高中數(shù)學 （1.1.2 簡單組合體的結構特征）示范教案 新人教A版必修

1、1.1.2 簡單組合體的結構特征整體設計教學分析 立體幾何是研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關系的學科，只有把我們周圍的物體形狀正確迅速分解開，才能清醒地認識幾何學，為后續(xù)學習打下堅實的基礎.簡單幾何體（柱體、錐體、臺體和球）是構成簡單組合體的基本元素.本節(jié)教材主要是為了讓學生在學習了柱、錐、臺、球的基礎上，運用它們的結構特征來描述簡單組合體的結構特征.三維目標1.掌握簡單組合體的概念，學會觀察、分析圖形，提高空間想象能力和幾何直觀能力.2.能夠描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構，學會通過建立幾何模型來研究空間圖形，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模思想.重點難點 描述簡單組合體的結構特征.課時安排1課時教學過

2、程導入新課思路1.在我們的生活中，酒瓶的形狀是圓柱嗎？我們的教學樓的形狀是柱體嗎？鋼筆、圓珠筆呢？這些物體都不是簡單幾何體，那么如何描述它們的結構特征呢？教師指出課題：簡單幾何體的結構特征.思路2.現(xiàn)實世界中的物體表示的幾何體，除柱體、錐體、臺體和球體等簡單幾何體外，還有大量的幾何體是由簡單幾何體組合而成的，這些幾何體叫做簡單組合體，這節(jié)課學習的課題是：簡單幾何體的結構特征.推進新課新知探究提出問題請指出下列幾何體是由哪些簡單幾何體組合而成的.圖1觀察圖1，結合生活實際經驗，簡單組合體有幾種組合形式？請你總結長方體與球體能組合成幾種不同的組合體.它們之間具有怎樣的關系？活動：讓學生仔細觀察圖1

3、，教師適當時候再提示.略.圖1中的三個組合體分別代表了不同形式.學生可以分組討論，教師可以制作有關模型展示.討論結果：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.現(xiàn)實世界中，我們看到的物體大多由具有柱、錐、臺、球等幾何結構特征的物體組合而成.圖1（1）是一個四棱錐和一個長方體拼接成的，這是多面體與多面體的組合體；圖1（2）是一個圓臺挖去一個圓錐構成的，這是旋轉體與旋轉體的組合體；圖1（3）是一個球和一個長方體拼接成的，這是旋轉體與多面體的組合體. 常見的組合體有三種：多面體與多面體的組合；多面體與旋轉體的組合；旋轉體與旋轉體的組合.其基本形式實質上有兩種：一種是由簡單幾何體拼接而成的簡單組合體

4、，如圖1（1）和（3）所示的組合體；另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成的簡單組合體，如圖1（2）所示的組合體. 常見的球與長方體構成的簡單組合體及其結構特征：1長方體的八個頂點在同一個球面上，此時長方體稱為球的內接長方體，球是長方體的外接球，并且長方體的對角線是球的直徑；2一球與正方體的所有棱相切，則正方體每個面上的對角線長等于球的直徑；3一球與正方體的所有面相切，則正方體的棱長等于球的直徑.應用示例思路1例1 請描述如圖2所示的組合體的結構特征.圖2活動：回顧簡單幾何體的結構特征，再將各個組合體分解為簡單幾何體.依據(jù)柱、錐、臺、球的結構特征依次作出判斷.解：圖2（1）是由一個圓錐和一個

5、圓臺拼接而成的組合體；圖2（2）是由一個長方體截去一個三棱錐后剩下的部分得到的組合體；圖2（3）是由一個圓柱挖去一個三棱錐剩下的部分得到的組合體.點評：本題主要考查簡單組合體的結構特征和空間想象能力.變式訓練 如圖3所示，一個圓環(huán)繞著同一個平面內過圓心的直線l旋轉180，想象并說出它形成的幾何體的結構特征.圖3答案：一個大球內部挖去一個同球心且半徑較小的球.例2 連接正方體的相鄰各面的中心（所謂中心是指各面所在正方形的兩條對角線的交點），所得的一個幾何體是幾面體？并畫圖表示該幾何體.活動：先畫出正方體，然后取各個面的中心，并依次連成線觀察即可.連接相應點后,得出圖形如圖4(1)，再作出判斷.(

