高等數(shù)學(xué)第五周講義.ppt

1、3、掌握無窮小的概念及性質(zhì)，理解無窮小階的概念并能比較兩個(gè)無窮小。,注意無窮小、無窮大、無界的關(guān)系,如判斷：函數(shù),是否無界，是否為無窮大量。,P33:B(1),4、掌握函數(shù)連續(xù)性的定義及判斷，會(huì)判斷間斷點(diǎn)的類型,函數(shù)常見的間斷點(diǎn)來源：函數(shù)無定義的點(diǎn)、分段函數(shù)的分界點(diǎn)。,討論函數(shù),的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，判別其類型。,P543（4）,掌握初等函數(shù)的連續(xù)性、并會(huì)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值定理、介值定理)進(jìn)行簡單的證明。,如：P62（B（2）、P64(7),第一章總復(fù)習(xí)題選講,如：當(dāng),又如：,時(shí)，,求a,b,P64(5),圓內(nèi)接正 n 邊形面積為,例：求半徑為R的圓的面積,例9（連續(xù)復(fù)利問題）,連

2、續(xù)復(fù)利公式：,課后作業(yè),P48(A) 3 P54(A) 3(1,2) P59(A) 奇數(shù)題,第二章,導(dǎo)數(shù)與微分,第一節(jié),導(dǎo)數(shù)的概念,引例,1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度,設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)位移與時(shí)間的函數(shù)為,則 到 的平均速度為,而在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為,2. 曲線在某點(diǎn)的切線,割線 M N 的斜率,上述屬同類數(shù)學(xué)問題。,瞬時(shí)速度,切線斜率,二、函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo),定義 . 設(shè)函數(shù),在點(diǎn),存在,并稱此極限為,記作:,則稱函數(shù),若,的某鄰域內(nèi)有定義 ,若上述極限不存在 ,在點(diǎn) 不可導(dǎo).,就說函數(shù),函數(shù)在x0處可導(dǎo)的增量形式,在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度：位移關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。,曲線在 M 點(diǎn)處的切線斜率：曲線在M處的導(dǎo)數(shù)

3、,引例問題的解：,導(dǎo)數(shù)就是一種特殊類型的極限。,例1：求函數(shù)y=x2+1在x=2處的導(dǎo)數(shù)。,解：,函數(shù)的增量：,若函數(shù)在開區(qū)間 I 內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)與自變量之間構(gòu)成的函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).,記作:,就稱函數(shù)在 I 內(nèi)可導(dǎo).,函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）,求基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例6. 求函數(shù),的導(dǎo)數(shù).,解:,則,即,類似可證得,在點(diǎn),的某個(gè)右 鄰域內(nèi),四、 單側(cè)導(dǎo)數(shù),若極限,則稱此極限值為,在 處的右 導(dǎo)數(shù),記作,即,(左),(左),定義 . 設(shè)函數(shù),有定義,存在,定理. 函數(shù),在點(diǎn),且,存在,簡寫為,可導(dǎo)的充分必要條件,是,例. 證明函數(shù),在 x = 0 不可導(dǎo).,證:,不存在 ,五、 函數(shù)的

4、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,定理.,證:,設(shè),在點(diǎn) x 處可導(dǎo),存在 ,因此必有,其中,故,所以函數(shù),在點(diǎn) x 連續(xù) .,注意: 函數(shù)在點(diǎn) x 連續(xù)未必可導(dǎo).,反例:,在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導(dǎo).,即,定理3. 函數(shù),(左),(左),若函數(shù),與,都存在 ,則稱,顯然:,在閉區(qū)間 a , b 上可導(dǎo),在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間 上可導(dǎo).,且,第二節(jié),函數(shù)的求導(dǎo)法則,第二章,一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則,定理1.,的和、,差、,積、,商 (除分母,為 0的點(diǎn)外) 都在點(diǎn) x 可導(dǎo),且,此法則可推廣到任意有限項(xiàng)的情形.,證:,設(shè), 則,故結(jié)論成立.,例如,(2),證: 設(shè),故結(jié)論成立.,推論:,( C為

5、常數(shù) ),求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,(3),證: 設(shè),則有,故結(jié)論成立.,推論:,( C為常數(shù) ),例2. 求證,證:,類似可證:,二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則,定理4.,y 的某鄰域內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)可導(dǎo),證:,在 x 處給增量,由反函數(shù)的單調(diào)性知,且由反函數(shù)的連續(xù)性知,因此,證明的另外一種寫法：,例. 求反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,解: 1) 設(shè),則,類似可求得, 則,在點(diǎn) x 可導(dǎo),三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,定理5.,在點(diǎn),可導(dǎo),復(fù)合函數(shù),且,在點(diǎn) x 可導(dǎo),證:,在點(diǎn) u 可導(dǎo),故,（當(dāng) 時(shí) ),故有,例：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。,例如,關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).,推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.

