模糊數(shù)學教案02課件

1、第 2 章模糊聚類分析,2.1 模糊矩陣,定義1 設R = (rij)mn，若0rij1，則稱R為模糊矩陣. 當rij只取0或1時，稱R為布爾(Boole)矩陣. 當模糊方陣R = (rij)nn的對角線上的元素rii都為1時，稱R為模糊自反矩陣.,定義2 設A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩陣， 相等：A = B aij = bij； 包含：AB aijbij； 并：AB = (aijbij)mn； 交：AB = (aijbij)mn； 余：Ac = (1- aij)mn.,模糊矩陣的并、交、余運算性質(zhì),冪等律：AA = A，AA = A； 交換律：AB = BA，AB = B

2、A； 結(jié)合律：(AB)C = A(BC), (AB)C = A(BC)； 吸收律：A(AB) = A，A(AB) = A； 分配律：(AB)C = (AC )(BC)； (AB)C = (AC )(BC)； 0-1律： AO = A，AO = O； AE = E，AE = A； 還原律：(Ac)c = A； 對偶律： (AB)c =AcBc, (AB)c =AcBc.,模糊矩陣的合成運算與模糊方陣的冪,設A = (aik)ms，B = (bkj)sn，定義模糊矩陣A 與B 的合成為： A B = (cij)mn， 其中cij = (aikbkj) | 1ks .,模糊方陣的冪 定義：若A為 n

3、 階方陣，定義A2 = A A，A3 = A2 A，Ak = Ak-1 A.,合成( )運算的性質(zhì)：,性質(zhì)1：(A B) C = A (B C)； 性質(zhì)2：Ak Al = Ak + l，(Am)n = Amn； 性質(zhì)3：A ( BC ) = ( A B )( A C )； ( BC ) A = ( B A )( C A )； 性質(zhì)4：O A = A O = O，I A=A I =A； 性質(zhì)5：AB，CD A C B D.,注：合成( )運算關(guān)于()的分配律不成立，即 ( AB ) C ( A C )( B C ),( AB ) C,( A C )( B C ),( AB ) C ( A C )

4、( B C ),模糊矩陣的轉(zhuǎn)置,定義 設A = (aij)mn, 稱AT = (aijT )nm為A的轉(zhuǎn)置矩陣，其中aijT = aji.,轉(zhuǎn)置運算的性質(zhì)：,性質(zhì)1：( AT )T = A； 性質(zhì)2：( AB )T = ATBT， ( AB )T = ATBT； 性質(zhì)3：( A B )T = BT AT；( An )T = ( AT )n ； 性質(zhì)4：( Ac )T = ( AT )c ； 性質(zhì)5：AB AT BT .,證明性質(zhì)3：( A B )T = BT AT；( An )T = ( AT )n .,證明：設A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn, 記(

5、A B )T = (cijT )nm , AT = (aijT )sm , BT = (bijT )ns , 由轉(zhuǎn)置的定義知, cijT = cji , aijT = aji , bijT = bji . BT AT= (bikTakjT )nm =(bkiajk)nm =(ajkbki)nm = (cji)nm = (cijT )nm= ( A B )T .,模糊矩陣的 - 截矩陣,定義7 設A = (aij)mn,對任意的0, 1，稱 A= (aij()mn, 為模糊矩陣A的 - 截矩陣, 其中 當aij 時，aij() =1；當aij 時，aij() =0. 顯然，A的 - 截矩陣為布爾

6、矩陣.,對任意的0, 1，有,性質(zhì)1：AB A B； 性質(zhì)2：(AB) = AB，(AB) = AB； 性質(zhì)3：( A B ) = A B； 性質(zhì)4：( AT ) = ( A )T.,下面證明性質(zhì)1： AB A B 和性質(zhì)3.,性質(zhì)1的證明： AB aijbij； 當 aijbij時， aij() =bij() =1； 當aij bij時， aij() =0, bij() =1； 當aijbij時， aij() = bij() =0； 綜上所述aij()bij()時， 故A B .,性質(zhì)3的證明：,設A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn,cij() =1 c

