第9章第1-2節(jié)圖形的旋轉;中心對稱

1、年級八年級學科數(shù)學版本江蘇科技版課程標題第9章第1-2節(jié)圖形的旋轉；中心對稱與中心對稱圖形編稿老師王長遠一校楊雪二校黃楠審核張偉一、考點突破1. 理解并掌握旋轉的性質，會利用“旋轉不變性”以及旋轉前后圖形的特點來解題；2. 理解并掌握平移的性質，能夠利用平移的特點來作圖或者解決相關問題；3. 理解并掌握中心對稱的性質、判定及其應用，并能夠利用中心對稱的特點熟練掌握關于原點中心對稱的點的坐標特點二、重難點提示重點：平移、旋轉的性質及其應用，中心對稱的性質及其應用。難點：靈活利用平移、旋轉、中心對稱的相關定理解決實際問題。微課程1：圖形的旋轉【考點精講】考點1：旋轉的決定要素：考點2：旋轉的性質：

2、（1）旋轉性質1：“旋轉不變性”：文字語言：旋轉前、后的圖形全等，（旋轉不改變圖形的大小和形狀），即對應線段相等，對應角相等。符號語言：是由ABC繞點O旋轉得到的 ABC （2）旋轉性質2：文字語言：對應點到旋轉中心的距離相等。符號語言：是由ABC繞點O旋轉得到的 （3）旋轉性質3：文字語言：對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角。（圖形上的每一點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度。）符號語言：是由ABC繞點O旋轉得到的 （4）旋轉性質4：文字語言：旋轉中心在對應點連線的垂直平分線上。定理證明：DEF是由ABC繞點O旋轉得到的 OBOE（對應點到旋轉中心的距離相等） O在線段BE的垂直平

3、分線上（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等） 同理：O在線段AD的垂直平分線上 兩對應點連線的垂直平分線交點即為旋轉中心說明：此定理一般應用于找“旋轉中心”?？键c3：旋轉對稱圖形：把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形。說明：所有的中心對稱圖形都是旋轉對稱圖形。同學們，下面這些圖形都是旋轉對稱圖形嗎？什么樣的圖形一定是旋轉對稱圖形呢？ 考點4：旋轉變換作圖：旋轉作圖的一般步驟：在已知圖形上找相關的點；作出這些點的對應點，對應點的找法是：將各點與旋轉中心連接；以旋轉中心為頂點，以上述連線為一邊，向旋轉方向作角的另一邊，使這些角都等于旋轉角度，且使另

4、一邊長度都等于對應線段到旋轉中心的長度，在這些“另一邊”的端點就是對應點；順次連接對應點。說明： 【典例精析】例題1 如圖，將一個鈍角ABC（其中ABC120）繞點B順時針旋轉得A1BC1，使得C點落在AB延長線上的點C1處，連接AA1。（1）寫出旋轉角的度數(shù)；（2）求證：A1ACC1。思路導航：（1）CBC1即為旋轉角，其中ABC120，所以，CBC1180ABC；（2）由題意知，ABCA1BC1，易證A1AB是等邊三角形，得到AA1BC，繼而得出結論；答案：（1）解：ABC120，CBC1180ABC18012060，旋轉角為60；（2）證明：由題意可知：ABCA1BC1，A1BAB，CC

5、1，由（1）知，ABA160，A1AB是等邊三角形，BAA160，BAA1CBC1，AA1BC，A1ACC，A1ACC1。點評：本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定和性質及等邊三角形的判定和性質，熟練掌握這些性質是解答本題的關鍵。例題2 如圖所示，正方形ABCD中，E是CD上一點，F(xiàn)在CB的延長線上，且DEBF。（1）求證：ADEABF；（2）問：將ADE順時針旋轉多少度后與ABF重合，旋轉中心是什么？思路導航：（1）根據SAS定理，即可證明兩三角形全等；（2）將ADE順時針旋轉后與ABF重合，A不變，因而旋轉中心是A，DAB是旋轉角，是90度。答案：（1）證明：在正方形ABCD中，DABC

