全國版高考數(shù)學第六章不等式推理與證明6.2二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題課件理.pptx

1、第二節(jié) 二元一次不等式(組)與簡單的 線性規(guī)劃問題,【知識梳理】 1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域,邊界直線,公共部分,2.線性規(guī)劃中的有關(guān)概念,不等式(組),不等式(組),解析式,一次,可行解,最大值或最小值,最大值,最小值,3.確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法 確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域時,經(jīng)常采用“直線定界,特殊點定域”的方法. (1)直線定界,不等式含等號,直線在區(qū)域內(nèi),不含等號,直線不在區(qū)域內(nèi).,(2)特殊點定域,在直線上方(下方)取一點,代入不等式成立,則區(qū)域就為上方(下方),否則就是下方(上方).特別地,當C0時,常把原點作為測試點;當C=0時,常選

2、點(1,0)或者(0,1)作為測試點.,【特別提醒】 1.判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域的常用結(jié)論 把Ax+By+C0或Ax+By+Ckx+b或ykx+b則區(qū)域為直線Ax+By+C=0上方. (2)若ykx+b則區(qū)域為直線Ax+By+C=0下方.,2.最優(yōu)解與可行解的關(guān)系 最優(yōu)解必定是可行解,但可行解不一定是最優(yōu)解,最優(yōu)解不一定唯一.,【小題快練】 鏈接教材練一練 1.(必修5P86練習T3改編)不等式組 表示的平面區(qū)域是(),【解析】選C.x-3y+60表示直線x-3y+6=0左上方部分,x-y+20表示直線x-y+2=0及其右下方部分. 故不等式組表示的平面區(qū)域為選項C所示部分.,2.(

3、必修5P93習題3.3A組T2改編)已知x,y滿足 則z=-3x+y的最小值為.,【解析】由題意畫出平面區(qū)域如圖:,當直線z=-3x+y經(jīng)過點A時,z取得最小值. 由 可得 即點A(1,3). 所以zmin=-3x+y=-31+3=0. 答案:0,感悟考題試一試 3.(2015安徽高考)已知x,y滿足約束條件 則z=-2x+y的最大值是() A.-1B.-2C.-5D.1,【解題提示】正確畫出平面區(qū)域的可行域,是一個三角形,再數(shù)形結(jié)合計算求值.,【解析】選A.根據(jù)題意畫出約束條件確定的可行域, 如圖所示: 因為z=-2x+y,則y=2x+z,可知過圖中點A(1,1)時, z=-2x+y取得最大

4、值-1,故選A.,4.(2015廣東高考)若變量x,y滿足約束條件 則z=3x+2y的最小值為(),【解析】選C.不等式組所表示的可行域如圖所示,由z=3x+2y得y= 依題當目標函數(shù)直線l: y= 經(jīng)過A 時,z取得最小值, 即zmin=31+2,5.(2015全國卷)若x,y滿足約束條件 則z=3x+y的最大值為.,【解析】畫出可行域如圖所示,目標函數(shù)y=-3x+z,當z取到最大值時,y=-3x+z的縱截 距最大,即將直線移到點C時, 解得C(1,1),zmax=31+1=4. 答案:4,考向一平面區(qū)域的面積問題 【典例1】(1)(2016北京模擬)在平面 直角坐標系xOy中,不等式組 表

5、示圖形的面積等于() A.1B.2C.3D.4,(2)(2016鄭州模擬)已知不等式組 表示 的平面區(qū)域為D,若直線y=kx+1將區(qū)域D分成面積相等的 兩部分,則實數(shù)k的值是.,【解題導引】(1)畫出不等式組所表示的平面區(qū)域,根據(jù)圖形便可計算面積. (2)畫出不等式組表示的平面區(qū)域,直線y=kx+1過定點(0,1),利用面積相等確定直線經(jīng)過的區(qū)域邊界上的點,然后代入求k值.,【規(guī)范解答】(1)選B.不等式組對應的平面區(qū)域如圖, 對應的區(qū)域為正方形ABCD, 其中A(0,1),D(1,0), 邊長AD= , 則正方形的面積S= =2, 故選B.,(2)區(qū)域D如圖中的陰影部分所示,直線y=kx+1

