高三數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)課件第14章推理與證明

1、考法5,目 錄 Contents,考情精解讀,考點1,考點2,考點3,A.知識全通關(guān),B.題型全突破,考法1,考法2,考法4,考法3,考法6,考情精解讀,考綱解讀,命題趨勢,命題規(guī)律,數(shù)學(xué) 第十四章推理與證明,1.了解合情推理的含義,能利用歸納和類比等進行簡單的推理,了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用. 2.了解演繹推理的重要性,掌握演繹推理的基本模式,并能運用它們進行一些簡單推理. 3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異. 4.了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程、特點. 5.了解間接證明的一種基本方法反證法;了解反證法的思考過程、特點,考綱解讀,命題規(guī)律,

2、命題趨勢,數(shù)學(xué) 第十四章推理與證明,考綱解讀,命題規(guī)律,返回目錄,1.熱點預(yù)測合情推理一般以新定義、新規(guī)則的形式考查,題型以選擇題、填空題為主,分值為5分,而演繹推理以及直接證明和間接證明常以不等式、數(shù)列、解析幾何、函數(shù)等為背景來考查,題型以解答題為主,分值為12分. 2.趨勢分析預(yù)測2018年仍將重點考查歸納、類比推理,難度可能會提高,對直接、間接證明的考查會綜合到函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)列等方面,滲透到多題之中,尤其要注意不等式的放縮的應(yīng)用.,命題趨勢,數(shù)學(xué) 第十四章推理與證明,知識全通關(guān),考點1合情推理與演繹推理,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,1.合情推理 合情推理包括歸納推理和類

3、比推理,二者區(qū)別如下:,數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,繼續(xù)學(xué)習(xí),2.演繹推理 演繹推理是從一般性的原理出發(fā),推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理方法,它是由一般到特殊的推理,演繹推理的一般模式是“三段論”,其結(jié)構(gòu)和表示如下:,數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,繼續(xù)學(xué)習(xí),【注意】 (1)在演繹推理中,若大前提、小前提、推理形式三者中有一個是錯誤的,所得的結(jié)論就是錯誤的. (2)若大前提不明確時,可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提.,數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,繼續(xù)學(xué)習(xí),考點2直接證明與間接證明,1.直接證明,數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,繼續(xù)學(xué)習(xí),綜合法與分析法各有優(yōu)缺點,分析法思考起來比較簡單,易找到解題

4、的思路和方法,缺點是敘述煩瑣;綜合法從條件推結(jié)論,步驟簡單,但不便于思考.實際應(yīng)用中,通常將它們結(jié)合起來使用,先用分析法探索證明途徑,再用綜合法敘述出來.,【辨析比較】,數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,繼續(xù)學(xué)習(xí),2.間接證明反證法 (1)定義 假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設(shè)錯誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫作反證法. (2)證明步驟 反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假設(shè)原結(jié)論的反面為真; 歸謬把“反設(shè)”作為條件,經(jīng)過一系列正確的推理,得出矛盾; 存真由矛盾結(jié)果斷定反設(shè)錯誤,從而肯定原結(jié)論成立.,數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,繼續(xù)學(xué)

5、習(xí),【注意】 (1)反設(shè)命題時常用詞語的否定詳見高考幫P015一些常見詞語的否定總結(jié). (2)歸謬時,常見的矛盾的情況有與已知條件、定義、公理、定理、性質(zhì)矛盾,與假設(shè)矛盾,與公認(rèn)的簡單事實或顯然成立的結(jié)論矛盾,自相矛盾等.,數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,繼續(xù)學(xué)習(xí),【名師提醒】 應(yīng)用反證法證題時,必須先否定結(jié)論,把結(jié)論的反面作為條件,且必須根據(jù)這一條件進行推理,否則,僅否定結(jié)論,不從結(jié)論的反面出發(fā)進行推理,就不是反證法.,題型全突破,考法1 歸納推理,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,考法指導(dǎo)歸納推理問題的常見類型及解題策略 (1)與等式或不等式相關(guān)問題.觀察所給的幾個等式或不等式的兩邊式子的

6、特點,注意從縱向看,發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律. (2)與數(shù)列相關(guān)問題.先求出幾個特殊現(xiàn)象,歸納所得的結(jié)論是上述未知的一般現(xiàn)象,該結(jié)論超越了前提所包含的范圍,從而由特殊的結(jié)論推廣到一般結(jié)論. (3)與圖形變化相關(guān)問題.合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論,并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)?,數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法示例12015陜西高考觀察下列等式 據(jù)此規(guī)律,第n個等式可為.,思路分析 觀察等式尋找規(guī)律得結(jié)論,數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,繼續(xù)學(xué)習(xí),解析 觀察所給等式的左右可以歸納出 .,數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法示例2某種平面分形圖如圖15-1所示,一級分形圖是由一點出發(fā)的三條線段,