6、90，ABF90，DABF90，又DEBF，ADAB，ADEABF。（2）解：將ADE順時針旋轉90后與ABF重合，旋轉中心是點A。點評：本題主要考查了三角形全等的判定方法，以及旋轉的定義，正確理解旋轉的定義是解答本題的關鍵。 例題3 我們學習過：在平面內，將一個圖形繞一個定點沿著某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉，這個定點稱為旋轉中心。（1）如圖，ABCDEF，DEF能否由ABC通過一次旋轉得到？若能，請用直尺和圓規(guī)畫出旋轉中心，若不能，試簡要說明理由；（2）如圖，ABCMNK，MNK能否由ABC通過一次旋轉得到？若能，請用直尺和圓規(guī)畫出旋轉中心，若不能，試簡要說明理由。（保留必要

7、的作圖痕跡）思路導航：（1）能，連接對應點，作對應點連線的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點即為旋轉中心；（2）能，根據三角形的全等關系，找出對應點并連線，作對應點連線的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點即為旋轉中心。答案：解：（1）能，如圖，點O1就是所求作的旋轉中心；（2）能，如圖，點O2就是所求作的旋轉中心。點評：本題考查了旋轉變換的作圖，解題的關鍵是明確旋轉中心與對應點的連線相等的性質，故作對應點連線的垂直平分線。隨堂練習：如果一個四邊形繞對角線的交點旋轉90，所得四邊形與原四邊形重合，那么這個四邊形一定是（）A. 平行四邊形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形答案：A、平行四邊形繞對角

8、線交點旋轉能夠與原來的圖形重合的最小的度數(shù)是180度，錯誤；B、矩形繞對角線交點旋轉能夠與原來的圖形重合的最小的度數(shù)是180度，錯誤；C、菱形繞對角線交點旋轉能夠與原來的圖形重合的最小的度數(shù)是180度，錯誤；D、正方形繞對角線交點旋轉能夠與原來的圖形重合的最小的度數(shù)是90度，正確故選D?！究偨Y提升】微課程2：圖形的平移與旋轉綜合應用【考點精講】考點1：平移的決定要素：考點2：平移的性質：（1）平移性質1：“平移不變性”：文字語言：平移前、后的圖形全等。（平移不改變圖形的大小和形狀），即對應線段平行（或在同一直線上）且相等，對應角相等。符號語言：是由ABC平移得到的ABC（或在同一直線上）（2）

9、平移性質2：文字語言：對應點連線平行（或在同一直線上）且相等。符號語言：是由ABC平移得到的（或在同一直線上）考點3：平移變換作圖：平移作圖的一般步驟：找出已知圖形中的相關的點；過這些點作與已知平移方向平行的線段，使這些平行線段的長度都等于平移的長度；依照圖形依次連接對應的點，得到新的圖形，這個圖形就是已知圖形的平移圖形?？键c4：圖形的變換：平移、旋轉、翻折（軸對稱）?！镜淅觥?例題1 如圖，寫出ABC三頂點的坐標，并在圖中描出點A1（3，3），B1（2，2），C1（4，1），并說明A1B1C1是ABC通過怎樣的變化得到的？思路導航：根據題中所給點A1、B1和C1的坐標描出這三點，然后順次

10、連接，根據平移變換的特點即可判斷。答案：所畫圖形如下所示：根據平移的性質可知：A1B1C1是ABC向上平移1個單位，向右平移5個單位得到的。點評：本題考查幾何變換的類型，解題關鍵是熟練掌握平移變換、軸對稱變換、旋轉變換和位似變換這4種幾何變換的特點，難度一般。 例題2 閱讀下面材料：如圖（1），把ABC沿直線BC平行移動線段BC的長度，可以變到DEC的位置；如圖（2），以BC為軸，把ABC翻折180，可以變到DBC的位置；如圖（3），以點A為中心，把ABC旋轉180，可以變到AED的位置。像這樣，其中一個三角形是由另一個三角形按平行移動、翻折、旋轉等方法變成的。這種只改變位置，不改變形狀大小的

11、圖形變換，叫做三角形的全等變換。回答下列問題：在圖（4）中，可以通過平行移動、翻折、旋轉中的哪一種方法怎樣變化，使ABE變到ADF的位置；指出圖中線段BE與DF之間的關系，并說明理由。思路導航：AB和AD是對應線段，那么應繞點A逆時針旋轉90得到；關系應包括位置關系和數(shù)量關系。旋轉前后的三角形是全等的，BEDF，延長BE交DF于點G，利用對應角相等，可得到垂直。答案：解：在圖4中可以通過旋轉90使ABE變到ADF的位置。由全等變換的定義可知，通過旋轉90，ABE變到ADF的位置，只改變位置，不改變形狀大小，ABEADF，BEDF，ABEADF，ADFF90，ABEF90，BEDF。 點評：旋轉

