四邊形全章知識(shí)點(diǎn)與常見題型總結(jié)(講解)

1、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1平行四邊形的定義兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形這個(gè)定義包含兩層意義：四邊形；兩組對(duì)邊分別平行2對(duì)角線的定義平行四邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)連成的線段叫做它的對(duì)角線3平行四邊形的性質(zhì)從邊看：平行四邊形的對(duì)邊平行且相等從角看：平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)從對(duì)角線看：平行四邊形的對(duì)角線互相平分，互相平分是指兩條線段有公共的中點(diǎn)4平行四邊形的面積平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積5.平行四邊形的判別方法兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四

2、邊形6.平行四邊形的性質(zhì)與判定的區(qū)別平行四邊形的性質(zhì)是指平行四邊形的邊,角,對(duì)角線等所具有的大小或位置之間的關(guān)系,而平行四邊形的判定是指四邊形具有什么條件就是平行四邊形7.矩形的定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形8.矩形的性質(zhì)具有平行四邊形的一切性質(zhì)矩形的四個(gè)角都是直角矩形的對(duì)角線相等矩形是軸對(duì)稱圖形,它有兩條對(duì)稱軸9.矩形的判定有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形另外還有對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形10.直角三角形的性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半11.矩形對(duì)角線產(chǎn)生的三角形的特點(diǎn)矩形的一條對(duì)角線把矩形分成兩個(gè)全等的直角三

3、角形,兩條對(duì)角線把矩形分成四個(gè)小的全等的等腰三角形12.有關(guān)矩形面積的計(jì)算面積公式:矩形面積=長(zhǎng)寬如圖.矩形的兩條對(duì)角線相交于,則13.菱形的定義一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形14.菱形的性質(zhì)具有平行四邊形的一切性質(zhì)菱形的四條邊都相等菱形的兩條對(duì)角線互相垂直,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角菱形是軸對(duì)稱圖形,每條對(duì)角線所在的直線都是它的對(duì)稱軸15.菱形的判定方法有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形四條邊都相等四邊形是菱形16.有關(guān)菱形的面積計(jì)算由于菱形的對(duì)角線互相垂直平分,也可以用平行四邊形的面積計(jì)算公式=底高17.正方形的定義一組鄰邊相等的矩形叫做正方形正方形不僅是

4、特殊的平行四邊形,而且是特殊的矩形,又是特殊的菱形18.正方形的性質(zhì)正方形具有平行四邊形,矩形,菱形的一切性質(zhì)邊:四邊相等,對(duì)邊平行角:四個(gè)角都是直角對(duì)角線:互相平分;相等;且垂直;每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角,即正方形的對(duì)角線與邊的夾角為正方形是軸對(duì)稱圖形,有四條對(duì)稱軸19.正方形的判定菱形+矩形的一條特征菱形+矩形的一條特征平行四邊形+一個(gè)直角+一組鄰邊相等說明一個(gè)四邊形是正方形的一般思路是:先判斷它是矩形,在判斷這個(gè)矩形也是菱形;或先判斷它是菱形,再判斷這個(gè)菱形也是矩形20.正方形對(duì)角線產(chǎn)生的三角形特點(diǎn)正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形,兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)小的全等

5、的等腰直角三角形21.正方形常用的輔助線添加方法正方形中常連對(duì)角線,把四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題有垂直時(shí)做垂線構(gòu)造正方形有正方形一邊中點(diǎn)時(shí)常取另一邊中點(diǎn)構(gòu)造圖形來應(yīng)用利用旋轉(zhuǎn)法將與正方形有關(guān)的題目的分散元素集中起來,從而為解決問題創(chuàng)造條件22.平行四邊形,菱形,矩形,和正方形四者之間的關(guān)系23.梯形定義:一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形 梯形的底:梯形中平行的兩邊叫做梯形的底,通常把較短的底叫做上底,較長(zhǎng)的底叫做下底 梯形的腰:梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰 梯形的高:梯形兩底之間的距離叫做梯形的高等腰梯形:兩腰相等的梯形 直角梯形:一腰垂直于底的梯形24.梯形的判定 判定四

