《隨機(jī)變量及分布》PPT課件.ppt

1、,三、獨(dú)立試驗(yàn) 伯努利試驗(yàn),1. n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 指在不變的條件下將同一試驗(yàn)E獨(dú)立地重復(fù)作n次: 各次試驗(yàn)不但相互獨(dú)立,而且每個(gè)事件在各次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率相同.,2. 伯努利試驗(yàn) 只計(jì)兩種對(duì)立結(jié)局(“成功”和“失敗”)的試驗(yàn). 將伯努利試驗(yàn)E獨(dú)立地重復(fù)作n次, 稱作n次伯努利試驗(yàn), 對(duì)于n次伯努利試驗(yàn),每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)局,分別稱作“成功”和“失敗”; (2) 各次試驗(yàn)成功的概率相同; (3) 各次試驗(yàn)相互獨(dú)立.,(伯努利試驗(yàn)) 設(shè)伯努利試驗(yàn)成功的概率為p. 那么n次伯努利試驗(yàn), 恰好有k (0kn)次成功的概率.,該式有時(shí)稱作伯努利公式.,例 設(shè)某人連續(xù)投籃3次,他至少投中一次的概率

2、為0.992,求該人投4次至少有1次未中的概率.,例 一本有50頁(yè)的雜志中共有50個(gè)錯(cuò)誤,每個(gè)錯(cuò)誤等可能的出現(xiàn)在每一頁(yè)上,求指定的某一頁(yè)上至少有2個(gè)錯(cuò)誤的概率.,解 以vn 表示n次伯努利試驗(yàn)成功的次數(shù), 需要求事件vn = k (k = 0,1,n)的概率. 引進(jìn) 事件: Am = 第m次試驗(yàn)成功 ( m=1,2,n); 由于試驗(yàn)的獨(dú)立性, 可見(jiàn)事件 A1, A2, An 相互獨(dú)立. q = 1p是試驗(yàn)失敗的概率. 若以A表示成功, 則對(duì)任意事件列 B1, B2, Bn , 其中 Bi = A或 (i = 1, 2, , n), 有,其中k和 nk分別是 B1, B2, Bn中 A和 出現(xiàn)的

3、次數(shù). 事件vn = k是一切含k個(gè)A和nk個(gè) 的形如 (B1B2Bn) 的事件之和: 例如,就是其中的一種情形, 事件vn = k是 的形如 (B1B2Bn) 的不相容事件的和, 因而,(1.26),該式有時(shí)稱作伯努利公式.,一、隨機(jī)變量的概率和例 二、隨機(jī)變量的定義和與其有關(guān)的事件 三、隨機(jī)變量的類型和分布函數(shù),第一節(jié) 隨機(jī)變量及其概率分布,第二章 隨機(jī)變量及分布,動(dòng)機(jī)：將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化,例1 拋一枚硬幣，觀察正反面的出現(xiàn)情況，,一 隨機(jī)變量,就是一個(gè)隨機(jī)變量。,引入隨機(jī)變量以后,隨機(jī)事件就可以用隨機(jī)變量在某范圍的取值來(lái)表示.,隨機(jī)變量的取值隨試驗(yàn)的結(jié)果而定, 因此試驗(yàn)之前,我們只知

4、道它可能取值的范圍,而不能預(yù)知它取什么值,由于試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)有一定的概率,因此隨機(jī)變量取各個(gè)值也有一定的概率.,只有有限個(gè)或無(wú)窮可列個(gè)可能值的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量; 連續(xù)型隨機(jī)變量是連續(xù)取值的隨機(jī)變量.,例1 考慮隨機(jī)試驗(yàn): 接連進(jìn)行兩次射擊. 以=(i,j)表示基本事件, 其中i, j=0或1, 其中“0”表示脫靶, “1”表示命中. 那么, 兩次射擊命中的次數(shù)X是基本事件的函數(shù), 故是一隨機(jī)變量, 有0,1,2三個(gè)可能值(見(jiàn)表).,表隨機(jī)變量 基本事件的函數(shù),X = X(),(0,0) (0,1) (1,0) (1,1),0 1 1 2,例 對(duì)于任何事件A, 設(shè),若A出現(xiàn),若

