均值不等式公式總結(jié)及應(yīng)用

1、最新 料推薦均值不等式應(yīng)用2b21.(1) 若 a,br ，則 a2b22ab(2)若 a, bra（當(dāng)且僅當(dāng)，則 ab22.(1) 若 a, br*，則 abab(2)若 a, br* ，則 a b2 ab（當(dāng)且僅當(dāng)2a b 時(shí)取“ = ”）a b 時(shí)取“ = ”）*a b(3) 若 a,b r，則 ab22(當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“ = ”）3. 若 x0 ，則 x12(當(dāng)且僅當(dāng) x 1時(shí)取“ = ”）x若 x0，則 x12 ( 當(dāng)且僅當(dāng) x1時(shí)取“ = ”）x若 x0，則 x12即 x12或 x1-2(當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“ = ”）xxx4. 若 ab0 ，則 ab2(當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)

2、取“ = ”）baab0ab即ababab2或-2若，則bababa(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“ = ”）225. 若 a, br ，則 ( a2ab（當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“ = ”）b )22 ps.(1) 當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大” (2) 求最值的條件“一正，二定，三取等”(3) 均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用1最新 料推薦應(yīng)用一：求最值例 1：求下列函數(shù)的值域11（ 1） y 3 x 2 2x 2（2） y x x116 值域?yàn)?6 ， +

3、）解： (1)y 3x 2223x 222x2x11(2) 當(dāng) x 0 時(shí)， yx 2x 2 ；xx當(dāng) x0 時(shí)， y x 111= （ x ）2x = 2xxx值域?yàn)椋ǎ? 2 ，+ ）解題技巧技巧一：湊項(xiàng)例已知 x5y 4 x 21的最大值。，求函數(shù)4x45解：因 4x5 0 ，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又(4 x2)1不是常數(shù)，所以對(duì) 4x2 要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，4x5x5 , 5 4x 0 ，y 4 x 215 4x132 3 144 x 55 4x當(dāng)且僅當(dāng) 51，即 x 1x1 時(shí)， ymax 1。4x時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)5 4x評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值

4、。技巧二：湊系數(shù)例 1.當(dāng)時(shí)，求 yx(8 2x) 的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到 2x (82 x) 8 為定值，故只需將y x(82x) 湊上一個(gè)系數(shù)即可。當(dāng)，即 x 2 時(shí)取等號(hào)當(dāng) x 2時(shí)， yx(82x) 的最大值為 8 。評(píng)注：本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設(shè) 0x34x(32x) 的最大值。，求函數(shù) y232解： 0x0 y4x(3 2x)22x(3 2x) 2 2x 3 2x93 2x222當(dāng)且僅當(dāng)2x3 2x, 即 x30, 3時(shí)

5、等號(hào)成立。422最新 料推薦技巧三：分離x27x10例 3. 求 y(x1) 的值域。x1解析一：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x 1）的項(xiàng)，再將其分離。當(dāng),即時(shí), y2 （ x45 9 （當(dāng)且僅當(dāng) x 1 時(shí)取“”號(hào)）。1)x1技巧四：換元解析二：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x 1 ，化簡原式在分離求最值。(t2）25t441) 7(t1 +10 tyt=tt5t,即 t=時(shí) , y2 t49 （當(dāng) t=2即 x 1 時(shí)取“”號(hào)）。當(dāng)5t評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為y mg(x)a

6、b (a 0,b 0)， g(x) 恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來求最值。g( x)a技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，結(jié)合函數(shù)f ( x) x的單調(diào)性。x例：求函數(shù) yx25x2的值域。4解：令x24t (t2)，則 yx25x211x24t(t 2)4x24t因t0, t11，但t1解得t12,，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。不在區(qū)間tt因?yàn)?y t11,在區(qū)間t所以，所求函數(shù)的值域?yàn)? ,25單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調(diào)遞增函數(shù)，故y。2。練習(xí)求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x 的值 .（ 1） yx23x1,( x0)（ 2 ） y2x1, x3(3

7、) y 2sin x1 , x (0, )xx3sin x2已知 0x1，求函數(shù) yx(1 x) 的最大值 .； 3 0x2x(2 3x) 的最大值 .，求函數(shù) y3條件求最值1.若實(shí)數(shù)滿足 ab2，則3a3b 的最小值是.分析：“和”到“積”是一個(gè)縮小的過程，而且3a3b 定值，因此考慮利用均值定理求最小值，解： 3a 和 3b 都是正數(shù)， 3a3b 23a3b23a b63最新 料推薦當(dāng)3a3b時(shí)等號(hào)成立，由a b 2及3a3b得即當(dāng)時(shí)，3a3b的最小值是 6 a b 1a b 1變式：若 log 4 xlog 4 y 211，求x的最小值 .并求 x,y 的值y技巧六：整體代換多次連用最