6、經(jīng)過定點C(0,1),如果其把區(qū)域D劃分為面積相等的兩個部分,則直線y=kx+1只要經(jīng)過AB的中點即可. 由方程組 解得A(1,0). 由方程組 解得B(2,3).,所以AB的中點坐標為 代入直線方程y=kx+1得， 解得 答案：,【規(guī)律方法】求平面區(qū)域面積的方法 (1)利用一般方法求解: 畫出不等式組表示的平面區(qū)域,若不能直接畫出,應利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題,再作出平面區(qū)域;,對平面區(qū)域進行分析,若為三角形應確定底與高,若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形),可利用面積公式直接求解,若為不規(guī)則四邊形,可分割成幾個三角形分別求解再求和即可.,(2)利用幾何意義求解: 利用幾何意義求

7、解的平面區(qū)域問題,也應作出平面圖形,利用數(shù)形結(jié)合的方法去求解.,【變式訓練】(2014安徽高考)不等式組 表示的平面區(qū)域的面積為.,【解析】如圖所示,可得點A(0,2),B(2,0),C(8,-2), 根據(jù)圖形計算可得SABC= 22+ 22=4. 答案:4,【加固訓練】 1.不等式組 所表示的平面區(qū)域的面積等 于(),【解析】選C.平面區(qū)域如圖所示.解 得A(1,1),易得B(0,4),C |BC|= 所以SABC=,2.(2016汕頭模擬)已知約束條件 表示面 積為1的直角三角形區(qū)域,則實數(shù)k的值為()A.1B.-1C.0D.-2,【解析】選A.先作出不等式組 對應的平面區(qū)域,如圖:要使陰

8、影部分為直角三角形,當k=0時,此三角形的面積為 33= 1, 所以不成立,所以k0,則必有BCAB,因為x+y-4=0的斜率為-1,所以直線kx-y=0的斜率為1,即k=1,故選A.,3.設動點P(x,y)在區(qū)域: 上,過點P任作直線 l,設直線l與區(qū)域的公共部分為線段AB,則以AB為直徑 的圓的面積的最大值為()A.B.2C.3D.4,【解析】選D.作出不等式組所表示的可行域如圖中陰 影部分所示,則根據(jù)圖形可知,以AB為直徑的圓的面積 的最大值S= =4.,4.求不等式組 所表示的平面區(qū)域的面積. 【解析】如圖,平面區(qū)域為直角梯形, 易得A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5

9、), 所以AD=3,AB=2,BC=5.故所求區(qū)域的 面積為S= (3+5)2=8.,考向二線性規(guī)劃相關(guān)問題 【考情快遞】,【考題例析】 命題方向1:求目標函數(shù)的最值 【典例2】(1)(2015全國卷)若x,y滿足約束條件 則z=2x+y的最大值為. (本題源自人A必修5P91練習T1),(2)(2015全國卷)若x,y滿足約束條件 則 的最大值為.,【解題導引】(1)此題為截距型,根據(jù)約束條件畫出可 行域,在三角區(qū)域的頂點處取得最值. (2)此題為斜率型,作出可行域,由斜率的意義知, 是 可行域內(nèi)一點與原點連線的斜率,數(shù)形結(jié)合可求最值.,【規(guī)范解答】(1)畫出可行域如圖所示. 目標函數(shù)y=-

10、2x+z,當z取到最大值 時,y=-2x+z的縱截距最大,故將直 線移到點B(3,2)時,zmax=23+2=8. 答案:8,(2)作出可行域如圖中陰影部分所示,由 斜率的意義知, 是可行域內(nèi)一點與原 點連線的斜率,由圖可知,點A(1,3)與原 點連線的斜率最大,故 的最大值為3. 答案:3,【母題變式】1.本例題(1)條件不變,求z=2x+y的最小值. 【解析】由例題解析知,當將直線移到點A時,取得最小值.A點是直線2x-y-1=0和x-2y+1=0的交點,所以A點坐標為(1,1),所以z的最小值為zmin=21+1=3.,2.本例題(1)條件變?yōu)?求z=2x+y的最大值. 【解析】作圖易知

11、可行域為一個三角形,當直線z=2x+y 過點A(2,-1)時,z取最大值,最大值是3.,命題方向2:求參數(shù)的值或范圍 【典例3】(1)(2015福建高考)變量x,y滿足約束條件 若z=2x-y的最大值為2,則實數(shù)m等于() A.-2B.-1C.1D.2,(2)(2014安徽高考)x,y滿足約束條件 若z=y-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實數(shù)a的值 為() A. 或-1 B.2或 C.2或1 D.2或-1,【解題導引】(1)將目標函數(shù)變形為y=2x-z,結(jié)合題意,對m分類討論,畫出可行域,結(jié)合圖象,可找出最優(yōu)解,進而求出m的值. (2)作出可行域,分析題干可知線性目標函數(shù)對應直線與可行域某一