7、ij (aikbkj),k, (aikbkj) k, aik , bkj k, aik() =bkj() =1 (aik()bkj()=1,cij() =0 cij (aikbkj),k, (aikbkj) k, aik 或 bkj k, aik() =0或bkj() =0 (aik()bkj()=0,所以, cij() =(aik()bkj().,( A B ) = A B .,2.2 模糊關(guān)系,與模糊子集是經(jīng)典集合的推廣一樣，模糊關(guān)系是普通關(guān)系的推廣.,設有論域X，Y，X Y 的一個模糊子集 R 稱為從 X 到 Y 的模糊關(guān)系. 模糊子集 R 的隸屬函數(shù)為映射 R : X Y 0,1. 并

8、稱隸屬度R (x , y ) 為 (x , y )關(guān)于模糊關(guān)系 R 的相關(guān)程度. 特別地，當 X =Y 時，稱之為 X 上各元素之間的模糊關(guān)系.,模糊關(guān)系的運算,由于模糊關(guān)系 R就是X Y 的一個模糊子集，因此模糊關(guān)系同樣具有模糊子集的運算及性質(zhì).,設R，R1，R2均為從 X 到 Y 的模糊關(guān)系. 相等：R1= R2 R1(x, y) = R2(x, y)； 包含： R1 R2 R1(x, y)R2(x, y)； 并： R1R2 的隸屬函數(shù)為 (R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)； 交： R1R2 的隸屬函數(shù)為 (R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(

9、x, y)； 余：Rc 的隸屬函數(shù)為Rc (x, y) = 1- R(x, y).,(R1R2 )(x, y)表示(x, y)對模糊關(guān)系“R1或者R2”的相關(guān)程度， (R1R2 )(x, y)表示(x, y)對模糊關(guān)系“R1且R2”的相關(guān)程度，Rc (x, y)表示(x, y)對模糊關(guān)系“非R”的相關(guān)程度.,模糊關(guān)系的矩陣表示,對于有限論域 X = x1, x2, , xm和Y = y1, y2, , yn，則X 到Y(jié) 模糊關(guān)系R可用mn 階模糊矩陣表示，即 R = (rij)mn， 其中rij = R (xi , yj )0, 1表示(xi , yj )關(guān)于模糊關(guān)系R 的相關(guān)程度. 又若R為

10、布爾矩陣時,則關(guān)系R為普通關(guān)系,即xi 與 yj 之間要么有關(guān)系(rij = 1),要么沒有關(guān)系( rij = 0 ).,例 設身高論域X =140, 150, 160, 170, 180 (單位：cm), 體重論域Y =40, 50, 60, 70, 80(單位：kg),下表給出了身高與體重的模糊關(guān)系.,模糊關(guān)系的合成,設 R1 是 X 到 Y 的關(guān)系, R2 是 Y 到 Z 的關(guān)系, 則R1與 R2的合成 R1 R2是 X 到 Z 上的一個關(guān)系. (R1R2) (x, z) = R1 (x, y)R2 (y, z)| yY 當論域為有限時，模糊關(guān)系的合成化為模糊矩陣的合成. 設X = x1

11、, x2, , xm, Y = y1 , y2 , , ys, Z= z1, z2, , zn，且X 到Y(jié) 的模糊關(guān)系R1 = (aik)ms，Y 到Z 的模糊關(guān)系R2 = (bkj)sn，則X 到Z 的模糊關(guān)系可表示為模糊矩陣的合成： R1 R2 = (cij)mn， 其中cij = (aikbkj) | 1ks.,模糊關(guān)系合成運算的性質(zhì),性質(zhì)1：(A B) C = A (B C)； 性質(zhì)2：A ( BC ) = ( A B )( A C )； ( BC ) A = ( B A )( C A )； 性質(zhì)3：( A B )T = BT AT； 性質(zhì)4：A B，C D A C B D.,注：(1