5、出現(xiàn).,由于A是隨機(jī)變量, 因此 是隨機(jī)變量.,隨機(jī)變量,隨機(jī)變量的分類：,從兩方面研究隨機(jī)變量： 研究隨機(jī)變量的取值規(guī)律 研究隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律,二 離散型隨機(jī)變量及其分布律,對(duì)于離散型隨機(jī)變量，關(guān)鍵是要確定：,1）所有可能的取值是什么？,2）取任意可能值的概率是多少？,分布律（1）也常常寫成如下的表格形式.,顯然有：,或者也可以表示為,例1 擲一顆勻稱的骰子，以 表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求 的分布律.,解 的可能取值為,而由等可能性，它取每一個(gè)值的概率均為1/6 ， 故其分布律為,例設(shè)一汽車在開往目的地的路上需經(jīng)過(guò)四盞燈,每盞信號(hào)燈以0.5的概率允許或禁止汽車通過(guò),以X表示汽車首次停下時(shí)，它已

6、通過(guò)的信號(hào)燈的盞數(shù)（設(shè)各盞信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的），求其分布律。,若,的分布律為,或者,如果試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)：成功與失敗，并且成功的概率為p，則成功的次數(shù) 服從分布。,例3 設(shè)袋中有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的球若干個(gè),從中任取一個(gè),(1)假設(shè)取到各號(hào)球的概率與球上的號(hào)碼成正比,求取到球上號(hào)碼X的概率分布;(2)假設(shè)取到各號(hào)球的概率與球上的號(hào)碼成反比,求取到球上號(hào)碼Y的概率分布并計(jì)算 .,解,解,三、隨機(jī)變量的分布函數(shù),隨機(jī)變量的概率分布, 指概率在隨機(jī)變量值域內(nèi)的分布, 是隨機(jī)變量最基本和最重要的特征.,對(duì)于任何隨機(jī)變量X, 函數(shù),F(x) = PX x ( x + ),稱作X的分布函數(shù).,1

7、. 分布函數(shù)的基本性質(zhì),(1) 0 F(x) 1, 是單調(diào)不減函數(shù);,(2) F(x)是右連續(xù)函數(shù): 對(duì)于任意 x + ,(3) F() = 0, F( + ) = 1, 其中,(4) 離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為,其中表示對(duì)于不大于x的一切可能值xk 求和.,(5) 根據(jù)分布函數(shù)可以求隨機(jī)變量有關(guān)事件的概率. 例如,解 由概率的可加性,得所求的分布函數(shù)為,即,又,例2 假設(shè)10件產(chǎn)品中有8件優(yōu)質(zhì)品, 2件劣質(zhì)品, 從中一件一件地抽驗(yàn)產(chǎn)品直到抽到優(yōu)質(zhì)品為止. 試求最后抽驗(yàn)產(chǎn)品件數(shù)X的分布函數(shù).,解 先求X的概率分布. 易見(jiàn), X有1,2,3等3個(gè)可能值; 由于先隨機(jī)地抽取一件, 10件產(chǎn)品都是

8、等可能的, 可見(jiàn),于是, X的分布函數(shù)為,四 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度,概率密度及其性質(zhì),記作,概率密度具有如下兩條基本性質(zhì):,另外,連續(xù)型隨機(jī)變量還具有如下性質(zhì):,1),4) 連續(xù)型隨機(jī)變量取任何一個(gè)指定值的概率為0.,即,對(duì)于任意常數(shù)C,有,3) 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù).,因?yàn)?例1 已知隨機(jī)變量的,的概率密度為,且,試確定常數(shù),并求,解,解方程組得,從而,例2 已知隨機(jī)變量的,的概率密度為,求 的分布函數(shù).,解,例3 已知隨機(jī)變量的,的概率密度為,求 的分布函數(shù).,解,解,解 由題設(shè)知,解得,于是,一、常見(jiàn)離散型概率分布 二、離散型概率分布的例題,第二節(jié) 常用的離散型分布,（

9、一）0-1分布,或者,則稱隨機(jī)變量 服從參數(shù)為p的0-1分布.,如果試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)：成功與失敗，并且成功的概率為p，則成功的次數(shù) 服從參數(shù)為p的0-1分布。,（二）二項(xiàng)分布(Binomial Distribution),二項(xiàng)分布的背景是伯努利試驗(yàn)：如果每次試驗(yàn)中成功的概率均為p，則在n重伯努利試驗(yàn)中成功的次數(shù)服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。,注意，當(dāng)n=1時(shí)二項(xiàng)分布就是0-1分布。,定理:如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p),則隨機(jī)變量Y=n-X服從二項(xiàng)分布B(n,q),其中q=1-p。,顯然有：,例1 擲3顆色子,求”恰好出現(xiàn)1次6點(diǎn)”的概率與”至少出現(xiàn)1次6點(diǎn)”的概率。,解,所以有,例2

