立高中數(shù)學(xué)必修二立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及例題

1、立體幾何初步一、柱、錐、臺(tái)、球的圖形（1）棱柱： （2）棱錐 （3）棱臺(tái)： （4）圓柱：（5）圓錐： （6）圓臺(tái)： （7）球體：二、空間幾何體的三視圖三視圖：主視圖、左視圖、俯視圖【注：主視圖反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體的長度和寬度；左視圖反映了物體的高度和寬度?！咳?、空間幾何體的直觀圖斜二測畫法斜二測畫法特點(diǎn)：原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。四、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積（1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，h為斜高，l為母線） （3）柱體、錐體、臺(tái)體的體

2、積公式 （4）球體的表面積和體積公式：V= ； S=五、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系公理1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)?！尽抗?：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線?！綪=l】公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。1、空間直線之間的位置關(guān)系： 共面直線（相交直線、平行直線）異面直線（1）異面直線所成角：作平行，令兩線相交，所得銳角或直角，即所成角。兩條異面直線所成角的范圍是（0，90，若

3、兩條異面直線所成的角是直角，這兩條異面直線互相垂直。（2）求異面直線所成角步驟：利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。證明作出的角即為所求角利用三角形來求角2、空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；【a】直線與平面相交一一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；【aA】直線與平面平行一一沒有公共點(diǎn)；【a】 注：直線與平面相交或平行統(tǒng)稱為直線在平面外3、平面與平面之間的位置關(guān)系：兩平面平行沒有公共點(diǎn)；【】兩平面相交有一條公共直線；【B】六、空間中的平行問題1、直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行

4、,則該直線與此平面平行。【線線平行線面平行】線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行?！揪€面平行線線平行】2、平面與平面平行的判定及其性質(zhì)（1）兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行?！揪€面平行面面平行】如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行?！揪€線平行面面平行】垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，（2）兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。【面面平行線面平行】如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

5、【面面平行線線平行】七、空間中的垂直問題1、線線、面面、線面垂直的定義兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。線面垂直：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，就說這條直線和這個(gè)平面垂直。平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個(gè)平面垂直。2、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定

6、理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。八、 空間角問題1、直線與直線所成的角 兩平行直線所成的角：規(guī)定為。 兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。 兩條異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn)O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線a，b，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。2、直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為 0o。平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90o。平面的斜線與平面所成的角：平面的

7、一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。求斜線與平面所成角（思路類似于求異面直線所成角）：“一作，二證，三計(jì)算”。（1）作斜線上任意一點(diǎn)到面的垂線；并得到射影；（2）連接斜線、垂線、射影構(gòu)成三角形；（3）根據(jù)三角形算出斜線與平面的夾角。3、二面角和二面角的平面角（1）二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。（3）直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所

8、組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過來，如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角（4）求二面角的方法定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為二面角的平面角例.下面幾何體中，過軸的截面一定是圓面的是（ ）A.圓柱 B.圓錐 C.球 D.圓臺(tái)分析：圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形，球的軸截面是圓面，所以A、B、D均不正確.答案：C例. 已知一個(gè)正方形的直觀圖是一個(gè)平行四邊形，其中有一邊長為4，則此正方形的面積是（ ）A.16 B.64

9、 C.16或64 D.都不對(duì)分析：根據(jù)直觀圖的畫法，平行于x軸的線段長度不變，平行于y軸的線段變?yōu)樵瓉淼囊话?，于是長為4的邊如果平行于x軸，則正方形邊長為4，面積為16，邊長為4的邊如果平行于y軸，則正方形邊長為8，面積是64.答案：C例. 關(guān)于“斜二測畫法”，下列說法不正確的是（ ）A.原圖形中平行于x軸的線段，其對(duì)應(yīng)線段平行于x軸，長度不變B.原圖形中平行于y軸的線段，其對(duì)應(yīng)線段平行于y軸，長度變?yōu)樵瓉淼腃.在畫與直角坐標(biāo)系xOy對(duì)應(yīng)的xOy時(shí)，xOy必須是45D.在畫直觀圖時(shí)，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同分析：在畫與直角坐標(biāo)系xOy對(duì)應(yīng)的xOy時(shí)，xOy也可以是135，所以C不正

10、確.答案：C例. 一個(gè)三角形用斜二測畫法畫出來的直觀圖是邊長為2的正三角形，則原三角形的面積是（ ）A. B. C. D.都不對(duì)分析：直觀圖的面積為：1222sin60=3；由斜二測法中直觀圖和原圖面積關(guān)系得S直觀S原圖=24，原三角形的面積=324=26答案：A例. 一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45，腰和上底長均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（ ）A. B. C. D.分析：直觀圖的面積為：（1+1+2)222=1+22；由斜二測法中直觀圖和原圖面積關(guān)系得S直觀S原圖=24，原三角形的面積=1+2224=2+2.答案：D例（2007寧夏模擬，理6）長方體AC1的長、寬、高分別為3、2、1，從A到C1沿長方體的表面的最短距離為（ ）A. B. C. D.答案：C例.（2005湖南數(shù)學(xué)競賽，9）若干個(gè)棱長為2、3、5的長方體