《圓周角和圓心角的關(guān)系》--侯雄東

1、3.3 圓周角和圓心角的關(guān)系(1),侯雄東,一、舊知回放:,1.圓心角的定義?,答：相等.,答:頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.,2.圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)的關(guān)系?,B,3、(05年茂名)下列命題是真命題的是( ) 1)垂直弦的直徑平分這條弦 2)相等的圓心角所對(duì)的弧相等 3)圓既是軸對(duì)稱圖形,還是中心對(duì)稱圖形 A 1) 2) B 1) 3) C 2) 3) D 1) 2) 3),圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系,在同圓或等圓中，,相等的圓心角所對(duì)的弧相等，,所對(duì)的弦相等,前提條件,課前熱身,11、如圖，O中，AOB=100，則AB弧的度數(shù)為_(kāi)，AnB弧的度數(shù)為_(kāi)。,100,260,2、判斷題

2、： (1)相等的圓心角所對(duì)的弧相等 。 (2)等弦對(duì)等弧 。 (3)等弧對(duì)等弦 。 (4)長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧 。 (5)平分弦的直徑垂直于弦 。,圓心角頂點(diǎn)發(fā)生變化時(shí),我們得到幾種情況?,探索1:,二、探索新知：,思考：三個(gè)圖中的BAC的頂點(diǎn)A各在圓的什么位置？ 角的兩邊和圓是什么關(guān)系？,圓周角,在射門(mén)游戲中(如圖),球員射中球門(mén)的難易程度與他所處的位置B對(duì)球門(mén)AC的張角(ABC)有關(guān).,思考：圖中的ABC的頂點(diǎn)B在圓的什么位置？ABC的兩邊和圓是什么關(guān)系？,圓周角,探索:,你能仿照?qǐng)A心角的定義給圓周角下個(gè)定義嗎?,特征：, 角的頂點(diǎn)在圓上., 角的兩邊都與圓相交.,圓周角定義: 頂點(diǎn)在圓

3、上,并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角.,練習(xí)：,1 、判別下列各圖形中的角是不是圓周角，并說(shuō)明理由。,不是,不是,是,不是,不是,圖,圖,圖,圖,圖,2、指出圖中的圓周角。,ACO ACB BCO OAB BAC OAC ABO CBO ABC,當(dāng)球員在B,D,E處射門(mén)時(shí),他所處的位置對(duì)球門(mén)AC分別形成三個(gè)張角ABC, ADC,AEC.這三個(gè)角的大小有什么關(guān)系?.,C,為了解決這個(gè)問(wèn)題,我們先探究一條弧所對(duì)的圓 周角和圓心角之間有的關(guān)系.,類比圓心角探知圓周角,在同圓或等圓中,相等的弧所對(duì)的圓心角相等.,在同圓或等圓中,相等的弧所對(duì)的圓周角有什么關(guān)系？,提示:注意圓心與圓周角的位置關(guān)系.,如圖,

4、觀察弧AC所對(duì)的圓周角ABC與圓心角AOC,它們的大小有什么關(guān)系?,說(shuō)說(shuō)你的想法,并與同伴交流.,提示:注意圓心與圓周角的位置關(guān)系.,圓周角和圓心角的關(guān)系,圓周角和圓心角的關(guān)系,1.首先考慮一種特殊情況： 當(dāng)圓心(O)在圓周角(ABC)的一邊(BC)上時(shí),圓周角ABC與圓心角AOC的大小關(guān)系.,解:AOC是ABO的外角，,AOC=B+A.,OA=OB，,A=B.,AOC=2B.,即 ABC = AOC.,你能寫(xiě)出這個(gè)命題嗎?,一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.,理解并掌握這個(gè)模型.,如果圓心不在圓周角的一邊上,結(jié)果會(huì)怎樣? 2.當(dāng)圓心(O)在圓周角(ABC)的內(nèi)部時(shí),圓周角ABC與圓