12、邊界重合,進而可求解.,【規(guī)范解答】(1)選C.如圖所示,當 m0時,比如在的位置,此時為開 放區(qū)域無最大值,當m2時,比如在 的位置,此時在原點取得最大值 不滿足題意,當0m2時,在點A取得最大值,所以 代入得m=1.,(2)選D.由線性約束條件可得其圖象如圖所示,由圖象可知直線z=y-ax經(jīng)過AB或AC時取得最大值的最優(yōu)解不唯一,此時a=2或-1.,【技法感悟】 線性規(guī)劃兩類問題的解決方法 (1)求目標函數(shù)的最值:畫出可行域后,要根據(jù)目標函數(shù) 的幾何意義求解,常見的目標函數(shù)有:截距型:形如 z=ax+by;距離型:形如 斜率型: 形如,(2)求參數(shù)的值或范圍:參數(shù)的位置可能在目標函數(shù)中,也

13、可能在約束條件中.求解步驟為:注意對參數(shù)取值的討論,將各種情況下的可行域畫出來;在符合題意的可行域里,尋求最優(yōu)解.,【題組通關(guān)】 1.(2015福建高考)若變量x,y滿足約束條件 則z=2x-y的最小值等于(),【解析】選A.畫出可行域如圖所示,當目標函數(shù)平移至 B點時截距最大,所以 把點B坐 標代入目標函數(shù)可得zmin=2(-1)-,2.(2014全國卷)設x,y滿足約束條件 且z=x+ay的最小值為7,則a=() A.-5B.3 C.-5或3D.5或-3,【解析】選B.方法一:畫出不等式組對應的平面區(qū)域,如圖所示.,聯(lián)立 解得 所以 當a=0時A為 z=x+ay的最小值為- ,不滿足題意;

14、 當a0時,由z=x+ay得y= 要使z最小,則直線y= 在y軸上的截距最大,此時最優(yōu)解不存在;,當a0時,當直線過點A時截距最小,z最小,此時z= =7,解得a=-5(舍去)或a=3. 方法二:先畫出可行域,然后根據(jù)圖形結(jié)合選項求解.當a=-5時,作出不等式組表示的可行域,如圖1(陰影部分),由 得交點A(-3,-2), 則目標函數(shù)z=x-5y過A點時取得最大值. zmax=-3-5(-2)=7,不滿足題意,排除A,C選項.,當a=3時,作出不等式組表示的可行域,如圖2(陰影部分) 由 得交點B(1,2),則目標函數(shù)z=x+3y過B點時 取得最小值.zmin=1+32=7, 滿足題意.,3.

15、(2014浙江高考)當實數(shù)x,y,滿足 時,1ax+y4恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是. 【解析】作出不等式組 所表示的區(qū)域, 由1ax+y4,由圖可知,a0且在(1,0)點取得最小值，在(2,1)點取得最大 值，所以a1,2a+14，故a的取值范圍為 答案：,考向三線性規(guī)劃實際應用 【典例4】(1)(2015陜西高考)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A,B兩種原料,已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示,如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元,則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為(),A.12萬元B.16萬元 C.17萬元D.18萬元,(2)(2016蕪湖模擬)某玩具生產(chǎn)公司

16、每天計劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個,生產(chǎn)一個衛(wèi)兵需5分鐘,生產(chǎn)一個騎兵需7分鐘,生產(chǎn)一個傘兵需4分鐘,已知總生產(chǎn)時間不超過10小時.若生產(chǎn)一個衛(wèi)兵可獲利潤5元,生產(chǎn)一個騎兵可獲利潤6元,生產(chǎn)一個傘兵可獲利潤3元.,用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個數(shù)x與騎兵個數(shù)y,表示每天的利潤W(元); 怎樣分配生產(chǎn)任務才能使每天的利潤最大,最大利潤是多少?,【解題導引】(1)把企業(yè)的生產(chǎn)實際抽象為不等式組,表示出目標函數(shù),畫出可行域,根據(jù)可行域可找出最優(yōu)解. (2)把公司生產(chǎn)的約束條件“翻譯”成不等式組,畫出可行域,可求目標函數(shù)最值.,【規(guī)范解答】(1)選D.設每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品 分別為x噸,y噸,利潤

