數(shù)據(jù)處理模糊數(shù)學(xué)

1、數(shù)據(jù)處理 -模糊數(shù)學(xué),主講人: 付玉霞 公共教學(xué)部數(shù)學(xué)教研室 2011.5,東莞職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)系列,基本內(nèi)容： 第一章：模糊數(shù)學(xué)基本概念 第二章：模糊聚類分析 第三章：模糊模式識別 第四章：模糊綜合評判決策,例 某地區(qū)內(nèi)有12 個氣象觀測站，10 年來各站測得的年降水量如表3 所示。為了節(jié)省開支，想要適當(dāng)減少氣象觀測站，試問減少哪些觀察站可以使所得到的降水量信息仍然足夠大？,解法一 我們把12個氣象觀測站的觀測值看成12個向量組，由于本題只給出了10年的觀測數(shù)據(jù)，根據(jù)線性代數(shù)的理論可知，若向量組所含向量的個數(shù)大于向量的維數(shù)，則該向量組必然線性相關(guān)。于是只要求出該向量組的秩就可確定該向

2、量組的最大無關(guān)組所含向量的個數(shù)，也就是需保留的氣象觀測站的個數(shù)。由于向量組中的其余向量都可由極大線性無關(guān)組線性表示，因此，可以使所得到的降水信息量足夠大。 用i=1,2,L,10分別表示1981年，1982年，1990年。aij（i=1,2,L,10，j=1,2,L,12）表示第j個觀測站第i年的觀測值，記A=(aij)1012。 利用MATLAB可計算出矩陣A的秩r(A)=10，且任意10個列向量組成的向量組都是極大線性無關(guān)組，,例如，我們選取前10個氣象觀測站的觀測值作為極大線性無關(guān)組，則第11，12這兩個氣象觀測站的降水量數(shù)據(jù)完全可以由前10個氣象觀測站的數(shù)據(jù)表示。設(shè)xi（i=1,2,L

3、,12）表示第i個氣象觀測站或第i個觀測站的觀測值。則有 x11=0.0124x10.756x2+0.1639x3+0.3191x41.3075x5 1.0442x60.1649x70.8396x8+1.679x9+2.9379x10 x12=1.4549x1+10.6301x2+9.8035x3+6.3458x4+18.9423x5 +19.8061x627.0196x7+5.868x815.5581x926.9397x10,到目前為止，問題似乎已經(jīng)完全解決了，可其實(shí)不然，因?yàn)槿绻鲜鲇^測站的數(shù)據(jù)不是10年，而是超過12年，則此時向量的維數(shù)大于向量組所含的向量個數(shù)，這樣的向量組未必線性相關(guān)。

4、故上述的解法不具有一般性，下面我們考慮一般的解法，首先，我們利用已有的12個氣象觀測站的數(shù)據(jù)進(jìn)行模糊聚類分析，最后確定從哪幾類中去掉幾個觀測站。,解法二（用模糊數(shù)學(xué)的方法）,例,模糊數(shù)學(xué)是研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)方法. 眾所周知，經(jīng)典數(shù)學(xué)是以精確性為特征的.,然而，與精確形相悖的模糊性并不完全是消極的、沒有價值的. 甚至可以這樣說，有時模糊性比精確性還要好. 例如,要你某時到某地去迎接一個“大胡子高個子長頭發(fā)戴寬邊黑色眼鏡的中年男人”. 盡管這里只提供了一個精確信息男人，而其他信息大胡子、高個子、長頭發(fā)、寬邊黑色眼鏡、中年等都是模糊概念，但是你只要將這些模糊概念經(jīng)過頭腦的綜合分析判斷，就可以

5、接到這個人. 模糊數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用幾乎涉及到國民經(jīng)濟(jì)的各個領(lǐng)域及部門，農(nóng)業(yè)、林業(yè)、氣象、環(huán)境、地質(zhì)勘探、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理等方面都有模糊數(shù)學(xué)的廣泛而又成功的應(yīng)用.,實(shí)際中，我們處理現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)模型可以分成三大類： 第一類是確定性數(shù)學(xué)模型，即模型的背景具有確定性，對象之間具有必然的關(guān)系。 第二類是隨機(jī)性的數(shù)學(xué)模型，即模型的背景具有隨機(jī)性和偶然性。 第三類是模糊性模型，即模型的背景及關(guān)系具有模糊性。 統(tǒng)計數(shù)學(xué)是將數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍從確定性的領(lǐng)域擴(kuò)大到了不確定性的領(lǐng)域，即從必然現(xiàn)象到偶然現(xiàn)象，而模糊數(shù)學(xué)則是把數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍從確定領(lǐng)域擴(kuò)大到了模糊領(lǐng)域，即從精確現(xiàn)象到模糊現(xiàn)象。,模糊是指客觀事物差異的中間過渡中