6、邊形一組對(duì)邊平行,另一組對(duì)邊不平行一組對(duì)邊平行但不相等的四邊形是梯形25.等腰梯形的性質(zhì)兩底平行,兩腰相等等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等等腰梯形的兩條對(duì)角線相等等腰梯形是軸對(duì)稱圖形,只有一條對(duì)稱軸,一底的垂直平分線是它的對(duì)稱軸26.等腰梯形的判定兩腰相等的梯形是等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形(以前出現(xiàn),但是在新課標(biāo)中沒有出現(xiàn)的判定方法:對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形)27.梯形的面積面積=（上底+下底）高2三角形中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段，叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半梯形中位線：連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段，叫做梯形的中位線梯形中位線平行于兩

7、底，并且等于兩底和的一半梯形輔助線的添法（圖一） （圖二） （圖三）（圖四） （圖五） （圖六）（圖七） （圖八）基礎(chǔ)題型1如圖在平行四邊形中，求這個(gè)平行四邊形各內(nèi)角的度數(shù)解：四邊形是平行四邊形，由于故設(shè)，則即解得因此，平行四邊形各內(nèi)角度數(shù)分別是，已知平行四邊形的周長(zhǎng)為，相交于，且的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)小于，如圖，求平行四邊形各邊的長(zhǎng)解：四邊形為平行四邊形，的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)且的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)小于又平行四邊形的周長(zhǎng)為，如圖，已知：在平行四邊形中，是對(duì)角線，于，于求證：證明：方法一：四邊形是平行四邊形，方法二：連接，交于四邊形是平行四邊形，又，而（）如圖所示，在平行四邊形中，分別是，延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，則與具有怎

8、么樣的位置關(guān)系？試說明理由解：證明：方法一：在平行四邊形中，又方法二連接，交于在平行四邊形中，（）方法三連接，交于，連接，由方法二知，四邊形為平行四邊形如圖，已知是平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，那么的周長(zhǎng)為解：根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分以及對(duì)邊相等的性質(zhì)可知，的周長(zhǎng)為 如圖平行四邊形中，與交于，則該圖形中的平行四邊形的個(gè)數(shù)共有（） 由題意可知圖中的平行四邊形分別是：，所以共有個(gè).如圖，平行四邊形中，平分交于，交的延長(zhǎng)線于，交于，交延長(zhǎng)線于，垂足為，試證明：證明：四邊形為平行四邊形，平分，（），如圖，已知：，分別在的各邊上，延長(zhǎng)到，使求證：與互相平分證明：連接，四邊形是平行四邊形，又，而四邊形為平行

9、四邊形與互相平分如圖，已知是的邊的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，試說明：與互相平分 證明：連接，四邊形為平行四邊形，是中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形與互相平分如圖，點(diǎn)，分別在平行四邊形的邊，上，且，垂足分別為，求證：與互相平分證明：連接，四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）與互相平分如圖，與互相平分，交點(diǎn)為，與互相平分，交點(diǎn)為，那么，四邊形是平行四邊形么？你是怎么判定的？解：四邊形是平行四邊形證明：連接，與互相平分四邊形是平行四邊形，與互相平分四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形.如圖，已知,是的高，是的中點(diǎn)求證：證明：，是的高，均為直角三角形 是的中點(diǎn)是斜邊上的中

10、線，是斜邊上的中線，.如圖，先將矩形紙片對(duì)折一次折痕為，展開后又將紙片折疊使點(diǎn)落在上，此時(shí)折痕為，求度數(shù)的大小提示：根據(jù)題意得過點(diǎn)作，垂足為則，（直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，反過來也成立）.過矩形對(duì)角線的中點(diǎn)作分別交，于,，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，求證：證明：連接四邊形是矩形是線段的垂直平分線，是中點(diǎn).在矩形，,，將矩形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，在展開，求折痕的長(zhǎng)解：,由勾股定理可得根據(jù)題意有，設(shè)，由勾股定理，即解得，（提示：對(duì)角線互相垂直的四邊形面積等于對(duì)角線乘積的一半）已知：如圖，是矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，平分，求的度數(shù)答案：提示為等腰直角三角形，為等邊三角形，為等腰三角形 ，.如圖，為