10、 進(jìn)行3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)至少成功1次的概率為99.9%,若將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行4次,求失敗與成功次數(shù)相等的概率。,解,所以有,例3 某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次擊中的概率均為0.02,獨(dú)立射擊400次，試求至少擊中兩次的概率。,所以有,直接計(jì)算上式比較麻煩，為此需要一個(gè)近似計(jì)算公式。我們先引入一個(gè)重要的分布。,(三) 泊松分布(Poisson Distribution),如果隨機(jī)變量,的分布律為：,則稱隨機(jī)變量,服從參數(shù)為,的泊松分布。,記為,實(shí)例：1）普魯士騎兵每年被馬踢死的人數(shù)服從參數(shù)為0.61的泊松分布；2）1500年到1932年之間每年發(fā)生戰(zhàn)爭(zhēng)的次數(shù)（規(guī)模超過(guò)50000人）服從參數(shù)為0.69的泊松

11、分布。,泊松分布與二項(xiàng)分布之間有密切的聯(lián)系，這一點(diǎn)由下面的泊松定理所闡述。,泊松定理,設(shè)隨機(jī)變量,且,則有,證略,因此,由定理,當(dāng)n很大p很小時(shí)，就有,設(shè)X為離散型隨機(jī)變量,且概率分布表示為,其中xi為(i=1,2,r,)是X的一切(r個(gè)或者可數(shù)個(gè))可能值.表示離散型概率分布的方法, 有時(shí)用下面形如式的矩陣表示, 或用形如表的分布表表示:,表 離散型變量X的概率分布,xi,PX = xi,x1 x2 xr ,p1 p2 pr ,1,因此,該例題表明,即使是一個(gè)命中率很低的射手,在大量的射擊中至少擊中兩次或兩次以上概率還是很大的.因此在大數(shù)次的試驗(yàn)中,不能忽略小概率事件.,例4 設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功

12、率為98.5%,現(xiàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行100次該項(xiàng)試驗(yàn),求只失敗1次的概率?,解,例5 為了保證設(shè)備正常工作，需配備適量的維修工人(工人配備多了浪費(fèi),配備少了又要影響生產(chǎn)),現(xiàn)有同類型的設(shè)備300臺(tái),各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺(tái)設(shè)備的故障可由一個(gè)人來(lái)處理(我們也只考慮這種情形),問(wèn)至少需配備多少工人,才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01?,解 設(shè)需配備N人,記同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備臺(tái)數(shù)為X,則 XB(300,0.01).所需解決的問(wèn)題是確定最小的N,使得,由泊松定理,(1),于是(1)式化為,經(jīng)查表計(jì)算知,滿足上式最小的N是8.因此,為達(dá)到上述要

13、求,至少需配備8個(gè)工人.,例6 設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備,各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺(tái)機(jī)器的故障能由一個(gè)人處理.考慮兩種配備維修工人的方法,其一是由4人維修,每人負(fù)責(zé)20臺(tái);其二是由3人共同維修80臺(tái).試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小.,解 先考慮第一種方法,以 X 表示第一個(gè)人維護(hù)的20臺(tái)機(jī)器中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù),則 XB(20,0.01).,于是,第一個(gè)人來(lái)不及維修的概率為,設(shè)A為“四個(gè)人中至少有一個(gè)人來(lái)不及維修”這一事件，則有,以 Y 表示3個(gè)人共同維護(hù)的80臺(tái)機(jī)器中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù),則 YB(80,0.01).于是他們來(lái)不及維修

14、的概率為,按第二種方法效率更高！,例7 一立方體的三個(gè)側(cè)面上印有“0”, 兩個(gè)側(cè)面上印有“1”, 另一側(cè)面上印有“2”, 若將其隨意投擲在桌面上, 并以X表示朝上的側(cè)面上的數(shù)字, 求X的概率分布.,解 隨意將該正立方體投擲在桌面上, 可能出現(xiàn)6種等可能的情形(基本事件), 其中有利于出現(xiàn)“0”, “1”和“2”的情形, 分別有3,2,1種. 因此,例8 一條交通干線上5處設(shè)有紅綠信號(hào)燈, 兩種信號(hào)交替開放, 且紅燈和綠燈開放的時(shí)間為2:3. 假設(shè)有一輛汽車沿此街道駛過(guò), 以X表示它首次遇到紅燈之前已通過(guò)綠燈的次數(shù). 求X的概率分布.,解 隨機(jī)變量X有0,1,5等6個(gè)可能值. 設(shè)Ak = 汽車在