6、的“不分明性”或“亦此亦彼性”。 如高個子與矮個子、年輕人與老年人、熱水與涼水、環(huán)境污染嚴(yán)重與不嚴(yán)重等。在決策中，也有這種模糊的現(xiàn)象，如選舉一個好干部，但怎樣才算一個好干部？好干部與不好干部之間沒有絕對分明和固定不變的界限。這些現(xiàn)象很難用經(jīng)典的數(shù)學(xué)來描述。,第一章 模糊數(shù)學(xué)基本概念,一、經(jīng)典集合與特征函數(shù),論域U中的每個對象u稱為U的元素。,其中,函數(shù) 稱為集合A的特征函數(shù)。,二、模糊集合及其運(yùn)算,1、模糊子集,例 設(shè)論域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(單位：cm)表示人的身高，那么U上的一個模糊集“

7、高個子”(A)的隸屬函數(shù)A(x)可定義為,也可用Zadeh表示法：,模糊集的運(yùn)算,相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)B(x)； 并：AB的隸屬函數(shù)為 (AB)(x)=A(x)B(x)；取大運(yùn)算 交：AB的隸屬函數(shù)為 (AB)(x)=A(x)B(x)；取小運(yùn)算 余：Ac的隸屬函數(shù)為 Ac (x) = 1- A(x).,X=1,2,3,4,5,6,7,8,三、 隸屬函數(shù)的確定,1. 模糊統(tǒng)計方法,與概率統(tǒng)計類似，但有區(qū)別：概率統(tǒng)計隨機(jī)事件A是固定不變的，樣本空間中樣本點(diǎn)數(shù)是變動的，而模糊統(tǒng)計試驗(yàn)中，x是固定不變的，而模糊集A*是可變的。,2. 指派方法,一種主觀方法根

8、據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來確定，一般給出隸屬函數(shù)的解析表達(dá)式。,模糊數(shù)學(xué)的基本思想是隸屬度思想，應(yīng)用模糊數(shù)學(xué) 建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵是建立符合實(shí)際的隸屬函數(shù)。如何 確定一個模糊集的隸屬函數(shù)至今還是尚未解決的問題這 里僅介紹幾種常用的確定隸屬函數(shù)的方法,常用的隸屬函數(shù)有Z函數(shù)（偏小型）、函數(shù)（中間型）、S函數(shù)（偏大型）. 偏小型一般適合于描述像“小，少，淺，淡，青年”等偏小程度的模糊現(xiàn)象。 偏大型一般適合于描述像“大，多，深，濃，老年”等偏大程度的模糊現(xiàn)象。 中間型一般適合于描述像“中，適中，不太多，不太濃，暖和，中年”等處于中間狀態(tài)的模糊現(xiàn)象。,3. 借用已有的“客觀”尺度 根據(jù)問題的實(shí)際意義來確定，在經(jīng)濟(jì)管理

9、，社會管理中常用。如U表示產(chǎn)品，定義A模糊集“質(zhì)量穩(wěn)定”，可用產(chǎn)品的“正品率”作為A的隸屬度。,常用的隸屬函數(shù)有偏小型、中間型、偏大型.,第二章 模糊聚類分析,（1）模糊矩陣間的關(guān)系及運(yùn)算,定義：設(shè) 都是模糊矩陣，定義,相等：,包含：,并：,交：,余：,例：,（2）模糊矩陣的合成,例：,（3）模糊矩陣的轉(zhuǎn)置,（4）模糊矩陣的 截矩陣,例：,例：設(shè)對于模糊等價矩陣,故R是模糊等價矩陣,當(dāng),得到分類為,當(dāng),得到分類為,于是,得到動態(tài)聚類圖如右圖所示, ,1 0.8 0.6 0.5 0.4,r 5 4 3 2 1,例：設(shè)有模糊相似矩陣,二、模糊聚類分析的一般步驟,、建立數(shù)據(jù)矩陣,（1）標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化,