6、,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t,例. 設(shè),求,例6. 設(shè),基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (P78),定義.,若函數(shù),的導(dǎo)數(shù),可導(dǎo),或,即,或,類似地 , 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù) ,階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 n 階導(dǎo)數(shù) ,或,的二階導(dǎo)數(shù) ,記作,的導(dǎo)數(shù)為,依次類推 ,分別記作,則稱,五、高階導(dǎo)數(shù),求冪函數(shù),的各階導(dǎo)數(shù)。,求,例，設(shè),例.,求,課后作業(yè),P73（A）（1） P83（A）（2、3）,第三節(jié),隱函數(shù)和參變量函數(shù)求導(dǎo)法則,第二章,一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若由方程,可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由,表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù) .,例如,可確定顯函數(shù),可確定 y 是 x 的函數(shù) ,函數(shù)為隱函數(shù) .,則稱此,（1）隱函

7、數(shù)與顯函數(shù)的概念。,（2）隱函數(shù)求導(dǎo)方法：方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)。,兩邊對(duì) x 求導(dǎo),(解含導(dǎo)數(shù) 的方程),例. 求由方程,的導(dǎo)數(shù)，并求在 x = 0處的導(dǎo)數(shù)值。,解: 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo),得,因 x = 0 時(shí) y = 0 , 故,確定的隱函數(shù),求由方程,確定的函數(shù)y=y(x)、函數(shù)x=x(y)的導(dǎo)數(shù),例. 求,的導(dǎo)數(shù) .,解: 兩邊取對(duì)數(shù) ,兩邊對(duì) x 求導(dǎo),兩邊求導(dǎo)法在顯函數(shù)上的應(yīng)用：取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。,用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) :,冪指函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的求法。,例如,兩邊取對(duì)數(shù),兩邊對(duì) x 求導(dǎo),二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),參數(shù)方程：,可以確定一個(gè) y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系,由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)

8、數(shù),若參數(shù)方程,可確定一個(gè) y 與 x 之間的函數(shù),可導(dǎo), 且,則,時(shí), 有,時(shí), 有,(此時(shí)看成 x 是 y 的函數(shù) ),關(guān)系,例8：設(shè)函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程：,所確定，求此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。,例7：設(shè)函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程：,所確定，求此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。,二階可導(dǎo),且,則由它確定的函數(shù),可求二階導(dǎo)數(shù) .,若參數(shù)方程中,例9. 設(shè)由方程,確定函數(shù),求,課堂作業(yè),第四節(jié),微分,第二章,一、微分的概念,引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少?,變到,邊長由,其,主要部分,可忽略部分,故,的微分,定義: 若函數(shù),在點(diǎn) 的增量可表示為,( A 為不依賴于x 的常數(shù)),則稱函

9、數(shù),而 稱為,記作,即,在點(diǎn),可微,微分就是函數(shù)增量的線性主要部分,例：若x=1，對(duì)于x=0.1,0.05時(shí)，對(duì)于y=x3，dy分別是多少？,定理 : 函數(shù),證: “必要性”,已知,在點(diǎn) 可微 ,則,故,在點(diǎn) 可導(dǎo),且,在點(diǎn) 可微的充要條件是,在點(diǎn) 處可導(dǎo),且,即,微分的求法,“充分性”,已知,即,在點(diǎn) 可導(dǎo),則,求函數(shù)y=x在任意一點(diǎn)處的微分,從而,導(dǎo)數(shù)也叫作微商,微分的幾何意義,切線縱坐標(biāo)的增量,例如,又如,二、 微分運(yùn)算法則,設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 則,(C 為常數(shù)),基本初等函數(shù)的微分公式 (見 P91),微分運(yùn)算法則：復(fù)合函數(shù)的微分。,分別可微 ,的微分為,一階微分形

10、式的不變性,則復(fù)合函數(shù),例.,求,解:,課堂練習(xí),例. 設(shè),求,隱函數(shù)的微分：兩邊求微分,三、 微分的應(yīng)用：近似計(jì)算,當(dāng),很小時(shí),得近似等式:,的近似值 .,例5. 計(jì)算,近似計(jì)算使用原則:,特別當(dāng),常用近似公式:,很小),證明:,令,得,（x要接近0）,第二章 復(fù)習(xí)及習(xí)題課,1、導(dǎo)數(shù) （1）會(huì)判斷導(dǎo)數(shù)的存在與不存在； （2）會(huì)求導(dǎo)數(shù)（含掌握基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式，掌握導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法和取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。 掌握初等函數(shù)一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法高階導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及參變量導(dǎo)數(shù)）,（3）理解導(dǎo)數(shù)幾何意義,（1）理解微分的概念，會(huì)求函數(shù)的微分。 （2）微分的簡單應(yīng)用,會(huì)求微分,習(xí) 題 選 講,判斷下列函數(shù)在0點(diǎn)的連續(xù)性和可導(dǎo)性,當(dāng)為何值時(shí)，下列函數(shù)在0處連續(xù)、在0處可導(dǎo)。,可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù),證明：,可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),若函數(shù)在x=a處可導(dǎo)，求下列極限。,若下列極限存在，問函數(shù)在a處是否可導(dǎo)。,設(shè),求,求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù),的n