15、第k個(gè)信號(hào)燈處首次遇到紅燈 (k = 1,2,3,4,5). 事件A1, A2, , A5 顯然相互獨(dú)立, 且P(Ak)=2/5 (k = 1,2,3,4,5). 因此, 有,例9 假設(shè)碩士研究生入學(xué)數(shù)學(xué)考試及格率為0.60, 求14名考生中及格人數(shù)X的概率分布, 并列出分布的數(shù)值表.,解 n = 14名考生參加考試, 可以視為14次伯努利試驗(yàn), 每名考生考試及格為“成功”, 不及格為“失敗”, 成功的概率為p = 0.60. 因此14名考生中及格人數(shù)X服從參數(shù)為(14,0.60)的二項(xiàng)分布(表是該二項(xiàng)分布的數(shù)值表):,k,pk,k,pk,k,pk,k,pk,0,0.000003,1,0.00

16、006,2,0.00055,3,0.00330,4,0.01360,5,0.04081,6,0.09282,7,0.00330,8,0.20660,9,0.20660,10,0.15495,11,0.08452,12,0.03169,13,0.00781,14,0.00078,表 參數(shù)為(14,0.60)的二項(xiàng)分布表,例10 某生產(chǎn)線平均每3分鐘生產(chǎn)一件產(chǎn)品, 假設(shè)不合格品率為0.01. 求8小時(shí)內(nèi)出現(xiàn)不合格品件數(shù)X的概率分布; (2) 問(wèn): 為使至少出現(xiàn)一件不合格品的概率不小于0.95, 最少需要多長(zhǎng)時(shí)間?,解 (1) 由條件知, 若平均每3分鐘生產(chǎn)一件產(chǎn)品, 則8小時(shí)內(nèi)平均可以生產(chǎn)860/

17、3=160件產(chǎn)品, 每件產(chǎn)品為不合格品的概率是p = 0.01, 在160件成品中不合格品的件數(shù)X顯然服從參數(shù)為(160,0.01)的二項(xiàng)分布.,(2) 設(shè)n為至少出現(xiàn)一件不合格品所要生產(chǎn)產(chǎn)品的件數(shù), 則n件產(chǎn)品中不合格品的件數(shù)vn服從參數(shù)為(n,0.01)的二項(xiàng)分布; 按題意, n應(yīng)滿足條件,于是, 至少出現(xiàn)一件不合格品的概率不小于95%,最少需要298.07293895分鐘, 即將近14小時(shí)55分鐘.,解 以X表示隨意抽取的一頁(yè)上印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù), 以Xk(k = 1,2,3,4)表示隨意抽取的第k頁(yè)上印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù), 由條件知X和Xk (k = 1,2,3,4)服從同一泊松分布, 未知分布

18、參數(shù)取決于條件:,例11 設(shè)一本書的各頁(yè)的印刷錯(cuò)誤個(gè)數(shù)X服從泊松分布律.已知有一個(gè)和兩個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁(yè)數(shù)相同,求隨意抽查的4頁(yè)中無(wú)印刷錯(cuò)誤的概率p.,于是 = 2. 由于事件Xk = 0 (k = 1,2,3,4)顯然相互獨(dú)立, 因此,第三節(jié). 三種重要的連續(xù)型分布,(一 )均勻分布(Uniform Distribution),解 知 的分布函數(shù)為,于是,解 由題設(shè)知 的概率密度為,于是,若以Y表示三次獨(dú)立觀測(cè)中觀測(cè)值大于3的次數(shù)(即在三次試驗(yàn)中X3出現(xiàn)的次數(shù)),則,故所求的概率為,二.指數(shù)分布(Exponential Distribution),如果隨機(jī)變量,的概率密度為,則稱 X 服從參數(shù)為

19、,的指數(shù)分布.,易知，若,則其分布函數(shù)為,指數(shù)分布在排隊(duì)論和可靠性理論中有廣泛的應(yīng)用，常常用它來(lái)作為各種“壽命”的分布的近似.例如,電子元件的壽命,電話的通話時(shí)間,微生物的壽命,隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間等都可認(rèn)為是近似服從指數(shù)分布.,指數(shù)分布的一個(gè)重要性質(zhì)就是“無(wú)后效性”或“無(wú)記憶性”.具體敘述如下.,設(shè),則對(duì)于任意的 s 0, t 0,有,事實(shí)上，有,假如把服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量解釋為某元件工作的壽命,則上式表明,在該元件已工作了s小時(shí)的條件下,它還能繼續(xù)工作t小時(shí)的概率與已經(jīng)工作過(guò)的時(shí)間s無(wú)關(guān).換句話說(shuō),如果元件在時(shí)刻s還“活著”,則它的剩余壽命的分布還是原來(lái)壽命的分布,而與它已工作了多長(zhǎng)