12、前后的三角形全等；所求關系應包括位置關系和數(shù)量關系。【總結提升】平移、旋轉和軸對稱（翻折）的區(qū)別和聯(lián)系：（1）區(qū)別：三者概念的區(qū)別：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移；在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉；在平面內，將一個圖形沿著某條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么這兩個圖形成軸對稱。三者運動方式不同：平移是將圖形沿某個方向移動一定的距離；旋轉是將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度；軸對稱是將圖形沿著某一條直線折疊。對應線段、對應角之間的關系不同：平移變換前后圖形的對應線段平行（或共線）且相等；對應點所連

13、的線段平行且相等；對應角的兩邊分別平行且對應角的方向一致。旋轉變換前后圖形的任意一對對應點與旋轉中心的距離相等、與旋轉中心的連線所成的角是旋轉角。軸對稱的對應線段或延長線相交，交點在對稱軸上：對應點的連線被對稱軸垂直平分。三者作圖所需的條件不同：平移要有平移的方向和平移的距離；旋轉要有旋轉中心、旋轉方向和旋轉角；軸對稱要有對稱軸。（2）聯(lián)系：它們都在平面內進行圖形變換；它們都只改變圖形的位置不改變圖形的形狀和大小，因此變換前后的兩個圖形全等；都要借助尺規(guī)作圖及全等三角形的知識作圖。微課程3：中心對稱【考點精講】考點1：中心對稱：如果一個圖形繞著某一點旋轉180，能夠與另一個圖形重合，那么就說這

14、兩個圖形關于這個點對稱，也稱中心對稱。這個點叫對稱中心。兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點?？键c2：中心對稱圖形：如果一個圖形繞某一點旋轉180，能夠與原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫中心對稱圖形，這個點叫對稱中心。說明：中心對稱與中心對稱圖形是兩個不同的概念。中心對稱是指兩個圖形的變換性質；中心對稱圖形是指一個圖形本身具有的對稱性?？键c3：中心對稱的性質：（1）中心對稱性質1：文字語言：關于中心對稱的兩個圖形是全等形。符號語言：ABC與ABC成中心對稱 ABCABC （2）中心對稱性質2：文字語言：關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。符號語言：ABC與

15、ABC成中心對稱 OAOA，OBOB，OCOC （3）中心對稱性質3：文字語言：關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在一條直線上）且相等。符號語言：與ABC成中心對稱（或在同一直線上）考點4：中心對稱的判定：文字語言：如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱。符號語言：OAOA，OBOB，OCOC且AA，BB，CC都經過點O ABC與ABC關于點O成中心對稱考點5：關于原點中心對稱的點的坐標：兩個點關于原點對稱時，若點P（x，y），則關于原點的對稱點為P（x，y）。考點6：軸對稱與中心對稱的區(qū)別：軸對稱中心對稱有一條對稱軸直線有一個對稱中心點圖形

16、沿對稱軸對折（翻折180）后重合圖形繞對稱中心旋轉180后重合對稱點的連線被對稱軸垂直平分對稱點連線經過對稱中心，且被對稱中心平分【典例精析】 例題1 如圖是兩個等邊三角形拼成的四邊形。（1）這個圖形是不是旋轉對稱圖形？是不是中心對稱圖形？若是，指出對稱中心。（2）若ACD旋轉后能與ABC重合，那么圖形所在平面上可以作為旋轉中心的點共有幾個？請一一指出。思路導航：（1）根據旋轉對稱圖形的定義得出即可；（2）利用ACD旋轉后能與ABC重合，結合圖形得出旋轉中心。答案：（1）這個圖形是旋轉對稱圖形，對稱中心為AC的中點；（2）3個，旋轉中心可以為：點A，點C，AC的中點。 點評：此題主要考查了旋轉

17、對稱圖形的定義，正確根據旋轉的性質得出旋轉中心是解題關鍵。 例題2 平面直角坐標系中，已知點P（2，1），點T（t，0）是x軸上的一個動點。（1）求點P關于原點的對稱點P的坐標；（2）當t取何值時，PTO是等腰三角形？思路導航：（1）根據坐標關于原點對稱的特點即可得出點P的坐標；（2）要分類討論，動點T在原點左側和右側時分別進行討論即可得出當t取何值時，PTO是等腰三角形。答案：（1）點P關于原點的對稱點P的坐標為（2，1）；（2），（a）當動點T在原點左側，當T1OPO時，PTO是等腰三角形，（b）當動點T在原點右側，當T2OT2P時，PTO是等腰三角形，當T3OPO時，PTO是等腰三角形，

