3.1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)、一維單原子鏈PPT參考課件.ppt

1、第三章 晶格振動和晶體的熱學(xué)性質(zhì)Lattice vibrations and thermal properties of crystals,1,晶格中的格點表示原子的平衡位置 晶格振動指原子在格點附近的振動,晶格振動的研究，最早是從晶體熱學(xué)性質(zhì)開始的,經(jīng)典統(tǒng)計對 Dulong-Petit 經(jīng)驗規(guī)律的說明是把熱容量和原子振動具體聯(lián)系起來的一個重要成就,不能解釋在較低溫度下熱容量隨溫度降低而不斷下降的現(xiàn)象,熱運動在宏觀性質(zhì)上最直接的表現(xiàn)就是熱容量,2,Einstein 發(fā)展了Planck 的量子假說, 第一次提出了量子熱容量理論, 得出熱容量在低溫范圍下降, 并在 T 0K 時趨于 0 的結(jié)論,量

2、子理論的熱容量值和經(jīng)典不同, 它與原子振動的具體頻率有關(guān), 從而推動了對固體原子振動進行具體的研究,這項在量子理論發(fā)展中占有重要地位的成就，對于原子振動的研究也有重要影響,3,晶格振動是研究固體宏觀性質(zhì)和微觀過程的重要基礎(chǔ),對晶體的電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、超導(dǎo)電性、磁性、結(jié)構(gòu)相變 等一系列物理問題, 晶格振動都有著很重要的作用,以后的研究確立了晶格振動采取 格波 的形式,這一章的介紹格波的概念, 并在晶格振動理論的基礎(chǔ)上扼要講述晶體的宏觀熱學(xué)性質(zhì),4,3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo),從經(jīng)典力學(xué)的觀點, 晶格振動是一個典型的小振動問題。凡是力學(xué)體系自平衡位置發(fā)生微小偏移時, 該力學(xué)體系的運動都是小振動,

3、如果晶體包含 N 個原子, 平衡位置為 Rn , 偏離平衡位置的位移矢量為n(t), 則原子的位置 Rn(t) = Rn +n(t),1. 簡諧近似,處理小振動問題時往往選用與平衡位置的偏離為宗量,位移矢量n(t) 的 3N 個分量寫成i (i=1,2,3N),5,下腳標(biāo) 0 標(biāo)明是平衡位置時所具有的值. 可設(shè) V0=0, 有,略去二次以上的高階項, 得到,N 個原子體系的勢能函數(shù)可以在平衡位置附近展開成泰勒級數(shù),6,體系的勢能函數(shù)只保留至 i 的二次方項, 稱為簡諧近似,處理小振動問題一般都取簡諧近似 對于一個具體問題是否可以采取簡諧近似, 要看在簡諧近似下得到的理論結(jié)果是否與實驗相一致,高

4、階項的作用, 稱為非諧作用,7,引入簡正坐標(biāo) (normal coordinates),正交變換,N 個原子體系的動能函數(shù)為,2. 簡正坐標(biāo)與振動模,使內(nèi)能函數(shù)和動能函數(shù)化為平方項之和而無交叉項,勢能系數(shù)為正值, 這里寫成 j2, 表明原來原子在格點上是一穩(wěn)定的平衡狀態(tài),8,由分析力學(xué)的一般方法, 由動能和勢能公式可以直接寫出拉格朗日函數(shù) L=TV, 得到正則動量,并寫出哈密頓量,應(yīng)用正則方程得到,表明各簡正坐標(biāo)描述獨立的簡諧振動,這是 3N 個線性無關(guān)的方程,9,任意簡正坐標(biāo)的解為,i 是振動的圓頻率 i 2i . 原子的位移坐標(biāo)和簡正坐標(biāo)之間存在著正交變換關(guān)系。當(dāng)只考慮某一個 Qj 的振動

5、時,一個簡正振動并不是表示某一個原子的振動, 而是表示整個晶體所有原子都參與的(簡諧)振動, 而且它們的振動頻率相同,由簡正坐標(biāo)所代表的，體系中所有原子一起參與的共同振動，常常稱為一個振動模（或簡正模）,10,根據(jù)經(jīng)典力學(xué)寫出的哈密頓量, 可以直接用來作為量子力學(xué)分析的出發(fā)點, 只要把 pi 和 Qi 看作量子力學(xué)中的正則共軛算符,3. 量子描述,方程表示一系列相互獨立的簡諧振子,按照一般的方法, 把 pi 寫成 就得到波動方程,11,對于其中每一簡正坐標(biāo)有,諧振子方程的解,表示厄米多項式,12,系統(tǒng)的本征態(tài),可見只要能找到該體系的簡正坐標(biāo), 或者說振動模, 問題就解決了,下面將結(jié)合簡單的例子

6、, 把這里的一般性結(jié)論具體化,13,3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo) 小 結(jié),體系的勢能函數(shù)展開至位移坐標(biāo)的二次方項, 稱為簡諧近似,由簡正坐標(biāo)所代表的, 體系中所有原子一起參與的共同振動, 常常稱為一個振動模（或簡正模）,簡正坐標(biāo)是通過正交變換引入的, 使內(nèi)能函數(shù)和動能函數(shù)同時化為平方項之和而無交叉項的坐標(biāo),14,3-2 一維單原子鏈,晶格具有周期性, 因而晶格的振動模具有波的形式, 稱為格 波,格波和一般連續(xù)介質(zhì)波有共同的波的特征，但也有它不同的特點,一維原子鏈?zhǔn)顷P(guān)于格波的典型例子, 它的振動既簡單可解, 又能較全面地表現(xiàn)格波的基本特點,1. 格波解,15,單原子鏈可以看作一個最簡單的晶格,平衡