20、的時(shí)間無(wú)關(guān).所以有時(shí)又稱指數(shù)分布是“永遠(yuǎn)年輕”的.值得指出的是,我們可以證明,指數(shù)分布是唯一具有無(wú)記憶性的連續(xù)型分布.,例3 某元件使用壽命X(單位:h)服從=0.002的指數(shù)分布.求該元件使用了500h還完好的概率以及該元件使用壽命不低于-100h且不超過(guò)250h的概率.,解 由題設(shè)知 的概率密度與分布函數(shù)分別為,于是,下面的例子說(shuō)明了泊松分布和指數(shù)分布之間的關(guān)系。,即 服從參數(shù)為 指數(shù)分布。,解 設(shè)X的分布函數(shù)為F(x),則,(1) 所求的概率為,(2)由指數(shù)分布的無(wú)記憶性,有,三. 正態(tài)分布(Normal Distribution),正態(tài)分布是概率分布中最重要的一種分布，這有實(shí)踐與理論兩

21、方面的原因。實(shí)踐方面的原因是，正態(tài)分布是自然界最常見(jiàn)的一種分布，例如測(cè)量的誤差、炮彈的落點(diǎn)、人的身高與體重、農(nóng)作物的收獲量、波浪的高度等等都近似服從正態(tài)分布。一般來(lái)說(shuō)，如果影響某一隨機(jī)變量的因素很多，而每一個(gè)因素都不起決定性作用，且這些影響是可以疊加的，則這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，這點(diǎn)可用下一章的極限定理來(lái)加以證明。從理論方面來(lái)說(shuō)，正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，如正態(tài)分布可以導(dǎo)出一些其它分布，而某些分布（如二項(xiàng)分布、泊松分布等）在一定的條件下可用正態(tài)分布來(lái)近似。,正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布.,德莫佛,德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)概率的一個(gè)近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的

22、首次露面.,高斯,不知你們是否注意到街頭的一種賭博活動(dòng)? 用一個(gè)釘板作賭具。,也許很多人不相信，雖然玩這種賭博游戲十有八九是要輸?shù)舻?，不少人總想碰碰運(yùn)氣，然而中大獎(jiǎng)的概率實(shí)在是太低了。,下面我們?cè)谟?jì)算機(jī)上模擬這個(gè)游戲：,街頭賭博,高爾頓釘板試驗(yàn),平時(shí)，我們很少有人會(huì)去關(guān)心小球下落位置的規(guī)律性，人們可能不相信它是有規(guī)律的。一旦試驗(yàn)次數(shù)增多并且注意觀察的話，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，最后得出的竟是一條優(yōu)美的曲線。,高 爾 頓 釘 板 試 驗(yàn),這條曲線就近似我們將要介紹的正態(tài)分布的密度曲線。,定義 如果隨機(jī)變量X的概率密度為,正態(tài)分布密度函數(shù)的幾何性態(tài)：,正態(tài)分布密度函數(shù)的幾何性態(tài)：,正態(tài)分布密度函數(shù)的幾何性態(tài)：

23、,正態(tài)變量的分布函數(shù)為,的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和 表示：,任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,定理,其分布函數(shù)為,則,證,于是,有,這個(gè)公式把一般正態(tài)變量的概率計(jì)算轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來(lái)計(jì)算.,當(dāng)-x0時(shí)，,若 XN(0,1),例 設(shè)隨機(jī)變量 查表求概率,例 設(shè)隨機(jī)變量 求概率,例 設(shè)隨機(jī)變量 已知 求,例1,解,例3,解,若入學(xué)考試中各個(gè)考生的總分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布N(400,1002),共有2000人參加考試，假定只錄取前300名，求分?jǐn)?shù)線a，使考生總分超過(guò)a的概率等于升學(xué)率。,設(shè)X表示考試總分，則,例2,這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3 準(zhǔn)則”（

24、三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）.,若某人從甲地到乙地有兩條路線可走，第一條路線過(guò)市區(qū)，路程短但擁擠，所需時(shí)間(分)服從正態(tài)分布N(50,100)；第二條線路沿環(huán)城路走，路程長(zhǎng)但阻塞少，所需時(shí)間(分)服從正態(tài)分布N(60,16)。問(wèn):(1)假如有70分鐘可用，應(yīng)選哪條路？(2)若只有65分鐘，又應(yīng)走哪條路？,例4,解,記行走時(shí)間為t，,(1) 若有70分鐘可用,走第一條路線能及時(shí)趕到的概率為,走第二條路線能及時(shí)趕到的概率為,因此，若有70分鐘可用，應(yīng)選第二條路線。,解,記行走時(shí)間為t，,(1) 若有70分鐘可用,走第一條路線能及時(shí)趕到的概率為,走第二條路線能及時(shí)趕到的概率為,因此，若有65分鐘可用，應(yīng)選第一條

