁彎曲時(shí)的平面假設(shè) 梁變形后周邊表面的橫向線仍然是直線，且垂直于縱向線。我們假定梁的橫截面在變形前后仍然保持為平面，只是相對(duì)轉(zhuǎn)過一個(gè)角度 d 。 3）沿梁橫截面高度方

5、向正應(yīng)力表達(dá)式：,平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力,b、應(yīng)用虎克定理確定橫截面上正應(yīng)力分布 由虎克定律 將上述應(yīng)變公式帶人得： = E 即：正應(yīng)力與高度坐標(biāo)成線性關(guān)系 = -E y / 其中 表示該點(diǎn)的曲率半徑，它如何表達(dá)呢？,平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力,c、應(yīng)用靜力方程確定正應(yīng)力公式 由 由,平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力,x,將 帶人公式 得正應(yīng)力公式： 正應(yīng)力與截面上彎矩、中性軸距離成正比； 與截面的慣性矩成反比。應(yīng)力分布如圖：,平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力,x,d、中性軸在橫截面上的位置 中性軸通過橫截面的形心，并且垂直于形心主軸。 e、最大正應(yīng)力公式與彎曲截面模量 對(duì)于橫截面上正應(yīng)力最大

6、值 其中 Wz = Iz / ymax 稱為彎曲截面系數(shù)；,平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力,max,max,彎曲截面系數(shù): Wz = Iz /ymax ; *矩形截面的彎曲截面系數(shù): Wz = b h / 6 ; *圓形截面的彎曲截面系數(shù): Wz = d / 32 ; *圓環(huán)截面的彎曲截面系數(shù),平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力,f、梁平面彎曲后軸線曲率的計(jì)算公式 公式表明梁的軸線彎曲后的曲率與彎矩成正比，與彎曲剛度成反比。 3、彎曲正應(yīng)力公式的應(yīng)用與推廣 a、梁上最大正應(yīng)力位置的判定 需要考慮彎矩分布；橫截面形狀等因素； b、純彎曲正應(yīng)力公式可以推廣到橫向彎曲 純彎曲正應(yīng)力公式在橫向彎曲也是近似適用

7、的。,平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力,平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力,例題4-2 受均布荷載簡(jiǎn)支梁如圖,已知梁的截面為矩形b=20mm;h=30mm;q=10kN/m;l=450mm.試求最大彎矩截面B上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力。,l/2,h,b,h/4,z,y,2,1,平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力,解：1、作梁的內(nèi)力圖，確定最大彎矩及位置 MZB = q l / 8; 2、計(jì)算正應(yīng)力 1點(diǎn)的正應(yīng)力： 為拉伸應(yīng)力 2點(diǎn)的正應(yīng)力： 為壓縮正應(yīng)力,M,h,b,h/4,z,y,2,1,l/2,l/2,x,x,+,+,-,平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力,200,150,96.4,z,y,50,1,50,例題4-3

8、 丁字截面簡(jiǎn)支梁受力如圖,已知梁的參數(shù)： 試求最大彎矩截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。,l/2,l/2,平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力,M,200,150,96.4,z,y,50,1,50,解：1、作梁的內(nèi)力圖，確定最大彎矩及位置。 MzB=Fp l / 4 =16 kNm; 2、計(jì)算最大彎矩截面上最大正應(yīng)力 最大拉伸正應(yīng)力： 位置在梁的下邊緣處 最大壓縮正應(yīng)力： 位置在梁的上邊緣處。 思考：對(duì)于脆性材料，極限拉伸應(yīng)力小于極限壓縮應(yīng)力，設(shè)置上下非對(duì)稱的橫截面并且如此放置，是否最大限 度地發(fā)揮了材料的強(qiáng)度潛力？,x,MZ,max +,max ,Fpl/4,l/2,+,+,-,x,x,斜彎曲時(shí)梁橫截

9、面上的正應(yīng)力,1、產(chǎn)生斜彎曲的加載條件 當(dāng)梁的外力平面與梁的軸線變形平面不共面時(shí)，這種彎曲稱斜彎曲。如圖：,FP2,FP1,變形平面,合力作用平面,y,z,斜彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力,2、疊加法確定斜彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力 當(dāng)梁的受到外力作用在豎直平面和水平面同時(shí)彎曲，梁橫截面上的正應(yīng)力可以應(yīng)用疊加法確定。如圖： 其最大正應(yīng)力： 公式對(duì)于非圓形截面梁都是適用的（圓形截面除外）。,y,z,C,y,z,C,max +,max ,斜彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力,圓形截面斜彎曲梁的最大正應(yīng)力： 例4-4 圖示矩形截面梁已知：b=90mm; h=180mm; Fp1=800N; Fp2=1650N; l=1

10、m; 試求梁內(nèi)最大彎曲正應(yīng)力及作用位置。,解：1、確定梁截面上的內(nèi)力分量，梁的內(nèi)力如圖：最大彎矩在固定端處。 Mymax = -Fp1l ; Mzmax = -Fp2l ; 2、確定梁根部截面上最大正應(yīng)力作用點(diǎn)：如圖 ,A 點(diǎn)處是兩拉應(yīng)力相加；B 點(diǎn)處是兩壓應(yīng)力相加。 3、計(jì)算最大正應(yīng)力:,斜彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力,FP1,FA1,MAy,FQ,My,FP2,FA2,MAz,FQ,Mz,x,x,x,x,x,x,z,z,2FP!l,FP2l,A,A,B,B,y,y,-,-,-,-,max +,max ,縱向載荷作用線平行于桿件的軸線，但不重合，這種載荷稱為偏心載荷。 將載荷向截面形心簡(jiǎn)化得到兩