11、過的直角頂點(diǎn)的直線，且于，于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求證：證明：連接為直角三角形，為斜邊的中點(diǎn)，又（），為的中點(diǎn)，即又，（）總結(jié)：在直角三角形中，出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，常見的輔助線是斜邊上的中線以及中位線如圖是菱形邊的中點(diǎn)，于，交的延長(zhǎng)線于，交于，求證：與互相平分證明：四邊形是菱形，（）（），即與互相平分方法二：連接，由，得，則且四邊形為平行四邊形與互相平分如圖，在中，是的平分線，交于點(diǎn)，是邊上的高，交于，于求證：四邊形是菱形證明：是的平分線，是的平分線，四邊形是平行四邊形平行四邊形是菱形菱形中，如果它的一條對(duì)角線長(zhǎng)為，求菱形的邊長(zhǎng)解：若對(duì)角線，如圖四邊形為菱形，且則為等邊三角形菱形的邊長(zhǎng)為若對(duì)角線，如圖四邊形為

12、菱形，且則為等邊三角形又設(shè)，由勾股定理可得，解得，綜上所述：菱形的邊長(zhǎng)為或如圖，四邊形是正方形，是的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且求證：證明：連接，設(shè)，則四邊形是正方形，為中點(diǎn)在中，在中，在中，則，是直角三角形（到初三的時(shí)候此題還有額外的證明方法）如圖，過正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，作于，作于，連接，求證：， 證明：連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)四邊形是正方形，（），四邊形為矩形（有三個(gè)角為直角的四邊形為矩形），（），如圖正方形中，是的中點(diǎn)，平分，交于求證： 證明：取線段的中點(diǎn)，連接四邊形為正方形，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)平分在與中思考：若點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其他條件不變，則上面的結(jié)論還成立么？請(qǐng)參考上面的解題思路，本題還有額外的證明

13、方法，但是需要初三學(xué)習(xí)的知識(shí)，現(xiàn)在就不列舉了如圖，在梯形中，分別是，的中點(diǎn)，且，求證：梯形為等腰梯形證明：過分別作，的平行線交于，易知四邊形和四邊形都是平行四邊形，分別是，的中點(diǎn)，是線段的垂直平分線故梯形是等腰梯形已知等腰梯形中，求它的腰長(zhǎng) 解：方法一：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)四邊形為平行四邊形，四邊形為等邊三角形，方法二過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為四邊形為等腰梯形，（）四邊形為矩形，如圖，在中，平分，點(diǎn)是的中點(diǎn)求證： 證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，平分（）（又是高，又是角平分線，很容易聯(lián)想到“三線合一”），點(diǎn)是的中點(diǎn)是三角形的中位線，如圖，在梯形中，是中點(diǎn)求證： 證明：取中點(diǎn)，連接由梯形中位線性質(zhì)可知且基礎(chǔ)知識(shí)

14、達(dá)標(biāo)一、精心選一選（每小題3分，共30分）1、在ABCD中，A：B：C：D的值可以是（）A1：2：3：4 B1：2：2：1 C2：2：1：1 D2：1：2：12、菱形和矩形一定都具有的性質(zhì)是（）A對(duì)角線相等 B對(duì)角線互相垂直C對(duì)角線互相平分 D對(duì)角線互相平分且相等3、下列命題中的假命題是（）A等腰梯形在同一底邊上的兩個(gè)底角相等 B對(duì)角線相等的四邊形是等腰梯形C等腰梯形是軸對(duì)稱圖形 D等腰梯形的對(duì)角線相等4、四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，能判定它是正方形的是（）AAOOC，OBOD BAOBOCODO，ACBDCAOOC，OBOD，ACBD DAOOCOBOD5、給出下列四個(gè)命題一組