6、1) (2)圖4解：如圖4(1)，正方體ABCDA1B1C1D1，O1、O2、O3、O4、O5、O6分別是各表面的中心.由點O1、O2、O3、O4、O5、O6組成了一個八面體，而且該八面體共有6個頂點，12條棱.該多面體的圖形如圖4（2）所示.點評：本題中的八面體，事實上是正八面體八個面都是全等的正三角形，并且以每個頂點為其一端，都有相同數(shù)目的棱.由圖還可見，該八面體可看成是由兩個全等的四棱錐經重合底面后而得到的，而且中間一個四邊形O2O3O4O5還是正方形，當然其他的如O1O2O6O4等也是正方形.為了增強立體效果，正方體應畫得“正”些，而八面體的放置應稍許“傾斜”些，并且“后面的”線，即被

7、前面平面所遮住的線，如圖中的O1O5、O6O5、O5O2、O5O4應畫成虛線.變式訓練 連接上述所得的幾何體的相鄰各面的中心，試問所得的幾何體又是幾面體？答案：六面體（正方體）.思路2例1 已知如圖5所示，梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，當梯形ABCD繞BC所在直線旋轉一周時，其他各邊旋轉圍成的一個幾何體，試描述該幾何體的結構特征. 圖5 圖6活動：讓學生思考AB、AD、DC與旋轉軸BC是否垂直，以此確定所得幾何體的結構特征.解：如圖6所示，旋轉所得的幾何體是兩個圓錐和一個圓柱拼接成的組合體.點評：本題主要考查空間想象能力以及旋轉體、簡單組合體.變式訓練 如圖7所示，已知梯形ABCD中，

8、ADBC，且ADBC，當梯形ABCD繞AD所在直線旋轉一周時，其他各邊旋轉圍成的一個幾何體，試描述該幾何體的結構特征. 圖7 圖8答案：如圖8所示，旋轉所得的幾何體是一個圓柱挖去兩個圓錐后剩余部分而成的組合體.例2 如圖9（1）、（2）所示的兩個組合體有什么區(qū)別？圖9活動：讓學生分組討論和思考，教師及時點撥和評價學生.解：圖9（1）所示的組合體是一個長方體上面又放置了一個圓柱，也就是一個長方體和一個圓柱拼接成的組合體；而圖9（2）所示的組合體是一個長方體中挖去了一個圓柱剩余部分構成的組合體.點評：考查空間想象能力和組合體的概念.變式訓練 如圖10，說出下列物體可以近似地看作由哪幾種幾何體組成？

9、圖10答案：圖10（1）中的幾何體可以看作是由一個圓柱和一個圓錐拼接而成；圖10（2）中的螺帽可以近似看作是一個正六棱柱中挖掉一個圓柱構成的組合體.知能訓練1.（2005湖南數(shù)學競賽，9）若干個棱長為2、3、5的長方體，依相同方向拼成棱長為90的正方體，則正方體的一條對角線貫穿的小長方體的個數(shù)是（ ）A.64 B.66 C.68 D.70分析：由2、3、5的最小公倍數(shù)為30，由2、3、5組成的棱長為30的正方體的一條對角線穿過的長方體為整數(shù)個，所以由2、3、5組成棱長為90的正方體的一條對角線穿過的小長方體的個數(shù)應為3的倍數(shù).答案：B2.圖11是一個獎杯，可以近似地看作由哪幾種幾何體組成？圖1

10、1答案：獎杯的底座是一個正棱臺，底座的上面是一個正四棱柱，獎杯的最上部，在正棱柱上底面的中心放著一個球.拓展提升1.請想一想正方體的截面可能是什么形狀的圖形？活動：靜止是相對的，運動是絕對的，點動成線，線動成面.用運動的觀點看幾何問題的形成，容易建立空間想象力，這樣對于分割和組合圖形是有好處的.明確棱柱、棱錐、棱臺等多面體的定義及圓柱、圓錐、圓臺的生成過程，以及柱、錐、臺的相互關系，對于我們正確的割補圖形也是有好處的.對于正方體的分割，可通過實物模型，實際切割實驗，還可借助于多媒體手段進行切割實驗.對于切割所得的平面圖形可根據(jù)它的定義進行證明，從而判斷出各個截面的形狀.探究：本題考查立體幾何的空間想象能力，通過嘗試、歸納，可以有如下各種肯定或否定性的答案：（1）截面可以是三角形：等邊三角形、等腰三角形、一般三角形.（2）截面三角形是銳角三角形，截面三角形不能是直角三角形、鈍角三角形.（3）截面可以是四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面為四邊形時，這個四邊形至少有一組對邊平行.（4）截面不能是直角梯形.（5）截面可以是五邊形：截面五邊形必須有兩組分別平行的邊，同時有兩個角相等；截面五邊形不可能是正五邊形.（6）截面可以是六邊形：截面六邊形必須有分別平行的邊，同時有兩個角相等.（7）截面六邊形可以是等角（均為120）的六邊形，即正六邊形.截面圖形如圖