高中數(shù)學(xué) （1.1.2 簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征）示范教案 新人教A版必修

1、1.1.2 簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 立體幾何是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的學(xué)科，只有把我們周圍的物體形狀正確迅速分解開，才能清醒地認(rèn)識(shí)幾何學(xué)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).簡單幾何體（柱體、錐體、臺(tái)體和球）是構(gòu)成簡單組合體的基本元素.本節(jié)教材主要是為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)了柱、錐、臺(tái)、球的基礎(chǔ)上，運(yùn)用它們的結(jié)構(gòu)特征來描述簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征.三維目標(biāo)1.掌握簡單組合體的概念，學(xué)會(huì)觀察、分析圖形，提高空間想象能力和幾何直觀能力.2.能夠描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)通過建立幾何模型來研究空間圖形，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想.重點(diǎn)難點(diǎn) 描述簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過

2、程導(dǎo)入新課思路1.在我們的生活中，酒瓶的形狀是圓柱嗎？我們的教學(xué)樓的形狀是柱體嗎？鋼筆、圓珠筆呢？這些物體都不是簡單幾何體，那么如何描述它們的結(jié)構(gòu)特征呢？教師指出課題：簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征.思路2.現(xiàn)實(shí)世界中的物體表示的幾何體，除柱體、錐體、臺(tái)體和球體等簡單幾何體外，還有大量的幾何體是由簡單幾何體組合而成的，這些幾何體叫做簡單組合體，這節(jié)課學(xué)習(xí)的課題是：簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征.推進(jìn)新課新知探究提出問題請(qǐng)指出下列幾何體是由哪些簡單幾何體組合而成的.圖1觀察圖1，結(jié)合生活實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，簡單組合體有幾種組合形式？請(qǐng)你總結(jié)長方體與球體能組合成幾種不同的組合體.它們之間具有怎樣的關(guān)系？活動(dòng)：讓學(xué)生仔細(xì)觀察圖1

3、，教師適當(dāng)時(shí)候再提示.略.圖1中的三個(gè)組合體分別代表了不同形式.學(xué)生可以分組討論，教師可以制作有關(guān)模型展示.討論結(jié)果：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.現(xiàn)實(shí)世界中，我們看到的物體大多由具有柱、錐、臺(tái)、球等幾何結(jié)構(gòu)特征的物體組合而成.圖1（1）是一個(gè)四棱錐和一個(gè)長方體拼接成的，這是多面體與多面體的組合體；圖1（2）是一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐構(gòu)成的，這是旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體；圖1（3）是一個(gè)球和一個(gè)長方體拼接成的，這是旋轉(zhuǎn)體與多面體的組合體. 常見的組合體有三種：多面體與多面體的組合；多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合；旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合.其基本形式實(shí)質(zhì)上有兩種：一種是由簡單幾何體拼接而成的簡單組合體

4、，如圖1（1）和（3）所示的組合體；另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成的簡單組合體，如圖1（2）所示的組合體. 常見的球與長方體構(gòu)成的簡單組合體及其結(jié)構(gòu)特征：1長方體的八個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，此時(shí)長方體稱為球的內(nèi)接長方體，球是長方體的外接球，并且長方體的對(duì)角線是球的直徑；2一球與正方體的所有棱相切，則正方體每個(gè)面上的對(duì)角線長等于球的直徑；3一球與正方體的所有面相切，則正方體的棱長等于球的直徑.應(yīng)用示例思路1例1 請(qǐng)描述如圖2所示的組合體的結(jié)構(gòu)特征.圖2活動(dòng)：回顧簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再將各個(gè)組合體分解為簡單幾何體.依據(jù)柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征依次作出判斷.解：圖2（1）是由一個(gè)圓錐和一個(gè)

5、圓臺(tái)拼接而成的組合體；圖2（2）是由一個(gè)長方體截去一個(gè)三棱錐后剩下的部分得到的組合體；圖2（3）是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)三棱錐剩下的部分得到的組合體.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征和空間想象能力.變式訓(xùn)練 如圖3所示，一個(gè)圓環(huán)繞著同一個(gè)平面內(nèi)過圓心的直線l旋轉(zhuǎn)180，想象并說出它形成的幾何體的結(jié)構(gòu)特征.圖3答案：一個(gè)大球內(nèi)部挖去一個(gè)同球心且半徑較小的球.例2 連接正方體的相鄰各面的中心（所謂中心是指各面所在正方形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)），所得的一個(gè)幾何體是幾面體？并畫圖表示該幾何體.活動(dòng)：先畫出正方體，然后取各個(gè)面的中心，并依次連成線觀察即可.連接相應(yīng)點(diǎn)后,得出圖形如圖4(1)，再作出判斷.(

6、1) (2)圖4解：如圖4(1)，正方體ABCDA1B1C1D1，O1、O2、O3、O4、O5、O6分別是各表面的中心.由點(diǎn)O1、O2、O3、O4、O5、O6組成了一個(gè)八面體，而且該八面體共有6個(gè)頂點(diǎn)，12條棱.該多面體的圖形如圖4（2）所示.點(diǎn)評(píng)：本題中的八面體，事實(shí)上是正八面體八個(gè)面都是全等的正三角形，并且以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端，都有相同數(shù)目的棱.由圖還可見，該八面體可看成是由兩個(gè)全等的四棱錐經(jīng)重合底面后而得到的，而且中間一個(gè)四邊形O2O3O4O5還是正方形，當(dāng)然其他的如O1O2O6O4等也是正方形.為了增強(qiáng)立體效果，正方體應(yīng)畫得“正”些，而八面體的放置應(yīng)稍許“傾斜”些，并且“后面的”線，即被