7、長度均為1,兩兩夾角為120;二級分形圖是在一級分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的的線段,且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120,依此規(guī)律得到n級分形圖. (1)n級分形圖中共有條線段; (2)n級分形圖中所有線段長度之和為.,數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,繼續(xù)學(xué)習(xí),解析 (1)由題圖知,一級分形圖有3=32-3(條)線段,二級分形圖有9=322-3(條)線段,三級分形圖中有21=323-3(條)線段,按此規(guī)律,n級分形圖中的線段條數(shù)為an=32n-3(nN*). (2)從分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的的線段,n級分形圖中第n級的所有線段的長度和為 (nN*),n級

8、分形圖中所有線段長度之和為 .,思路分析 (1)通過觀察下一級分形圖與上一級分形圖之間線段條數(shù)的關(guān)系,歸納出n級分形圖中的線段條數(shù)表達式的規(guī)律;(2)先求出n級分形圖中第n級的所有線段的長度,然后再利用等比數(shù)列求和公式可求出n級分形圖中所有線段長度之和.,考法2 類比推理,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,考法指導(dǎo)1.進行類比推理,應(yīng)從具體問題出發(fā),通過觀察、分析、聯(lián)想進行對比,提出猜想.從中找到合適的類比對象是解題的關(guān)鍵. 2.類比推理常見的情形有:平面與空間類比;低維與高維類比;等差數(shù)列與等比數(shù)列類比;數(shù)的運算與向量的運算類比;圓錐曲線間的類比等.,數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,繼續(xù)學(xué)習(xí)

9、,考法示例3 知命題:若數(shù)列an為等差數(shù)列,且am=a,an=b(mn,m,nN*),則am+n= 現(xiàn)已知等比數(shù)列bn (b0,nN*),bm=a,bn=b(mn,m,nN*),若類比上述結(jié)論,則可得到bm+n=.,思路分析 分析等差數(shù)列、等比數(shù)列的區(qū)別分析原命題特征得到新命題,數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,繼續(xù)學(xué)習(xí),解析 等差數(shù)列中的bn和am可以類比等比數(shù)列中的bn和am,等差數(shù)列中的bn-am可以類比等比數(shù)列中的 ,等差數(shù)列中的 可以類比等比數(shù)列中的 ,故bm+n= .,考法3 演繹推理,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,考法指導(dǎo)數(shù)學(xué)問題的解決和證明都蘊含著演繹推理,即一連串的三段論,

10、關(guān)鍵是找到每一步推理的依據(jù)大前提、小前提,注意前一個推理的結(jié)論會作為下一個三段論的前提.,數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,【考法示例4】,繼續(xù)學(xué)習(xí),如圖所示,D,E,F分別是BC,CA,AB上的點,BFD=A,且DEBA.求證:ED=AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和結(jié)論,并最終把推理過程用簡略的形式表示出來).,【思路分析】 通過證明四邊形AFDE為平行四邊形來證明ED=AF.,數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,繼續(xù)學(xué)習(xí),【解析】,同位角相等,兩條直線平行,(大前提) BFD與A是同位角,且BFD=A,(小前提) 所以DFEA.(結(jié)論) 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形,(大前提) DEB

11、A且DFEA,(小前提) 所以四邊形AFDE為平行四邊形.(結(jié)論) 平行四邊形的對邊相等,(大前提) ED和AF為平行四邊形的對邊,(小前提) 所以ED=AF.(結(jié)論) 上面的證明可簡略地寫成:,考法4 直接證明,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,考法指導(dǎo)1.綜合法證題的思路 (1)分析條件,選擇方向.分析題目的已知條件及已知與結(jié)論之間的聯(lián)系,選擇相關(guān)的定理、公式等,確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法. (2)轉(zhuǎn)化條件,組織過程.把已知條件轉(zhuǎn)化成解題所需要的語言,主要是文字、符號、圖形三種語言之間的轉(zhuǎn)化. (3)適當(dāng)調(diào)整,回顧反思.回顧解題過程,可對部分步驟進行調(diào)整,并對一些語言進行適當(dāng)?shù)男揎?反思總結(jié)解

12、題方法的選取.,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,2.分析法證題的思路 逆向思考是用分析法證題的主要思想,通過反推,逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件,正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵. 在解決實際問題時,常把分析法和綜合法綜合起來運用,通常用分析法探索證明途徑,然后用綜合法加以證明,對于較復(fù)雜的問題,可以采用兩頭湊的辦法,即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論,然后通過綜合法由條件證明這個中間結(jié)論,從而使原命題得證.,.,數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法示例5 已知x+y+z=1,求證:x2+y2+z21/3.,思路分析 利用基本不等式進行整理變形,然后利用x+y+