15、對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形一條對(duì)角線平分一個(gè)內(nèi)角的平行四邊形是菱形兩條對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形順次連接等腰梯形四邊中點(diǎn)所得四邊形是等腰梯形。其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)6、下列矩形中按虛線剪開后，能拼成平行四邊形，又能拼成直角三角形的是（）中點(diǎn)中點(diǎn)中點(diǎn)ABCD7. 順次連結(jié)四邊形各邊的中點(diǎn)，所成的四邊形必定是 A等腰梯形 B直角梯形 C矩形 D平行四邊形8、如圖：等腰梯形ABCD中，ADBC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，那么圖中的全等三角形共有A 1對(duì) B 2對(duì) C 3對(duì) D 4對(duì) 9、下列圖形中是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形的是A菱形 B矩形 C正方形 D平

16、行四邊形10. 等腰梯形的兩條對(duì)角線互相垂直，中位線長(zhǎng)為8，則該等腰梯形的面積為A 16 B 32 C 64 D 512二、耐心填一填（每小題分，共30分）11、對(duì)角線平行四邊形是矩形。12、如圖已知O是ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，AC24，BD38，AD14，那么OBC的周長(zhǎng)等于。ADBCFEABDCOABDCEABDCO13、在平行四邊形ABCD中，CB+D,則A，D。14、一個(gè)平行四邊形的周長(zhǎng)為70cm，兩邊的差是10cm，則平行四邊形各邊長(zhǎng)為cm。15、已知菱形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為12cm，面積為30cm2，則這個(gè)菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)為_cm。6、菱形ABCD中，A60o，對(duì)角線BD長(zhǎng)為7cm，

17、則此菱形周長(zhǎng)cm。17、如果一個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，那么它的面積。18、如圖2矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于O,AOB60o,AB8,則矩形對(duì)角線的長(zhǎng)。19、如圖3,等腰梯形ABCD中，ADBC，ABDE，BC8，AB6，AD5則CDE周長(zhǎng)。20、要從一張長(zhǎng)為40cm，寬為20cm的矩形紙片中，剪出長(zhǎng)為18cm，寬為12cm的矩形紙片，最多能剪出張。三、用心想一想（共40分）21、（8分）如圖：在ABCD中，BAD的平分線AE交DC于E，若DAE25o，DACBE求C、B的度數(shù)。ADBC23、（8分）已知在梯形ABCD中，ADBC，ABDC，D120o,對(duì)角線CA平分BCD，且梯形的周長(zhǎng)20，

18、求AC。ABDCFE60o21、（8分）如圖：在正方形ABCD中，E為CD邊上的一點(diǎn)，F(xiàn)為BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CECF，BCE與DCF全等嗎？說明理由；若BEC60o，求EFD。24、證明題：（8分）ABDCFE如圖，ABC中ACB90o，點(diǎn)D、E分別是AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且CDFA，求證：四邊形DECF是平行四邊形。ABDCFE25、（8分）已知：如圖所示，ABC中，E、F、D分別是AB、AC、BC上的點(diǎn)，且DEAC，DFAB，要使四邊形AEDF是菱形，在不改變圖形的前提下，你需添加的一個(gè)條件是試證明：這個(gè)多邊形是菱形。參考答案1D；2C3B4B5B6B 7 D 8 C

19、9D 10C11相等124513A120o，D60o1422.5，12.515516281711816191520 321解：BAD2DAE225o50o又ABCDCBAD50oADBCB180oBAD180o50o130o22解：ADBC12ADBC123又2313ADDC又ABDC得ABADDC在ADC中D120o13又BCD2360o B=BCD=60o BAD180oB290o230o則BC2AB2x AB4BC8在RtABC中AC23BCEDCF理由：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形BCCD，BCD90oBCEDCF又CECFBCEDCFCECFCEFCFEFCE90oCFE又BCEDCF