18、當T4PPO時，PTO是等腰三角形，得：點T4（4，0）。綜上所述，符合條件的t的值為。點評：本題主要考查了平面直角坐標系中坐標關于原點對稱的特點?！究偨Y提升】中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系名稱中心對稱中心對稱圖形定義把一個圖形繞著某一個點旋轉180，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這點對稱，這個點叫做對稱中心，兩個圖形關于點對稱也稱中心對稱，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點如果一個圖形繞著一個點旋轉180后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心性質兩個圖形可完全重合；對應點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分是一個特殊

19、的圖形對應點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分區(qū)別兩個圖形的關系對稱點在兩個圓形上具有某種性質的一個圖形對稱點在一個圖形上聯(lián)系若把中心對稱圖形的兩部分分別看作兩個圖形，則它們成中心對稱，若把中心對稱的兩個圖形看作一個整體，則成為中心對稱圖形（答題時間：30分鐘）圖形的旋轉1. 將下圖按順時針方向旋轉90后得到的是（）A. B. C. D. 2. 同學們曾玩過萬花筒，它是由三塊等寬等長的玻璃片圍成的。如圖是看到的萬花筒的一個圖案，圖中所有小三角形均是全等的等邊三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A為中心（）A. 順時針旋轉60得到B. 順時針旋轉120得到C. 逆時針旋轉60

20、得到D. 逆時針旋轉120得到3. 如圖，將AOB繞點O按逆時針方向旋轉45后得到AOB，若AOB15，則AOB的度數(shù)是（）A. 25B. 30C. 35D. 404. 如圖（1），已知兩個全等三角形的直角頂點及一條直角邊重合，將ACB繞點C按順時針方向旋轉到ACB的位置，其中AC交直線AD于點E，AB分別交直線AD、AC于點F、G，則在圖（2）中，全等三角形共有（）A. 5對B. 4對C. 3對D. 2對5. 下圖中，甲圖怎樣變成乙圖：_。6. 如圖，是兩塊完全一樣的含30角的三角板，分別記作ABC與ABC，現(xiàn)將兩塊三角板重疊在一起，設較長直角邊的中點為M，繞中點M轉動上面的三角板ABC，使

21、其直角頂點C恰好落在三角板ABC的斜邊AB上，當A30，AC10時，則此時兩直角頂點C、C間的距離是_。7. 如圖，已知ADAE，ABAC。（1）求證：BC；（2）若A50，問ADC經過怎樣的變換能與AEB重合？8. 將兩塊大小相同的含30角的直角三角板（BACBAC30）按圖方式放置，固定三角板ABC，然后將三角板ABC繞直角頂點C順時針方向旋轉（旋轉角小于90）至圖所示的位置，AB與AC交于點E，AC與AB交于點F，AB與AB相交于點O。（1）求證：BCEBCF；（2）當旋轉角等于30時，AB與AB垂直嗎？請說明理由。圖形的平移與旋轉綜合應用1. 由圖中三角形僅經過一次平移、旋轉或軸對稱變

22、換，不能得到的圖形是（）A. B. C. D. 2. 觀察如圖，在下列四種圖形變換中，該圖案不包含的變換是（）A. 平移B. 軸對稱C. 旋轉D. 位似3. 如圖，在方格紙中的ABC經過變換得到DEF，正確的變換是（）A. 把ABC向右平移6格B. 把ABC向右平移4格，再向上平移1格C. 把ABC繞著點A順時針方向90旋轉，再向右平移7格D. 把ABC繞著點A逆時針方向90旋轉，再向右平移7格4. 請仔細觀察下圖，從圖形（1）（2）（3）的變換規(guī)律，確定圖形（4）為（）A. B. C. D. 5. 如圖，ABC，BED的邊長如圖上數(shù)據所示，且A，B，D在同一直線MN上，則將ABC_后可與BD