7、前面平面所遮住的線，如圖中的O1O5、O6O5、O5O2、O5O4應(yīng)畫成虛線.變式訓(xùn)練 連接上述所得的幾何體的相鄰各面的中心，試問所得的幾何體又是幾面體？答案：六面體（正方體）.思路2例1 已知如圖5所示，梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，當(dāng)梯形ABCD繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其他各邊旋轉(zhuǎn)圍成的一個(gè)幾何體，試描述該幾何體的結(jié)構(gòu)特征. 圖5 圖6活動(dòng)：讓學(xué)生思考AB、AD、DC與旋轉(zhuǎn)軸BC是否垂直，以此確定所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征.解：如圖6所示，旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是兩個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱拼接成的組合體.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間想象能力以及旋轉(zhuǎn)體、簡單組合體.變式訓(xùn)練 如圖7所示，已知梯形ABCD中，

8、ADBC，且ADBC，當(dāng)梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其他各邊旋轉(zhuǎn)圍成的一個(gè)幾何體，試描述該幾何體的結(jié)構(gòu)特征. 圖7 圖8答案：如圖8所示，旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)圓錐后剩余部分而成的組合體.例2 如圖9（1）、（2）所示的兩個(gè)組合體有什么區(qū)別？圖9活動(dòng)：讓學(xué)生分組討論和思考，教師及時(shí)點(diǎn)撥和評(píng)價(jià)學(xué)生.解：圖9（1）所示的組合體是一個(gè)長方體上面又放置了一個(gè)圓柱，也就是一個(gè)長方體和一個(gè)圓柱拼接成的組合體；而圖9（2）所示的組合體是一個(gè)長方體中挖去了一個(gè)圓柱剩余部分構(gòu)成的組合體.點(diǎn)評(píng)：考查空間想象能力和組合體的概念.變式訓(xùn)練 如圖10，說出下列物體可以近似地看作由哪幾種幾何體組成？

9、圖10答案：圖10（1）中的幾何體可以看作是由一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐拼接而成；圖10（2）中的螺帽可以近似看作是一個(gè)正六棱柱中挖掉一個(gè)圓柱構(gòu)成的組合體.知能訓(xùn)練1.（2005湖南數(shù)學(xué)競賽，9）若干個(gè)棱長為2、3、5的長方體，依相同方向拼成棱長為90的正方體，則正方體的一條對(duì)角線貫穿的小長方體的個(gè)數(shù)是（ ）A.64 B.66 C.68 D.70分析：由2、3、5的最小公倍數(shù)為30，由2、3、5組成的棱長為30的正方體的一條對(duì)角線穿過的長方體為整數(shù)個(gè)，所以由2、3、5組成棱長為90的正方體的一條對(duì)角線穿過的小長方體的個(gè)數(shù)應(yīng)為3的倍數(shù).答案：B2.圖11是一個(gè)獎(jiǎng)杯，可以近似地看作由哪幾種幾何體組成？圖1

10、1答案：獎(jiǎng)杯的底座是一個(gè)正棱臺(tái)，底座的上面是一個(gè)正四棱柱，獎(jiǎng)杯的最上部，在正棱柱上底面的中心放著一個(gè)球.拓展提升1.請(qǐng)想一想正方體的截面可能是什么形狀的圖形？活動(dòng)：靜止是相對(duì)的，運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面.用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看幾何問題的形成，容易建立空間想象力，這樣對(duì)于分割和組合圖形是有好處的.明確棱柱、棱錐、棱臺(tái)等多面體的定義及圓柱、圓錐、圓臺(tái)的生成過程，以及柱、錐、臺(tái)的相互關(guān)系，對(duì)于我們正確的割補(bǔ)圖形也是有好處的.對(duì)于正方體的分割，可通過實(shí)物模型，實(shí)際切割實(shí)驗(yàn)，還可借助于多媒體手段進(jìn)行切割實(shí)驗(yàn).對(duì)于切割所得的平面圖形可根據(jù)它的定義進(jìn)行證明，從而判斷出各個(gè)截面的形狀.探究：本題考查立體幾何的空間想象能力，通過嘗試、歸納，可以有如下各種肯定或否定性的答案：（1）截面可以是三角形：等邊三角形、等腰三角形、一般三角形.（2）截面三角形是銳角三角形，截面三角形不能是直角三角形、鈍角三角形.（3）截面可以是四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面為四邊形時(shí)，這個(gè)四邊形至少有一組對(duì)邊平行.（4）截面不能是直角梯形.（5）截面可以是五邊形：截面五邊形必須有兩組分別平行的邊，同時(shí)有兩個(gè)角相等；截面五邊形不可能是正五邊形.（6）截面可以是六邊形：截面六邊形必須有分別平行的邊，同時(shí)有兩個(gè)角相等.（7）截面六邊形可以是等角（均為120）的六邊形，即正六邊形.截面圖形如圖