7、時相鄰原子間距為 a, 每個原胞內(nèi)含有一個原子, 質(zhì)量為 m,原子限制在沿鏈的方向運動，偏離格點的位移用 ,n-1, n, n+1, 表示,假設(shè)只有近鄰原子間存在相互作用, 互作用能可以一般地寫成,表示對平衡 距離 a 的偏離,16,這里相互作用能保留到項, 即簡諧近似, 在這個近似下，相鄰原子間的作用力為,表明存在于相鄰原子間的是正比于相對位移的彈性恢復(fù)力,先根據(jù)牛頓定律用直接求解運動方程的方法, 求解鏈的振動模。這和根據(jù)分析力學(xué)原理, 引入簡正坐標(biāo)是等效的。然后再說明為二者之間的關(guān)系,17,右邊第 (n1) 個原子與它的相對位移是n1n, 力為(n1n),第 n 個原子受到左右兩個近鄰原子

8、的作用力,左邊第 (n1) 個原子與它的相對位移是nn-1,力為(nn-1),考慮到兩個力的作用方向相反, 得到運動方程,18,每個原子對應(yīng)有一個方程, 若原子鏈有 N 個原子, 則有 N 個方程, 上式實際上代表著 N 個聯(lián)立的線性齊次方程,方程具有“格波”形式的解,其中、A 為常數(shù). 由于方程是線性齊次的, 可以用復(fù)數(shù)形式的解，其實部或虛部部分都代表方程的實解. 有,19,它與 n 無關(guān), 表明 N 個聯(lián)立的方程都?xì)w結(jié)為同一個方程,通常把 和 q 之間的關(guān)系稱為色散關(guān)系 dispersion relation,也就是說, 只要和 q 之間滿足上式的關(guān)系, 前面的解就表示了聯(lián)立方程組的解,2

9、0,有完全相同的形式, 其中 是波的圓頻率, 是波長, q = 2/稱為波數(shù),它與一般連續(xù)介質(zhì)波,的物理意義:,區(qū)別于連續(xù)介質(zhì)波中 x 表示空間任意一點，而在這里只取 na 格點的位置，這是一系列呈周期性排列的點,一個格波解表示所有原子同時做頻率為的振動, 不同原子之間有位相差。相鄰原子之間的位相差為 aq,21,如果在 中把 aq 改變一個 2 的整數(shù)倍, 所有原子的振動實際上完全沒有任何不同。這表明 aq 可以限制在下面范圍內(nèi),或,這個范圍以外的 q 值, 并不能提供其它不同的波,q 的取值范圍常稱為布里淵區(qū) (Brillouin zone),格波與連續(xù)介質(zhì)波一個重要的區(qū)別在于波數(shù) q 的

10、含義,22,每個原子的位移畫在垂直鏈的方向,實線表示把原子振動看成q=/2a (即波長=4a 的波),虛線表示完全相同的原子振動, 同樣可看成 q=5/2a (即波長= 4a/5 的波),二者 aq 相差 2, 按前一種方式, 兩相鄰原子振動位相差是/2, 后一種方式相當(dāng)于 (2+/2), 效果完全是一樣的,23,問題：q=7/2a 波與 q=/2a 的波等價嗎？ 不等價,24,前面所考慮的運動方程只適用于無窮長的鏈,為了避免這種情況, 玻恩-卡曼(Born-von Karman) 提出包含 N 個原胞的環(huán)狀鏈作為一個有限鏈的模型, 它包含有限數(shù)目的原子, 然而保持所有原胞完全等價, 以前的運

11、動方程仍舊有效,雖然僅少數(shù)原子運動方程不同，但由于所有原子的方程都是聯(lián)立的，具體解方程就復(fù)雜得多,在只有近鄰相互作用時，最兩端的原子只受到一個近鄰的作用，它們將有與其它原子形式不同的運動方程,25,若環(huán)半徑很大, 沿環(huán)的運動仍舊可以看作是直線的運動,區(qū)別只在于必須考慮到鏈的循環(huán)性, 原胞的標(biāo)數(shù) n 增加 N, 振動情況必須復(fù)原, 這要求,或,26,N 就是一維單原子鏈的自由度數(shù), 這表明已經(jīng)得到鏈的全部振動模,前面指出, q 的取值范圍由 /a 到/a, h 的取值只能由N/2 到 N/2, 一共有 N 個不同數(shù)值,所以, 由 N 個原胞組成的鏈, q 可以有 N 個不同的值, 每個 q 對應(yīng)一個不同的格波, 共有 N 個不同的格波,玻恩-卡曼的模型起著一個邊界條件的作用, 用這個模型并未改變運動方程的解, 而只是對解提出一定條件 , 稱它為玻恩卡曼條件, 或稱為周期性邊界條件,27,色散關(guān)系的兩點討論:,取正根,由于格波的特性, q 的取值在-/a 到 +/a 之間,由于周期性邊界條件, q 的允許值為這一區(qū)間中均勻分布的 N 個點,28,當(dāng) q 遠(yuǎn)小于/a, 相當(dāng)于波長a, 正比于 q, 即,這類似于連續(xù)介質(zhì)波的情況。如果注意到相