高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 1.3 函數(shù)的基本性質(zhì) 1.3.1 單調(diào)性與最大（?。┲?第二課時(shí) 函數(shù)的最大（小）值學(xué)案（含解析）新人教A版必修

1、第二課時(shí)函數(shù)的最大(小)值提出問題觀察下面的函數(shù)圖象：?jiǎn)栴}1：該函數(shù)f(x)的定義域是什么？提示：4,7問題2：該函數(shù)f(x)圖象的最高點(diǎn)及最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是什么？提示：3，2.問題3：函數(shù)yf(x)的值域是什么？提示：2,3導(dǎo)入新知1最大值一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：(1)對(duì)于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，我們稱M是函數(shù)yf(x)的最大值2最小值一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：(1)對(duì)于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，我們稱M是函數(shù)yf(x)的最小值化解疑難

2、1函數(shù)最大(小)值的幾何意義函數(shù)的最大值對(duì)應(yīng)圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)；函數(shù)的最小值對(duì)應(yīng)圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)2函數(shù)的最大(小)值與值域、單調(diào)性之間的關(guān)系(1)對(duì)一個(gè)函數(shù)來說，一定有值域，但不一定有最值，如函數(shù)y.如果有最值，則最值一定是值域中的一個(gè)元素(2)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上單調(diào)，則f(x)的最值必在區(qū)間端點(diǎn)處取得，即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)圖象法求函數(shù)的最值例1(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間2,5上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是()A2，f(2)B2，f(2)C2，f(5) D2，f(5)(2)求函數(shù)f(x)的最值解(1)選C由函數(shù)的圖象知，當(dāng)x2時(shí)

3、，有最小值2；當(dāng)x5時(shí)，有最大值f(5)(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖：由圖象可知f(x)的最小值為f(1)1，無最大值類題通法用圖象法求最值的一般步驟活學(xué)活用作出函數(shù)y|x2|(x1)的圖象，說明函數(shù)的單調(diào)性，并判斷是否存在最大值和最小值解：當(dāng)x2，即x20時(shí)，y(x2)(x1)x2x22；當(dāng)x2，即x20時(shí)，y(x2)(x1)x2x22.所以y畫出該分段函數(shù)的圖象，如圖由圖象可知，函數(shù)y|x2|(x1)在，2，)上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)觀察函數(shù)圖象，可知函數(shù)不存在最大值，也不存在最小值.利用單調(diào)性求函數(shù)的最值例2已知函數(shù)f(x)x.(1)求證：f(x)在(1，)上是增函數(shù)；(2)求f(x)在

4、2,4上的最值解(1)證明：設(shè)任意兩個(gè)x1，x2(1，)，并且x1x11，x1x21，x1x210，故0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在區(qū)間(1，)上是增函數(shù)(2)由(1)可知f(x)在2,4上是增函數(shù)，當(dāng)x2,4時(shí)，f(2)f(x)f(4)又f(2)2，f(4)4，f(x)在2,4上的最大值為，最小值為.類題通法函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系(1)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b上是增函數(shù)，在區(qū)間b，c)上是減函數(shù)，則函數(shù)yf(x)，x(a，c)在xb處有最大值f(b)(2)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b上是減函數(shù)，在區(qū)間b，c)上是增函數(shù)，則函數(shù)yf(x)，x(a，c)在xb處有最小值

5、f(b)(3)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上是增(減)函數(shù)，則在區(qū)間a，b的左、右端點(diǎn)處分別取得最小(大)值、最大(小)值活學(xué)活用在題設(shè)條件不變的情況下，求f(x)在上的最值解：設(shè)x1，x2，并且x1f(x2)，即f(x)在上是減函數(shù)結(jié)合例題可知，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，在(1,2)上單調(diào)遞增當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得最小值f(1)2；又f3f(2)，f(x)在上的最大值為，最小值為2.函數(shù)最值的應(yīng)用例3某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：R(x)其中x是儀器的月產(chǎn)量(1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x)(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)

6、，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？(總收益總成本利潤(rùn))解(1)設(shè)月產(chǎn)量為x臺(tái)，則總成本為20 000100x，從而f(x)R(x)(20 000100x)(2)當(dāng)0x400時(shí)，f(x)(x300)225 000，當(dāng)x300時(shí)，f(x)max25 000.當(dāng)x400時(shí)，f(x)60 000100x是減函數(shù)，f(x)60 00010040025 000.當(dāng)x300時(shí)，f(x)max25 000.即每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為25 000元類題通法解決函數(shù)最值應(yīng)用題的方法(1)解決實(shí)際問題，首先要理解題意，然后建立數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題解決(2)分清各種數(shù)據(jù)之間的關(guān)系是正

7、確構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式的關(guān)鍵活學(xué)活用如圖所示，動(dòng)物園要建造一面靠墻的兩間一樣大小的長(zhǎng)方形動(dòng)物籠舍，可供建造圍墻的材料總長(zhǎng)為30 m，問每間籠舍的寬度x為多少時(shí)，才能使得每間籠舍面積y達(dá)到最大？每間最大面積為多少？解：由題意知籠舍的寬為x m，則籠舍的長(zhǎng)為(303x) m，每間籠舍的面積為yx(303x)(x5)237.5，x(0,10)當(dāng)x5時(shí)，y取得最大值37.5，即每間籠舍的寬度為5 m時(shí)，每間籠舍面積y達(dá)到最大，最大面積為37.5 m2.典例求f(x)x22ax1在區(qū)間0,2上的最大值和最小值解f(x)(xa)21a2，對(duì)稱軸為xa.(1)當(dāng)a0時(shí)，由圖可知，f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，所