13、z=1得證. .,數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,繼續(xù)學(xué)習(xí),解析 x2+y22xy,x2+z22xz,y2+z22yz, 2x2+2y2+2z22xy+2xz+2yz, 3x2+3y2+3z2x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz, 即3(x2+y2+z2)(x+y+z)2, x+y+z=1,(x+y+z)2=1, 3(x2+y2+z2)1,即x2+y2+z21/3.,點評 利用綜合法證明不等式是不等式證明的常用方法之一,即充分利用已知條件經(jīng)過推理論證推導(dǎo)出正確結(jié)論,是順推法和由因?qū)Ч?其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法,這就需保證前提正確,推理合乎規(guī)律,這樣才能保證結(jié)論的正確.,.,數(shù)學(xué) 第

14、十四章 推理與證明,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法5 間接證明,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,考法指導(dǎo)反證法是解決某些“疑難”問題的有力工具,它的適用范圍為: (1)否定性命題; (2)命題的結(jié)論中出現(xiàn)“至少”“至多”“唯一”等詞語; (3)命題成立非常明顯,直接證明所用的理論太少,且不容易證明,而其逆否命題非常容易證明; (4)要討論的情況很復(fù)雜,而反面情況很簡單. 應(yīng)用反證法時,當(dāng)原命題的結(jié)論的反面有多種情況時,要對結(jié)論的反面的每一種情況都進行討論,從而達到否定結(jié)論的目的.,數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,【考法示例7】,繼續(xù)學(xué)習(xí),等差數(shù)列an的前n項和為 (1)

15、求數(shù)列an的通項an與前n項和Sn; (2)設(shè)bn= (nN*),求證:數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列.,數(shù)學(xué) 第十四章 推理與證明,繼續(xù)學(xué)習(xí),(2)由(1),得bn= ，假設(shè)數(shù)列bn中存在三項bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比數(shù)列, 則 =bpbr,即 所以(q2-pr)+ (2q-p-r)=0. 因為p,q,rN*,所以 所以 所以p=r,這與pr矛盾,所以數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列.,【點評】：對于從正面入手較困難的證明問題，一般優(yōu)先考慮間接證明，即“正難 則反”.本題第（2）問中含有“任意”，要直接證明顯然有難度，因此我們考慮用反證法證明。,例

16、析類比推理命題的特點,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第十四章推理與證明,類比推理是由特殊到特殊的推理,借助類比推理可以推測未知、發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、探索和提供解決問題的思路和方法.這正像著名數(shù)學(xué)家波利亞所說的:“類比是一個偉大的引路人.”因此,在解決某些數(shù)學(xué)問題時,若能合理地運用類比,可為問題的解決開辟一條便捷之路.在近年各類考試中,類比推理題頻頻亮相.下面就通過介紹類比推理的一些命題特點,揭示求解規(guī)律,希望對同學(xué)們求解此類問題有所幫助.,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第十四章推理與證明,1.類比定義 示例8等和數(shù)列的定義是:若數(shù)列an(nN*)從第二項起,以后每一項與前一項的和都是同一常數(shù),則此數(shù)列叫作等和數(shù)列,這個常數(shù)叫作等

17、和數(shù)列的公和.如果數(shù)列an是等和數(shù)列,且a1=1,a2=3,則數(shù)列an的一個通項公式是. 解析由定義知公和為4,且an+an-1=4(n2,nN*),那么an-2=-(an-1-2),依次類推,于是有an-2= (-1)n-1(a1-2).因為a1=1,所以an=2+(-1)n.,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第十四章推理與證明,2.類比性質(zhì) 示例9我們知道:圓的任意一弦(非直徑)的中點和圓心的連線與該弦垂直,那么,若橢圓b2x2+a2y2=a2b2的一弦(非過原點的弦)的中點與原點連線及弦所在直線的斜率均存在,你能得到什么結(jié)論?請予以證明. 解析假設(shè)在圓中,弦(非直徑)所在直線的斜率與弦的中點和圓心連線的斜率都存在,由兩線垂直,我們可以知道兩斜率之積為-1.對于方程b2x2+a2y2=a2b2,若a=b,則方程為圓的方程,由此可以猜測兩斜率之積為-或-.于是,設(shè)橢圓的弦AB的兩端點的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),中,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第十四章推理與證明,3.類比方法 示例10我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量,在平面直角坐標(biāo)系中,利用求動點軌跡方程的方法,可以求出過點A(-3,4),且法向量為n=(1,-2)