5、心角AOC的大小關(guān)系會(huì)怎樣?,提示:能否轉(zhuǎn)化為1的情況?,過(guò)點(diǎn)B作直徑BD.由1可得:,你能寫(xiě)出這個(gè)命題嗎?,一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.,圓周角和圓心角的關(guān)系,如果圓心不在圓周角的一邊上,結(jié)果會(huì)怎樣? 3.當(dāng)圓心(O)在圓周角(ABC)的外部時(shí),圓周角ABC與圓心角AOC的大小關(guān)系會(huì)怎樣?,提示:能否也轉(zhuǎn)化為1的情況?,過(guò)點(diǎn)B作直徑BD.由1可得:, ABC = AOC.,你能寫(xiě)出這個(gè)命題嗎?,一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.,圓周角和圓心角的關(guān)系,ABD = AOD,CBD = COD,圓周角定理,綜上所述,圓周角ABC與圓心角AOC的大小關(guān)系是:,圓周角定理:

6、一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì) 的圓心角的一半.,提示:圓周角定理是承上啟下的知識(shí)點(diǎn),要予以重視.,即 ABC = AOC.,圓心在角的邊上,圓心在角外,圓心在角內(nèi),如圖3， O是ABC的外接圓，已知ABO=35度，則ACB的大小為（）,如圖10，O的直徑CD過(guò)弦EF的中點(diǎn)G，EOD=40,則DCF等于,例1.如圖：OA、OB、OC都是 O的半徑 AOB=2BOC. 求證：ACB=2BAC.,AOB=2BOC,ACB=2BAC,證明：,規(guī)律:解決圓周角和圓心角的計(jì)算和證明問(wèn)題,要準(zhǔn)確找出同弧所對(duì)的圓周角和圓心角,然后再靈活運(yùn)用圓周角定理,ACB= AOB,BAC= BOC,練習(xí)：,2.如圖，圓心

7、角AOB=100，則ACB=_。,1.求圓中角X的度數(shù),130,C,C,D,B,3、 如圖，在直徑為AB的半圓中，O為圓心，C、D為半圓上的兩點(diǎn)，COD=500，則CAD=_,25,做做看，收獲知多少？,一、判斷 1、頂點(diǎn)在圓上的角叫圓周角。 2、圓周角的度數(shù)等于所對(duì)弧的度數(shù)的一半。,36或144,2 、如圖，已知圓心角AOB=100，求圓周角 ACB=_、ADB=_。,1、半徑為R的圓中，有一弦分圓周成1：4兩部分，則弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)是 。,二、計(jì)算,130,50,圓周角 頂點(diǎn)在圓上,它的兩邊分別與圓還有另一個(gè)交點(diǎn),像這樣的角,叫做圓周角.,圓周角定理 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心

8、角的一半.,一 、這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)： 1、圓周角定義。 2、圓周角定理及其定理應(yīng)用。 二、方法上主要學(xué)習(xí)了圓周角定理的證明滲透了“特殊到一般”的思想方法和分類討論的思想方法。,總結(jié)擴(kuò)展：,三、圓周角及圓周角定理的應(yīng)用極其廣泛，也是中考的一個(gè)重要考點(diǎn)，望同學(xué)們靈活運(yùn)用。,2.如圖(2),在O中,B,D,E的大小有什么關(guān)系? 為什么? 3.如圖(3),AB是直徑,你能確定C的度數(shù)嗎?,拓展 化心動(dòng)為行動(dòng),1.如圖(1),在O中,BAD =50,求C的大小.,B=D=E,C=130,C=90,4、AB、AC為O的兩條弦，延長(zhǎng)CA到D，使AD=AB，如果ADB=35，求BOC的度數(shù)。,解AB

9、=AC ABD=ADB=35 BAC=ABD+ADB=70BOC=2BAC=140,1、O的弦AB等于半徑，那么弦AB所對(duì)的圓周角一定是（ ） （A）30（B）150（C）30或150（D）)60 2、ABC中，B90，以BC為直徑作圓交AC于E，若BC=12，AB=12 ，則 的度數(shù)為（ ） （A）60（B）80（C）100（D）)120 3、如圖，ABC是O的內(nèi)接等邊三角形，D是AB上一點(diǎn)，AB與CD交于E點(diǎn)，則圖中60的角共有( )個(gè) （A）3（B）4（C）5（D）6 4、如圖，ABC內(nèi)接于O，OBC=25，則A的度數(shù)為（ ） （A）70（B）65（C）60（D）)50,6一條弦分圓為1：4兩部分，求這弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)？,7、已知：如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，O的直徑BD交AC于E，AFBD于F，延長(zhǎng)AF交BC于G求證：,【例2】（07沈陽(yáng)中考）如圖，已知A、B、C、D是O上的四個(gè)點(diǎn)，ABBC，BD交AC于點(diǎn)E，連接C