17、為z萬元,則 目標函數(shù)為z=3x+4y. 作出二元一次不等式組所表示的 平面區(qū)域(陰影部分)即可行域.,由z=3x+4y得 平移直線 由圖象可知當直線 經(jīng)過點A時，直線 在y軸上的截距最大， 此時z最大，,解方程組 即A的坐標為(2,3), 所以zmax=3x+4y=6+12=18. 即每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為2噸,3噸,能夠產(chǎn)生最大的利潤,最大的利潤是18萬元.,(2)依題意,每天生產(chǎn)的傘兵個數(shù)為100-x-y,所以利潤W=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300. 約束條件為 整理,得,目標函數(shù)為W=2x+3y+300, 如圖所示,作出可行域. 初始直線l0:2x+3y=0

18、,平移初始直線經(jīng)過點A時,W有最大值, 最優(yōu)解為A(50,50), 所以Wmax=250+350+300=550(元). 答:每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個,騎兵50個,傘兵0個時利潤最大,為550元.,【易錯警示】解答本例題(2)容易出現(xiàn)以下錯誤:(1)弄不清約束條件,列不等式組時寫錯不等號的方向.(2)忽略總生產(chǎn)時間不超過10小時的條件,或用不等式表示不準確.,【規(guī)律方法】利用線性規(guī)劃解決實際問題的一般步驟 (1)審題:仔細閱讀材料,抓住關(guān)鍵,準確理解題意,明確有哪些限制條件,借助表格或圖形理清變量之間的關(guān)系. (2)設元:設問題中起關(guān)鍵作用的(或關(guān)聯(lián)較多的)量為未知量x,y,并列出相應的不等式組和目

19、標函數(shù).,(3)作圖:準確作出可行域,平移找點(最優(yōu)解). (4)求解:代入目標函數(shù)求解(最大值或最小值). (5)檢驗:根據(jù)結(jié)果,檢驗反饋.,【變式訓練】(2016南安模擬)某電視機廠計劃在下 一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)兩種型號電視機,每臺A型或B型電 視機所得利潤分別為6和4個單位,而生產(chǎn)一臺A型或B型 電視機所耗原料分別為2和3個單位,所需工時分別為4 和2個單位,如果允許使用的原料為100個單位,工時為 120個單位,且A或B型電視機產(chǎn)量分別不低于5臺和10臺, 應當生產(chǎn)每種類型電視機多少臺,才能使利潤最大?,【解析】設生產(chǎn)A型電視機x臺,B型電視機y臺,則根據(jù)已知條件知線性約束條件為,線性目

20、標函數(shù)為z=6x+4y. 根據(jù)約束條件作出可行域如圖中陰 影部分整點所示,作直線l0:3x+2y=0, 當直線l0平移至過點A時,z取最大值,解方程組 所以生產(chǎn)兩種類型電視機各20臺,所獲利潤最大.,【加固訓練】1.某旅行社租用A,B兩種型號的客車安排900名客人旅 行,A,B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,租金分別 為1600元/輛和2400元輛,旅行社要求租車總數(shù)不超 過21輛,且B型車不多于A型車7輛,則租金最少為()A.31 200元B.36 000元C.36 800元D.38 400元,【解析】選C.設旅行社租用A型 客車x輛,B型客車y輛,租金為z, 則線性約束條件為 目標函

21、數(shù)為z=1600 x+2400y.畫出可行域:圖中陰影部分 所示,可知目標函數(shù)過點N(5,12)時,有最小值zmin= 36800(元).,2.某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜,種植面積不超過50畝,投入資金不超過54萬元,假設種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表,為使一年的種植總利潤(總利潤=總銷售收入-總種植成 本)最大,那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位:畝)分別為 ()A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50,【解析】選B.設黃瓜、韭菜的種植面積分別為x,y畝, 則總利潤z=40.55x+60.3y-1.2x-0.9y=x+0.9y. 此時x,y滿足條件畫出可行域如圖,得最優(yōu)解為 A(30,20).,3.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1 桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A 原料2千克、B原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元, 每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的 計劃中,要求每天消耗A,B原料都不超過12千克.通過合,理安排生產(chǎn)計劃,從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中,公司共可獲得的最大利潤是()A.1 800元B.2 400元C.2 800元D.3 100元,【解析】選C.設某公司生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶,生產(chǎn)乙產(chǎn)品y桶, 獲利為z元,則x,y滿足的線性約束條件為 目標函數(shù)z=300 x+400y.,作出可行域,如圖中四邊