8、以f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a.(2)當(dāng)0a1時(shí)，由圖可知，對(duì)稱軸在區(qū)間0,2內(nèi)，所以f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)34a.(3)當(dāng)12時(shí)，由圖可知，f(x)在0,2上為減函數(shù)，所以f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.多維探究上題由于對(duì)稱軸xa，而a的取值不定，從而導(dǎo)致了分類討論由于拋物線的對(duì)稱軸與區(qū)間0,2的相對(duì)位置關(guān)系不確定，最小值在頂點(diǎn)處或端點(diǎn)處取得，最大值可能是f(0)，也有可能是f(2)，故應(yīng)分四類討論與二次函數(shù)有關(guān)的最值問題還有以下三類：1求二次函數(shù)在某定區(qū)間上的最小(大)值例：求二次函數(shù)f(x)x22ax2在2,

9、4上的最小值解：函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是xa，當(dāng)a4時(shí)，f(x)在2,4上是減函數(shù)，f(x)minf(4)188a.當(dāng)2a4時(shí)，f(x)minf(a)2a2.f(x)min2已知二次函數(shù)的最大(小)值，求參數(shù)例：已知函數(shù)yx22ax(0x1)，且ymaxa2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：yx22ax(xa)2a2(0x1)，函數(shù)圖象是開口向下的拋物線，且對(duì)稱軸為xa.又ymaxa2，且0x1，0a11a0.實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,03求二次函數(shù)在某動(dòng)區(qū)間上的最大(小)值例：設(shè)f(x)x24x4，xa，a1(aR)，求函數(shù)f(x)的最小值g(a)的解析式解：f(x)(x2)28，xa，a1，當(dāng)2a，a1時(shí)，即

10、1a2時(shí)，g(a)f(2)8.當(dāng)a12，即a2時(shí)，f(x)在a，a1上是增函數(shù)，g(a)f(a)a24a4.綜上可知，g(a)隨堂即時(shí)演練1.函數(shù)f(x)的圖象如圖，則其最大值、最小值分別為()Af ，f Bf(0)，f Cf ，f(0)Df(0)，f(3)解析：選B觀察函數(shù)圖象，f(x)的最大值、最小值分別為f(0)，f .2函數(shù)f(x)x23x2在區(qū)間(5,5)上的最大值、最小值分別為()A42,12B42，C12， D無最大值，最小值解析：選Df(x)x23x22，55，f(x)minf，無最大值3函數(shù)yx26x9在區(qū)間a，b(ab3)上有最大值9，最小值7，則a_，b_.解析：y(x3

11、)218，ab3，f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增，即b26b99，得b0，a26a97，得a2.答案：204函數(shù)f(x)的最大值為_解析：當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，所以在x1處取得最大值，為f(1)1；當(dāng)x1時(shí)，易知函數(shù)f(x)x22在x0處取得最大值，為f(0)2.故函數(shù)f(x)的最大值為2.答案：25已知函數(shù)f(x)，x3,5(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值解：(1)任取x1，x23,5且x1x2，則f(x1)f(x2).x1，x23,5且x1x2，x1x20，x220.f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)函數(shù)f(x)在3,5上為增函數(shù)(2

12、)由(1)知，當(dāng)x3時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值，為f(3)；當(dāng)x5時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，為f(5).課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1函數(shù)f(x)的最大值是()A.B.C. D.解析：選Df(x).2函數(shù)yx的最值的情況為()A最小值為，無最大值B最大值為，無最小值C最小值為，最大值為2D最大值為2，無最小值解析：選Ayx在定義域上是增函數(shù)，函數(shù)最小值為，無最大值，故選A.3已知函數(shù)f(x)x24xa，x0,1，若f(x)有最小值2，則f(x)的最大值為()A1 B0C1 D2解析：選Cf(x)(x24x4)a4(x2)24a，函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為x2.f(x)在0,1上單調(diào)遞增又f(x)m

13、in2，f(0)2，即a2.f(x)maxf(1)1421.4當(dāng)0x2時(shí)，ax22x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，1 B(，0C(，0) D(0，)解析：選C令f(x)x22x，則f(x)x22x(x1)21.又x0,2，f(x)minf(0)f(2)0.a0.5某公司在甲、乙兩地同時(shí)銷售一種品牌車，銷售x輛該品牌車的利潤(rùn)(單位：萬元)分別為L(zhǎng)1x221x和L22x.若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤(rùn)為()A90萬元 B60萬元C120萬元 D120.25萬元解析：選C設(shè)公司在甲地銷售x輛，則在乙地銷售(15x)輛，公司獲利為L(zhǎng)x221x2(15x)x219x30230，當(dāng)

14、x9或10時(shí)，L最大為120萬元二、填空題6函數(shù)yx(x0)的最大值為_解析：原函數(shù)整理得y2，ymax.答案：7已知函數(shù)f(x)x26x8，x1，a，并且f(x)的最小值為f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：如圖可知f(x)在1，a內(nèi)是單調(diào)遞減的，又f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，3，1p)，已知輪船每小時(shí)的燃料費(fèi)用與輪船在靜水中的速度v(km/h)成正比，比例系數(shù)為常數(shù)k.(1)將全程燃料費(fèi)用y(元)表示為靜水中速度v(km/h)的函數(shù)；(2)若s100，p10，q110，k2，為了使全程的燃料費(fèi)用最少，輪船的實(shí)際行駛速度應(yīng)為多少？解：(1)輪船行駛?cè)痰臅r(shí)間t，y(pvq)(2)若s100，p10，q110，k2，則y200(1)(100時(shí)，f(x)0，f(1).(1)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(2)求f