25、路線。,解,記行走時(shí)間為t，,(2) 若有65分鐘可用,走第一條路線能及時(shí)趕到的概率為,例5 由歷史記錄知,某地區(qū)總降雨量,(單位:mm).求(1)明年降雨量在400mm700mm之間的概率；(2)明年降雨量至少為300mm的概率;(3)明年降雨量小于何值的概率為0.1?,解 1),2),查表得,從而,例 假設(shè)新生入學(xué)外語(yǔ)考試的成績(jī)(百分制)服從正態(tài)分布N(72, 2). 而且96分以上的考生占2.3%, 求隨意抽取的一份外語(yǔ)試卷的成績(jī), 介于60分到84分之間的概率.,解 由條件知外語(yǔ)考試的成績(jī)X N(72, 2); 而由,即(24/) = 0.977; 由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表(附表1)可

26、查得(2) = 0.977, 故 24/ 2 , 從而12 . 因此,例 假設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為(108,9)的正態(tài)分布, 求 (1) 事件101.11 b = 0.10.,解 由條件知, 隨機(jī)變量,(1) 由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)(x)數(shù)值表(附表1), 可見(jiàn),(2) 設(shè)(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù). 由條件知,由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)(x)的水平雙側(cè)分位數(shù)u表(附表3), 可見(jiàn),(3) 設(shè)條件知(注意到(36)0),由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)(x)的水平雙側(cè)分位數(shù)u表(附表3), 可見(jiàn),例 假設(shè)無(wú)線電測(cè)距儀無(wú)系統(tǒng)誤差, 其測(cè)量的隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布. 已知隨機(jī)測(cè)量的絕對(duì)誤差以概率0.95不大于20m, 求隨機(jī)測(cè)

27、量的標(biāo)準(zhǔn)差.,解 由條件知, 隨機(jī)誤差e服從正態(tài)分布N(0,2), 所以由,可見(jiàn),前面討論了隨機(jī)變量的概率分布，它完整地描述了隨機(jī)變量的概率性質(zhì)，而數(shù)字特征則是由概率分布所決定的常數(shù)，它刻劃了隨機(jī)變量的某一方面的性質(zhì)。在許多實(shí)際問(wèn)題中，分布往往不易求得或不需求得，而只需了解某些數(shù)字特征，而數(shù)字特征往往容易通過(guò)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法得到。,這一節(jié)先介紹隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.,在這些數(shù)字特征中，最常用的是,期望和方差,第四節(jié) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 隨機(jī)變量的方差,4.1數(shù)學(xué)期望一.數(shù)學(xué)期望的定義,例1 設(shè)某班40名學(xué)生的概率統(tǒng)計(jì)成績(jī)及得分人數(shù)如下表所示： 分?jǐn)?shù) 40 60 70 80 90

28、 100 人數(shù) 1 6 9 15 7 2,數(shù)學(xué)期望描述隨機(jī)變量取值的平均特征,則學(xué)生的平均成績(jī)是總分總?cè)藬?shù)(分)。即,有甲、乙兩射手，他們的射擊技術(shù)如下表：,例,甲：,乙：,問(wèn)哪一個(gè)射手水平較高？,解,假定各射N槍，則平均每槍所得環(huán)數(shù)約為,甲：,甲：,乙：,問(wèn)哪一個(gè)射手水平較高？,解,假定各射N槍，則平均每槍所得環(huán)數(shù)約為,甲：,乙：,可見(jiàn)甲的水平高些。,定義1 離散型隨機(jī)變量XPX=xk=pk, k=1,2,n, 若級(jí)數(shù),，則稱,為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值。,對(duì)于離散型隨機(jī)變量X , EX就是X的各可能值與其 對(duì)應(yīng)概率乘積的和.,例1 若X服從0-1分布,其概率函數(shù)為PX= k=P

29、k(1-p)1-k (k=0,1), 求EX.,解：,例2 甲,乙兩名射手在一次射擊中得分(分別用, 表示)的分布律如表1,表2所示.,這表明,如果進(jìn)行多次射擊,他們得分的平均值是2.1和2.2,故乙射手較甲射手的技術(shù)好.,試比較甲乙兩射手的技術(shù).,解：,例3 一批產(chǎn)品中有一,二,三等品,等外品及廢品5種,相應(yīng)的概率分別為0.7, 0.1, 0.1, 0.06及0.04,若其產(chǎn)值分別為6元, 5.4元, 5元,4 元及0元.求產(chǎn)品的平均產(chǎn)值.,E=6x0.7+5.4x0.1+5x0.1+4x0.06+0 x0.04 =5.48( 元),解 ：產(chǎn)品產(chǎn)值是一個(gè)隨機(jī)變量,它的分布率如表:,例4 已知