23、E重合。6. 如圖所示，RtABC是ABC向右平移3cm所得，已知BC5cm，則BC_cm。7. 如圖，ABCDFE，ACDE，則ABC經過怎樣的變換與DFE重合？8. （1）如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點，F(xiàn)是BA延長線上的一點，ABE與ADF全等嗎？說明你的理由。（2）在圖中，可通過平移、軸對稱、旋轉中的哪一種圖形變換，使ABE變到ADF的位置，并說明如何進行變換的？中心對稱1. 下列結論中，錯誤的是（）A. 形狀大小完全相同的兩個圖形一定關于某點成中心對稱B. 關于成中心對稱的兩個圖形，對稱中心到兩對稱點的距離相等C. 關于成中心對稱的兩圖形，對稱中心在兩對稱點的連線上D. 關

24、于成中心對稱的兩圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等2. 如圖，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D. 3. 在平面直角坐標系中，已知點P的坐標是（1，2），則點P關于原點對稱的點的坐標是（）A. （1，2）B. （1，2）C. （1，2）D. （2，1）4. 如圖，在平面直角坐標系中，若ABC與A1B1C1關于E點成中心對稱，則對稱中心E點的坐標是（）A. （3，1）B. （0，0）C. （2，1）D. （1，3）5. 如圖ABC與DEF關于O點成中心對稱，則線段BC與EF的關系是 _。6. 寫出兩個既是中心對稱，又是軸對稱的圖形_。7. 如圖所示，ABC與ABC

25、關于點O中心對稱，但點O不慎被涂掉了，請你幫排版工人找到對稱中心O的位置。8. 如圖，每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，在建立平面直角坐標系后，ABC的頂點均在格點上，寫出A、B、C的坐標；以原點O為對稱中心，畫出ABC關于原點O對稱的A1B1C1，并寫出A1、B1、C1。圖形的旋轉1. A 解析：根據旋轉的意義，圖片按順時針方向旋轉90度，即正立狀態(tài)轉為順時針的橫向狀態(tài)，從而可確定為A圖，故選A。2. D 解析：根據旋轉的意義，觀察圖片可知，菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A為中心逆時針旋轉120得到，故選D。3. B 解析：將AOB繞點O按逆時針方向旋轉45后得到AOB，AO

26、A45，AOBAOB15，AOBAOAAOB451530，故選B。4. B 解析：旋轉后的圖中，全等的三角形有：BCGDCE，ABCADC，AGFAEF，ACEACG，共4對。故選B。5. 繞點A順時針旋轉 解析：觀察可知，甲圖繞點A順時針旋轉即可變成乙圖。故答案為：繞點A順時針旋轉。6. 5 解析：連接CC，兩塊三角板重疊在一起，較長直角邊的中點為M，M是AC、AC的中點，ACAC，AACM30，CMC60，MCC為等邊三角形，CCCM5，CC長為5。故填5。7. （1）證明：在AEB與ADC中，ABAC，AA，AEAD；AEBADC，BC。（2）解：先將ADC繞點A逆時針旋轉50，再將AD

27、C沿直線AE對折，即可得ADC與AEB重合；或先將ADC繞點A順時針旋轉50，再將ADC沿直線AB對折，即可得ADC與AEB重合。 8. （1）證明：兩塊大小相同的含30角的直角三角板，所以BCABCABCAACABCAACA即BCEBCFBB，BCBC，BCEBCF，BCEBCF；（2）解：AB與AB垂直，理由如下：旋轉角等于30，即ECF30，所以FCB60，又BB60，根據四邊形的內角和可知BOB的度數(shù)為360606015090，所以AB與AB垂直。圖形的平移與旋轉綜合應用1. B 解析：A. 經過平移可得到上圖，故選項錯誤；B. 經過平移、旋轉或軸對稱變換后，都不能得到上圖，故選項正確；C. 經過軸對稱變換可得到上圖，故選項錯誤；D. 經過旋轉可得到上圖，故選項錯誤。故選B。2. A 解析：A. 圖形的方向發(fā)生了改變，不符合平移的定義，本題圖案不包含平移變換，故本選項符合題意；B. 有8條對稱軸，本題圖案包含軸對稱變換，故本選項不符合題意；C. 將圖形繞著中心點旋轉22.5的整數(shù)倍后均能與原圖形重合，本題圖案包含旋轉變換，故本選項不符合題意；D. 符合位似圖形的定義，本題圖案包含位似變換，故本選項不符合題意。故選A。3. D 解析：根據圖象，ABC繞著點A逆時針方向90旋轉與DEF形狀相同，向右平移7格就可以與DEF重合，故選D