11、個(gè)內(nèi)力分量：FNx 0 ; Mz0; 其中軸力和彎矩將使梁橫截面產(chǎn)生正應(yīng)力：,彎矩和軸力同時(shí)作用時(shí)桿件橫截面上的正應(yīng)力,彎矩和軸力同時(shí)作用時(shí)桿件橫截面上的正應(yīng)力,例4-5 圖示開口鏈環(huán)由直徑d=12mm的園鋼制作而成。試求： 1）、鏈環(huán)直段部分橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力；2）、當(dāng)鏈環(huán)焊接成閉口狀態(tài)應(yīng)力如何？,800N,800N,800N,800N,21mm,彎矩和軸力同時(shí)作用時(shí)桿件橫截面上的正應(yīng)力,解：1、計(jì)算開口鏈環(huán)直段部分橫截面上最大應(yīng)力，受力如圖；橫截面上彎矩： 橫截面上正應(yīng)力（如圖所示）,800N,800N,800N,800N,Mz,c,max+,max ,彎矩和軸力同時(shí)作用時(shí)桿件

12、橫截面上的正應(yīng)力,課外練習(xí)：4-1；4-5；4-9；4-14,2、計(jì)算閉口鏈環(huán)直段部分橫截面上最大應(yīng)力，受力如圖：橫截面上只有拉應(yīng)力。 比較兩種形式鏈環(huán)的正應(yīng)力大小相差近 22倍。,400N,800N,800N,800N,400N,c,課堂練習(xí)4-1 圖示矩形截面柱，已知：外加載荷FP以及橫截面尺寸。 試求 ABED 截面上四個(gè)角點(diǎn)上的正應(yīng)力。,彎矩和軸力同時(shí)作用時(shí)桿件橫截面上的正應(yīng)力,偏心壓縮：壓力沿軸線方向但與軸線不重合。,解：1、確定截面上的內(nèi)力分量，在ABDE橫截面將柱截開由力的平移定理將力平移到橫截面的形心處，內(nèi)力如圖：,彎矩和軸力同時(shí)作用時(shí)桿件橫截面上的正應(yīng)力,2、判斷最大應(yīng)力作用

13、位置： 在內(nèi)力作用下A、E 分別是最大壓應(yīng)力和拉應(yīng)力作用點(diǎn) 3、計(jì)算ABDE各點(diǎn)的應(yīng)力，作圖：,彎矩和軸力同時(shí)作用時(shí)桿件橫截面上的正應(yīng)力,基于最大正應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算,1、基于最大正應(yīng)力的強(qiáng)度條件: max 2、強(qiáng)度計(jì)算的主要步驟：,a、計(jì)算桿件的約束力； b、作桿件的內(nèi)力圖； c、根據(jù)內(nèi)力、橫截面、材料等因素確定可能的危險(xiǎn)點(diǎn)； d、應(yīng)用強(qiáng)度條件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算： 對(duì)于塑性材料：max ; 對(duì)于脆性材料：max + +; max ；,基于最大正應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算,例4-6 圖示圓軸AB段是空心的，已知 D = 60mm; d=40mm，尺寸和外力， =120MPa ；試分析圓軸強(qiáng)度是否安全。,3kN,5k

14、N,2.93kN,5.07kN,A,C,B,D,300,1000,400,基于最大正應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算,解：1、作內(nèi)力圖 2、判斷可能的危險(xiǎn)截面是C、B橫截面； 3、計(jì)算危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力： 4、對(duì)軸進(jìn)行強(qiáng)度校核： 軸的強(qiáng)度是安全的。,2.93kN,5kN,5.07kN,3kN,2.93kN,3kN,-2.07kN,FQ,-0.9kNm,1.17kNm,M,A,C,B,D,+,-,+,+,基于最大正應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算,2Fp,Fp,600,1400,A,C,B,例4-7 由鑄鐵制作的懸臂梁尺寸如圖，F(xiàn)P=20kN,材料的許用應(yīng)力 試校核梁的強(qiáng)度。,200,150,96.4,z,y,50,1,50,

15、c,基于最大正應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算,解：1、作內(nèi)力圖 2、判斷可能的危險(xiǎn)截面是A、B橫截面； 3、計(jì)算危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力： 4、對(duì)梁進(jìn)行強(qiáng)度校核： 梁的強(qiáng)度是安全的。,-20kN,40kN,20kN,20kN,-20kN,Fq,-12kNm,16kNm,M,A,C,B,16kNm,x,MZ,x,MZ,B截面應(yīng)力分布,A截面應(yīng)力分布,+,-,+,-,max,max,max,max,基于最大正應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算,例4-8 圖示行車梁由32a熱軋工字鋼制成，已知起吊時(shí)重物與 y 軸之間的夾角 =5; = 160MPa ，試校核梁的強(qiáng)度。,80kN,80kN,40kN,40kN,A,C,B,z,4000,4000,y,基于最大正應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算,解：1、將重物的力在z、y軸投影： 2、作內(nèi)力圖 3、查表得32a熱軋工字鋼的抗彎截面模量 4、計(jì)算橫截面最大正應(yīng)力,Fpy,0.5Fpy,0.5Fpy,Fpy,79.69kNm,Fpz,0.5Fpz,Fpz,6.97kNm,+,+,基于最大正應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算,5、最大應(yīng)力在梁的中間截面的兩點(diǎn)如圖： 可見 max = 217.8MPa= 160MPa ； 梁不安全。 討論： 1、兩個(gè)方向外力作用，正應(yīng)力如何相加需要作圖多練習(xí)。 2、當(dāng)重物的力垂直時(shí)，梁是安全的。,課外練習(xí)：4-10；4-11；,Fpz,F