30、盒內(nèi)有5個(gè)球,其中2個(gè)白球,3個(gè)黑球,從中一次摸出3個(gè)球,計(jì)算摸到的白球個(gè)數(shù)X的數(shù)學(xué)期望EX.,例5 已知甲袋內(nèi)有3個(gè)白球與3個(gè)黑球,乙袋內(nèi)有3個(gè)白球, 今從甲袋內(nèi)任意摸出3個(gè)球放入乙袋.求(1)乙袋內(nèi)黑球個(gè)數(shù)X的數(shù)學(xué)期望;(2)從乙袋內(nèi)再任摸一球是黑球的概率.,例5 已知甲袋內(nèi)有3個(gè)白球與3個(gè)黑球,乙袋內(nèi)有3個(gè)白球, 今從甲袋內(nèi)任意摸出3個(gè)球放入乙袋.求(1)乙袋內(nèi)黑球個(gè)數(shù)X的數(shù)學(xué)期望;(2)從乙袋內(nèi)再任摸一球是黑球的概率.,設(shè)B=從乙袋內(nèi)再任摸一球是黑球,例6 擲一顆均勻的骰子，以表示擲得的點(diǎn)數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望。,定義 4.2 P(58) 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量x(x), - x+,若,為x的數(shù)學(xué)

31、期望。,則稱,連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是它的概率密度f(wàn)(x)與實(shí)數(shù)x的乘積在 (-,+)無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分.,例7 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為,解：,例8 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為,解：,例9 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為,解：,三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,(1)若X是離散型隨機(jī)變量，且X的概率分布為,(2)若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，且其概率密度為 f(x)，,則,則,E(a)=a, a為常數(shù); E(X+a)=E(X)+a, a為常數(shù); 3. E(aX)=a E(X), a為常數(shù);,數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),證明:設(shè)X(x),則,4. E(kX+b)=E(kX)+b=kE(X)+b,這個(gè)性質(zhì)可以推

32、廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量的情況,即對(duì)于n2也同樣有,例,解,設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布如下：,例,解,設(shè)隨機(jī)變量X的服從a,b上的均勻分布,例,解,設(shè)隨機(jī)變量X的服從0,2上的均勻分布,例2 有一隊(duì)射手共9人,技術(shù)不相上下,每人射擊中靶的概率均為0.8;進(jìn)行射擊,各自打中靶為止,但限制每人最多只打3次.問(wèn)大約需為他們準(zhǔn)多少發(fā)子彈?,解 設(shè)i表示i名射手所需的子彈數(shù)目, 表示9名射手所需的子彈數(shù)目,依題意,并且i有如下分布律,再多準(zhǔn)備10% 15%,大約為他們準(zhǔn)備13發(fā)子彈.,例4 某無(wú)線電元件的使用壽命是一個(gè)隨機(jī)變量, 其概率密度為,其中0,求這種元件的平均使用壽命.,解：,解,例 假定世界市場(chǎng)對(duì)我

33、國(guó)某種出口商品的需求量X(單位噸)是個(gè)隨機(jī)變量,它服從2000,4000上的均勻分布,設(shè)該商品每售出1噸可獲利3萬(wàn)美元,但若銷售不出去積壓于庫(kù),則每噸需支付1萬(wàn)美元,問(wèn)如何計(jì)劃年出口量能使國(guó)家期望獲利最多?,EX1：設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為,解:,求隨機(jī)變量Y=X2的數(shù)學(xué)期望,X,Pk,-1 0 1,Y,Pk,1 0,設(shè)的概率密度為，,求 E(2), E(3) ，E(4)。,二 方差 (Variance),隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，描述了隨機(jī)變量X取值的集中趨勢(shì)或平均水平，但是僅僅知道X的數(shù)學(xué)期望有時(shí)還不能完全刻劃隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)特征。比如，某廠生產(chǎn)一批元件，平均使用壽命E(X)=1000小時(shí)，僅由