8、值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。2：已知 x0, y191，求 xy 的最小值。0 ，且yx錯(cuò)解：x0, y0，且 191，xy1 92912故x y min 12。xyx y2 xyx yxy在 xy2xy 等號(hào)成立條件是xy ，在 192 919錯(cuò)因：解法中兩次連用均值不等式，等號(hào)成立條件是yxyxyx即 y9x ,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用均值不等式處理問題時(shí)，列出等號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解： x 0, y 0, 191， x y19y9 xx yyx10 6 10 16xyxyy9x1912 時(shí)， x

9、 y min 16 。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，又x1 ，可得 x 4, yxyy變式： （1 ）若 x, yr且 2x y1 ，求 11 的最小值xy(2) 已知 a, b, x, yr 且 ab1 ，求 xy 的最小值xy技巧七y 2已知 x，y 為正實(shí)數(shù)，且x 2 1，求 x1 y 2 的最大值 .2a 2 b 2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab 。21y 2中 y2 前面的系數(shù)為1x 1 y 2 x1 y 21y 2同時(shí)還應(yīng)化簡，2 2 x22221 y 2下面將 x，分別看成兩個(gè)因式：224最新 料推薦x 2 (1y 2y 2112)2 x 231y 23y 222

10、21 y 2 2 xx2即 x22222424技巧八：1已知 a， b 為正實(shí)數(shù)， 2 bab a 30 ，求函數(shù) y的最小值 .ab分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對(duì)本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對(duì)本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。30 2 bab30 2b 2 b 2 30 b法一： ，ab 1b1bb 1由 a0 得， 0 b152 t 2 34 t311616216令 t b +1 ，1 t16 ，a

11、b 2 （ t） 34 t t 8tttt ab 18 y1當(dāng)且僅當(dāng) t 4 ，即 b 3， a6 時(shí)，等號(hào)成立。18法二：由已知得：30 ab a2 b a2 b22 ab 30 ab 22 ab令 u ab則 u2 22 u30 0 ， 5 2 u 3 21 ab 3 2，ab 18 ，y18a br ）的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；如何由已知不等式點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式ab（ a, b2aba 2b30（ a,br ）出發(fā)求 得 ab 的范圍 ，關(guān) 鍵 是尋找 到 ab與 ab 之間的 關(guān)系， 由 此想 到不等 式abr ），這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab 的不等式，進(jìn)而解得ab 的范圍 .

12、2ab（ a,b變式： 1.已知 a0 ，b 0 ， ab (a b)1 ，求 ab 的最小值。2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知 x， y 為正實(shí)數(shù)， 3x2y 10 ，求函數(shù) w 3 x 2y 的最值 .aba 2 b 2解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，2，本題很簡單23x 2 y2（3 x ）2（2 y ） 2 23x2y 25解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值” 條件靠攏。w 0，w 2 3x 2y23 x 2 y 10 23x 2 y 10 (3x )2(2 y )2 10

13、 (3 x2 y) 205最新 料推薦 w 2025變式 : 求函數(shù) y2x152x( 1x5 )的最大值。22解析：注意到 2x1與 52x 的和為定值。y 2( 2 x 15 2 x )24 2 (2 x 1)(5 2 x) 4 (2 x 1) (5 2 x) 8又 y0，所以 0y22當(dāng)且僅當(dāng) 2x 1= 52x，即 x3故 ymax2 2 。時(shí)取等號(hào)。2評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件?？傊?，我們利用均值不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式1已知 a,

14、 b,c 為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a 2b2c2abbcca1）正數(shù) a，b ，c 滿足 a b c1 ，求證： (1 a)(1 b )(1 c)8abc例 6：已知 a、b 、cr ，且 abc1。求證：11111 18abc分析：不等式右邊數(shù)字8 ，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“2”連乘，又 111 abc2 bc ，aaaa可由此變形入手。解：a、 b 、 cr ， ab c1。111abc2bc 。同理112 ac ， 112ab 。上aaaabbcc述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得1111112 bc 2ac2ab8 。當(dāng)且僅當(dāng) abc1時(shí)取等號(hào)。3abcabc應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題例：已知 x0, y0191xym 恒成立的實(shí)數(shù) m 的取值范圍。且y，求使不等式x解：令 xyk,