12、) 合成( )運算關(guān)于()的分配律不成立,即 ( AB ) C ( A C )( B C ) (2) 這些性質(zhì)在有限論域情況下,就是模糊矩陣合成運算的性質(zhì).,2.3 模糊等價矩陣,模糊等價關(guān)系,若模糊關(guān)系R是X上各元素之間的模糊關(guān)系，且滿足： (1)自反性：R(x, x) =1； (2)對稱性：R(x, y) =R(y, x)； (3)傳遞性：R2R, 則稱模糊關(guān)系R是X上的一個模糊等價關(guān)系.,當論域X = x1, x2, , xn為有限時, X 上的一個模糊等價關(guān)系R就是模糊等價矩陣, 即R滿足：,I R ( rii =1 ),RT=R( rij= rji),R2R.,R2R ( (rikr

13、kj) | 1kn rij) .,模糊等價矩陣的基本定理,定理1 若R具有自反性(IR)和傳遞性(R2R), 則 R2 = R. 定理2 若R是模糊等價矩陣,則對任意0, 1，R是等價的Boole矩陣.,0,1，ABAB； (AB)=AB；( AT ) = ( A)T,證明如下： (1)自反性：IR0,1，IR 0,1，I R，即R具有自反性； (2)對稱性：RT = R (RT) = R (R)T = R，即R具有對稱性； (3)傳遞性：R2R(R)2R，即R具有傳遞性.,定理3 若R是模糊等價矩陣,則對任意的01, R 所決定的分類中的每一個類是R決定的分類中的某個類的子類.,證明：對于論

14、域 X = x1, x2, , xn，若 xi , xj 按R分在一類，則有 rij() = 1 rij rij rij() =1， 即若 xi , xj 按R也分在一類. 所以，R 所決定的分類中的每一個類是R 決定的分類中的某個類的子類.,模糊相似關(guān)系,若模糊關(guān)系 R 是 X 上各元素之間的模糊關(guān)系，且滿足： (1) 自反性：R( x , x ) = 1； (2) 對稱性：R( x , y ) = R( y , x ) ； 則稱模糊關(guān)系 R 是 X 上的一個模糊相似關(guān)系. 當論域X = x1, x2, , xn為有限時，X 上的一個模糊相似關(guān)系 R 就是模糊相似矩陣，即R滿足： (1) 自

15、反性：I R ( rii =1 )； (2) 對稱性：RT = R ( rij = rji ).,模糊相似矩陣的性質(zhì),定理1 若R 是模糊相似矩陣，則對任意的自然數(shù) k，Rk 也是模糊相似矩陣. 定理2 若R 是n階模糊相似矩陣，則存在一個最小自然數(shù) k (kn )，對于一切大于k 的自然數(shù) l，恒有Rl = Rk，即Rk 是模糊等價矩陣(R2k = Rk ). 此時稱Rk為R的傳遞閉包，記作 t ( R ) = Rk . 上述定理表明，任一個模糊相似矩陣可誘導出一個模糊等價矩陣.,平方法求傳遞閉包 t (R)： RR2R4R8R16,2.4 模糊聚類分析,數(shù)據(jù)標準化,設論域X = x1, x2, , xn為被分類對象,每個對象又由m個指標表示其形狀: xi = xi1, xi2, , xim, i = 1, 2, , n 于是,得到原始數(shù)據(jù)矩陣為,平移 標準差變換,其中,平移 極差變換,模糊相似矩陣建立方法,相似系數(shù)法 -夾角余弦法,相似系數(shù)法 -相關(guān)系數(shù)法,其中,距離法,海明距離,歐氏距離,最佳分類的確定,在模糊聚類分析中，對于各個不同的0,1，可得到不同的分類，從而形成一種動態(tài)聚類圖，這對全面了解樣本分類情況是比較形象和直觀的. 但在許多實際問題中，需要給出樣本的一個具體分類，這就提出了如何確定最佳