34、此我們還很難了解這批元件質(zhì)量的好壞，因?yàn)橛锌赡苡幸话氲脑|(zhì)量很高，壽命在1500小時(shí)以上，而另一半?yún)s質(zhì)量很差，壽命不足500小時(shí)，從而反映出質(zhì)量不穩(wěn)定。可見(jiàn)應(yīng)進(jìn)一步考察元件壽命X對(duì)期望E(X)的偏離程度。下面介紹的方差就是用來(lái)描述隨機(jī)變量的可能取值與其期望之間的差異程度的數(shù)量特征。,一、方差的定義,定義,即,計(jì)算公式:,1. 若X是離散型隨機(jī)變量，其概率分布為,則,計(jì)算公式:,2. 若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為 f(x)，,則,設(shè)X表示機(jī)床A一天生產(chǎn)的產(chǎn)品廢品數(shù)，Y 表示機(jī)床B一天生產(chǎn)的產(chǎn)品廢品數(shù)，它們的概率分布如下：,例1,解,問(wèn)：兩機(jī)床哪臺(tái)質(zhì)量好？設(shè)兩臺(tái)機(jī)床的日產(chǎn)量相等。,均值相等

35、, 據(jù)此不能判斷優(yōu)劣,再求方差.,均值相等, 據(jù)此不能判斷優(yōu)劣,再求方差.,由于D(X)D(Y),因此機(jī)床A的波動(dòng)較機(jī)床B的波動(dòng)小,質(zhì)量較穩(wěn)定.,幾種常見(jiàn)離散型分布的方差,1. 0-1分布,已經(jīng)求得,2. 二項(xiàng)分布,已經(jīng)求得,所以,3. 泊松分布,已經(jīng)求得,所以,幾種常見(jiàn)連續(xù)型分布的方差,1. 均勻分布,已經(jīng)求得,2. 指數(shù)分布,已經(jīng)求得,3. 正態(tài)分布,已經(jīng)求得,幾種常用的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差,0-1分布,二項(xiàng)分布,均勻分布,指數(shù)分布,正態(tài)分布,泊松分布,二、方差的性質(zhì),性質(zhì)1 D(C )=0，其中C是常數(shù)。,性質(zhì)2 若k是常數(shù),則,性質(zhì)3,證,其中C是常數(shù)。,證,性質(zhì)4,設(shè)X和Y是兩個(gè)

36、相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則,證,而,性質(zhì)4,設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則,證,當(dāng)X和Y相互獨(dú)立時(shí)，有E(XY)=E(X)E(Y)，,所以,推廣：,若X1,X2,Xn相互獨(dú)立,則,注意：以下兩個(gè)式子是等價(jià)的,的充分必要條件為,存在常數(shù)C,使,事實(shí)上,若X1,X2,Xn相互獨(dú)立,則,例如,當(dāng)X和Y相互獨(dú)立時(shí),有,性質(zhì)5,利用方差的性質(zhì)重新求二項(xiàng)分布的方差.,設(shè) X B ( n, p )，,X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功” 次數(shù).,例,解,設(shè),而 X= X1+X2+Xn ,i=1,2,n,其分布律為,所以,且 X1,X2,Xn相互獨(dú)立,例2 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為,解：,例3：已知隨機(jī)變量

37、X服從二項(xiàng)分布B(n,p),且EX=2.4,DX=0.48,求X的概率函數(shù)與分布函數(shù).,例4：已知隨機(jī)變量X服從期望為1 的指數(shù)分布, 求 .,例5：已知隨機(jī)變量X服從期望為0 ,方差為 的正態(tài)分布, 求 的值.,例6：設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為,1)求D, 2)求,例7 若連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度是,已知E=0.5, D=0.15, 求系數(shù)a, b, c.,解:,第五節(jié) 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,一、求隨機(jī)變量函數(shù)的分布 的一般方法,二、求隨機(jī)變量函數(shù)的密度 的一個(gè)常用公式,一、求隨機(jī)變量函數(shù)的分布的一般方法,設(shè)y = g(x)是連續(xù)函數(shù)或分段連續(xù)函數(shù), Y = g(X)作為隨機(jī)變量X的函數(shù), 也是隨機(jī)變量. 根據(jù)自變量X的概率分布, 求Y的概率分布的一般方法: 將Y的分布函數(shù)通過(guò)X的概率分布表示:,1. 離散型 若X是離散型隨機(jī)變量, 則首先根據(jù)X的可能值列出Y的可能值, 然后分別求Y等于各個(gè)可能值的概率.,例1 假設(shè)一部機(jī)器在一個(gè)工作日因故停用的概率為0.2. 一周使用5個(gè)工作日可創(chuàng)利潤(rùn)10萬(wàn)元; 使用4個(gè)工作日可創(chuàng)利潤(rùn)7萬(wàn)元; 使用3個(gè)工作日只創(chuàng)2萬(wàn)元; 停用3天及多于3天虧損2萬(wàn)元. 求所