10、（2）極差正規(guī)化,（3）極差標(biāo)準(zhǔn)化,、建立模糊相似矩陣,（1）相似系數(shù)法,夾角余弦法,相關(guān)系數(shù)法,（2）距離法,Hamming距離,Euclid距離,Chebyshev距離,（3）貼近度法,最大最小法,算術(shù)平均最小法,幾何平均最小法,3、聚類并畫出動態(tài)聚類圖,（1）模糊傳遞閉包法,步驟：,解：,由題設(shè)知特性指標(biāo)矩陣為,采用最大值規(guī)格化法將數(shù)據(jù)規(guī)格化為,用最大最小法構(gòu)造 模糊相似矩陣得到,用平方法合 成傳遞閉包,取 ，得,取 ，得,取 ，得,取 ，得,取 ，得,畫出動態(tài)聚類圖如下：,應(yīng)用一:教師課堂教學(xué)質(zhì)量評價,數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化采取最大值規(guī)格化; 相似矩陣的建立采取相關(guān)系數(shù)法.,動態(tài)聚類圖如下:,作業(yè)

11、:企業(yè)綜合競爭力評價分類,5個公司6個指標(biāo)的樣品數(shù)據(jù)如下，試根 據(jù)以下數(shù)據(jù)評價5個公司的綜合競爭力。,金融機(jī)構(gòu)財務(wù)分析,表1為2004年廣東10 個城市金融機(jī)構(gòu)本外 幣存款、貸款的統(tǒng)計 情況。試分析他們財 務(wù)情況的相似性。,第三章 模糊模式識別,模型識別,已知某類事物的若干標(biāo)準(zhǔn)模型，現(xiàn)有這類事物中的一個具體對象，問把它歸到哪一模型，這就是模型識別.,模型識別在實(shí)際問題中是普遍存在的.例如，學(xué)生到野外采集到一個植物標(biāo)本，要識別它屬于哪一綱哪一目；投遞員(或分揀機(jī))在分揀信件時要識別郵政編碼等等，這些都是模型識別.,模糊模型識別,所謂模糊模型識別,是指在模型識別中,模型是模糊的.也就是說,標(biāo)準(zhǔn)模型

12、庫中提供的模型是模糊的.,模型識別的原理,為了能識別待判斷的對象x = (x1, x2, xn)T是屬于已知類A1, A2, Am中的哪一類？ 事先必須要有一個一般規(guī)則, 一旦知道了x的值, 便能根據(jù)這個規(guī)則立即作出判斷, 稱這樣的一個規(guī)則為判別規(guī)則. 判別規(guī)則往往通過的某個函數(shù)來表達(dá), 我們把它稱為判別函數(shù), 記作W(i; x). 一旦知道了判別函數(shù)并確定了判別規(guī)則，最好將已知類別的對象代入檢驗(yàn)，這一過程稱為回代檢驗(yàn)，以便檢驗(yàn)?zāi)愕呐袆e函數(shù)和判別規(guī)則是否正確.,一、最大隸屬原則,最大隸屬原則：,最大隸屬原則：,二、擇近原則,1、貼近度,表示兩個模糊集A，B之間的貼近程度。,C =,C =,故B

13、比A更貼近于.,茶葉等級識別,假設(shè)茶葉分為I，II，III，IV，V種，請識別A為哪一種。U=條索、色澤、凈度、湯色、香氣、滋味 指標(biāo)數(shù)如下： I=（0.5，0.4，0.3，0.6，0.5，0.4） II=（0.3，0.2，0.2，0.1，0.2，0.2） III=（0.2，0.2，0.2，0.1，0.1，0.2） IV=（ 0， 0.1，0.2，0.1，0.1，0.1） V=（ 0， 0.1，0.1，0.1，0.1，0.1） 待識別茶葉指標(biāo)數(shù)：,利用 計算貼近度得,，,，,由此可得 A 為 I 型茶葉,計算的MATLAB程序如下：,a=0.5 0.4 0.3 0.6 0.5 0.4 0.3