20、CFDBEC60oEFDCFDCFE60o45o15o24證明：D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)DEBCACB90o CE=ABAEAECACDFACDFECA DFCE 四邊形DECF是平行四邊形25答條件AEAF（或AD平分角BAC，等）證明：DEACDFAB四邊形AEDF是平行四邊形又AEAF四邊形AEDF是菱形。【綜合能力過關(guān)】一、精心選一選（每小題3分，共30分）1、菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是 （ ）A.對(duì)角線互相平分； B.四條邊都相等； C.對(duì)角相等； D.鄰角互補(bǔ)2、關(guān)于四邊形ABCD 兩組對(duì)邊分別平行；兩組對(duì)邊分別相等；有一組對(duì)邊平行且相等；對(duì)角線AC和BD相等；以上四個(gè)條件中

21、可以判定四邊形ABCD是平行四邊形的有（ ）。 A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)3、能夠判定一個(gè)四邊形是菱形的條件是（ ）。對(duì)角線相等且互相平分 B對(duì)角線互相垂直且互相平分C對(duì)角線相等且互相垂直 D對(duì)角線互相垂直4、矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（ ） A對(duì)角線相等 B對(duì)角線互相平分 C對(duì)角線互相垂直 D對(duì)角線平分對(duì)角5、三角形的重心是三角形三條（ ）的交點(diǎn)A中線 B高 C角平分線 垂直平分線6、若順次連結(jié)四邊形ABCD各邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形，則四邊形ABCD必然是（ ）A菱形 B對(duì)角線相互垂直的四邊形 C正方形 D對(duì)角線相等的四邊形7、下列命題中，真命題是（ ）A有兩邊相等的平行四邊形是菱

22、形 B有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形C四個(gè)角相等的菱形是正方形 D兩條對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形8、如右圖，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，C=60，BD平分ABC如果這個(gè)梯形的周長(zhǎng)為30，則AB的長(zhǎng)為（ ）A4 B5 C6 D79、下列說法中，不正確的是（ ）A有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形B對(duì)角線相等的四邊形是矩形C對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形 D對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形10、如圖，矩形ABCD中，DEAC于E，且ADE：EDC=3：2，則BDE的度數(shù)為 （ ） A36o B9o C27o D18o 二、耐心填一填（每小題3分，共30分）11、平行四邊形ABCD中，A

23、=500，AB=30cm，則B=_，DC=_ cm。12、平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為20cm，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若BOC的周長(zhǎng)比AOB的周長(zhǎng)大2cm，則CD cm。13、若邊長(zhǎng)為4cm的菱形的兩鄰角度數(shù)之比為12，則該菱形的面積為 cm2。14、如圖，ABC中，EF是它的中位線，M、N分別是EB、CF的中點(diǎn)，若BC=8cm，那么EF= cm，MN= cm；15、若矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為8cm，兩條對(duì)角線的一個(gè)交角為600，則該矩形的面積為 cm2。16、如右圖，若梯形的兩底長(zhǎng)分別為4cm和9cm，兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為5cm和12cm，則該梯形的面積為 cm2。17、在ABCD 中，若添加一個(gè)

24、條件_，則四邊形ABCD是矩形；若添加一個(gè)條件_，則四邊形ABCD是菱形18、菱形的兩條對(duì)角線分別是6cm，8cm，則菱形的邊長(zhǎng)為_ cm，面積為_ cm219、在等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=6cm，BC=8cm，B=60，則AB=_cm20、梯形的上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為5，一腰為4，則另一腰m的范圍是 。三、用心想一想（共40分）21（7分）.如圖, 平行四邊形 ABCD中,G是CD上一點(diǎn),BG交AD延長(zhǎng)線于E,AF=CG,.(1)試說明DF=BG; (2)試求的度數(shù). 22. （7分） 已知：如圖， ABCD各角的平分線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H， 求證：四邊形EFGH是矩形23（7分）如圖，梯形ABCD中，ADBC，M、N、P、Q分別為AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)。求證：MN和PQ互相平分。24. （7分）已知：梯形ABCD中，ABCD，E為DA的中點(diǎn)，且BC