14、0.2 0.2 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.2 0 0.1 0.2 0.1 0.1 0.1 0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1; b=0.4 0.2 0.1 0.4 0.5 0.6; for i=1:5 x=a(i,:);b; t(i)=min(max(min(x) 1-min(max(x); end t,2、擇近原則,應(yīng)用:用模糊貼近度法評價土壤重金屬污染程度,對于數(shù)值越小越好的指標(biāo),采取如下隸屬函數(shù):,對于數(shù)值越大越好的指標(biāo),采取如下隸屬函數(shù):,采用最小平均貼近度得,作業(yè):用模糊貼近度法評價各采樣點(diǎn)水環(huán)境質(zhì)量等級:,第四章 模糊綜合評判決策,

15、在實(shí)際工作中,對一個事物的評價或評估,常常涉及多個因素或多個指標(biāo),這時就要求根據(jù)這多個因素對事物作出綜合評價,而不能只從某一因素的情況去評價事物,這就是綜合評判. 模糊綜合評判決策是對受多種因素影響的事物作出全面評價的一種十分有效的多因素決策方法.,經(jīng)典綜合評判決策：評總分法、加權(quán)評分法,一、 模糊集中意見決策,為了對論域U =u1, u2, , un中的元素進(jìn)行排序,由m個專家組成專家小組M,分別對U中的元素排序,得到m種意見：V =v1, v2, , vm, 其中vi 是第i 種意見序列,即U 中的元素的某一個排序. 若uj在第i 種意見vi中排第k位,則令Bi(uj)=nk,稱,為uj的

16、Borda數(shù).此時論域U的所有元素可按Borda數(shù)的大小排序,此排序就是是比較合理的.,例1 設(shè)U =a, b, c, d, e, f , |M|= m = 4人, v1: a, c, d, b, e, f ; v2: e, b, c, a, f , d; v3: a, b, c, e, d, f ; v4: c, a, b, d, e, f ;,B(a)=5+2+5+4=16; B(b)=2+4+4+3=13; B(c)=4+3+3+5=15; B(d)=3+0+1+2=6; B(e)=1+5+2+1=9; B(f )=0+1+0+0=1; 按Borda數(shù)集中后的排序?yàn)椋?a, c, b,

17、d, e, f .,例2 設(shè)有6名運(yùn)動員U =u1, u2, u3, u4, u5, u6 參加五項(xiàng)全能比賽, 已知他們每項(xiàng)比賽的成績?nèi)缦拢?200m跑 u1, u2, u4, u3, u6, u5； 1500m跑 u2, u3, u6, u5, u4, u1； 跳遠(yuǎn) u1, u2, u4, u3, u5, u6； 擲鐵餅 u1, u2, u3, u4, u6, u5； 擲標(biāo)槍 u1, u2, u4, u5, u6, u3；,B(u1)=5+0+5+5+5=20; B(u2)=4+5+4+4+4=21; B(u3)=2+4+2+3+0=11; B(u4)=3+1+3+2+3=12; B(u5)

18、=0+2+1+0+2=5; B(u6)=1+3+0+1+1=6; 按Borda數(shù)集中后的排序?yàn)椋簎2, u1, u4, u3, u6, u5.,若uj在第i 種意見vi中排第k位，設(shè)第k位的權(quán)重為ak，則令Bi(uj)= ak(n k )，稱,為uj的加權(quán)Borda數(shù)。,B(u1)=7, B(u2)=5.75, B(u3)=1.98, B(u4)=1.91, B(u5)=0.51, B(u6)=0.75. 按加權(quán)Borda數(shù)集中后的排序?yàn)椋?u1, u2, u3, u4, u6, u5,二、 模糊綜合評判,（一）一級模糊綜合評判,根據(jù)運(yùn)算的不同定義，可得到以下不同模型：,其中：,應(yīng)用一:晉升的數(shù)學(xué)模型,某校規(guī)定,在對一位教師的評價中,若”好”與”較好”占50% 以上可晉升為教授,教授分教學(xué)型教授和科研型教授,在評 價指標(biāo)上分別給出不同的權(quán)重: 教學(xué)型教授:A1=(0.2 0.5 0.1 0.2); 科研型教授:A2=(0.2 0.1 0.5 0.2). 學(xué)科評議組由七人組成,對該老師的評價如下,請判別該教 能否獲得晉升,可晉升為哪一類教授?,政治表現(xiàn) 4 2 1 0 0 教學(xué)水平 6 1 0 0 0 科研能力 0 0 5 1 1 外語水平 2 2 1 1 1,好 較好 一般 較差 差,歸一化得,應(yīng)用二:農(nóng)業(yè)經(jīng)營決策中的應(yīng)用,分?jǐn)?shù)